第二章:一元函数微分学(下)Word格式文档下载.doc
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显然,当时,.为了判定的符号,只需考查函数
的符号.
易得,
又,所以当时,,即单调增加.由此可知当时,,从而,故在区间内的单调减少.
[例2.2.2]求函数的单调增减区间.
函数的定义域为.
当时,;
当时,
由于不存在,
所以不存在.
从由在内的导数为零和导数不存在的点为.
当时,,故函数在上单调增加;
当时,,故函数在上单调减少.
[例2.2.3]设在区间内二阶可导,且.证明:
函数在区间和内分别是单调增加的.
证明:
为证在区间和内分别是单调增加的,只需证明在相应的区间内.即只要证明.
令,则
,
由条件可知,当时,当时,所以为函数的极小值,并且为的唯一驻点,故是的最小值,所以在区间和内,从而在区间和内,证毕.
Ⅱ研究函数的极值
函数的极大值和极小值统称为函数的极值.这里包括讨论函数的极值、求函数的极值等.讨论或求函数的极值通常有两种方法,一是应用极值的第一充分条件,二是应用极值的第二充分条件.需要指出的是,有时要根据极值的定义进行讨论.
[例2.2.4]求函数的极值.
所以定义域内函数的导数为零和不存在的点只有驻点.
当时,.故函数在点取得极大值.
[例2.2.5]⑴已知在的某个邻域内可导,且,则在点处
(A)存在且(B)不存在
(C)取得极大值(D)取得极小值
⑵设在的某个邻域内可导,且,则
(A)不是函数的极值,但是曲线的拐点;
(B)不是函数的极值,也不是曲线的拐点;
(C)是函数的极小值;
(D)是函数的极大值
⑴由题设,根据极限的保号性知在的某邻域内必有,即,
所以在取极小值.
又由可得,所以,即,所以(A)、(B)不正确
因此应选(D).
⑵由于,所以可得存在的一个去心邻域,使得都有,因此当时,;
从而是函数的极大值,故应选(D).
[例2.2.6]设函数对一切满足微分方程
且在处连续,
(Ⅰ)证明:
若在点处有极值,则该极值为极小值;
(Ⅱ)若在点处有极值,问该极值是极大还是极小?
(Ⅰ)若在点处有极值,所以,又因为函数对一切满足微分方程
所以,故在点处,有极小值;
(Ⅱ)若在点处有极值,则,且
由于在处连续,所以
因此若在点处有极值,该极值还是极小值.
[例2.2.7]设函数在点的邻域内有定义,且
其中为正整数,
试讨论在点处的极值
由题设,故=,其中,从而有,
在的足够小的邻域内,与同号,因此在点的足够小邻域内有:
⑴如果为偶数,则与同号,于是时,为极大值;
当时,为极小值;
⑵如果为奇数,则当变化经过点时,变号,所以在处
不取极值.
[例2.2.8]设且,求的极值.
由可得
(1)
(2)
由
(1)、
(2)可得,所以
故函数在其定义域内导数为零和导数不存在的点为,
又因为
所以,因此是函数的极小值点,是函数的极大值点.
由,可得
由于,所以
因此函数极小值为,极大值为.
Ⅲ研究曲线的凹凸性
这里包括判断或证明曲线的凹凸性,求曲线的凹凸区间和拐点.与函数极值情形类似,若函数在定义域内连续,则曲线的拐点只可能出现在和不存在的点处.
[例2.2.8]⑴已知函数当时满足且,则
(A)是函数的极大值;
(B)是函数的极小值;
(C)是曲线的拐点;
(D)不是函数的极值,点也不是曲线的拐点.
⑵设函数在点的某邻域内具有连续的二阶导数,且,则
(A)点为的零点(B)点为的极值点
(C)当时,为拐点
(D)当时,为拐点
⑴由题设知,这表明在时,存在,于是在时连续.由上式知在时连续,且.
由于
所以不是函数的极值,但是曲线的拐点.故应选(C).
⑵构造函数,则,但点不是的零点,也不是的极值点,所以(A),(B)不正确;
由,可知存在,当时,
即与同号,因此当时,;
故为拐点.
同样的方法可知,当时,不是拐点.所以应选(D).
[例2.2.9]⑴求曲线的凹凸区间和拐点;
⑵设函数由参数方程确定,求曲线向上凸的的取值范围为;
⑶设函数由方程确定,是判断曲线在点附近的凹凸性.
⑴由知曲线在定义域内连续.
当时,有
当时,由
知函数在处的导数不存在,从而二阶导数也不存在.
令得.于是点和点把定义域分为三个子区间.
当时,,故曲线是凸的;
当时,,故曲线是凹的;
当时,,故曲线是凸的.点和是曲线的两个拐点.
⑵由于,
显然;
所以曲线向上凸的的取值范围为或者
⑶由于,
从而在处,,
所以曲线在点附近是凸的.
Ⅳ求渐近线
曲线的渐近线共有三类分别是:
水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线.
[例2.2.10]函数的全部渐近线为.
显然,所以是垂直渐近线;
显然无水平渐近线;
又,
所以曲线的斜渐近线为.
[例2.2.11]曲线,渐近线条数为
(A)0(B)1(C)2(D)3
显然是垂直渐近线;
又因为,所以直线是水平渐近线;
又因为
所以是一条斜渐近线,故应选(D).
Ⅴ求曲率
[例2.2.12]设曲线经过原点且在原点与轴相切,其中二阶可导,又,则此曲线在原点的曲率.
由于二阶可导,曲线经过原点且在原点与轴相切,所以
(1)
又因为,所以,即
(2)
由
(2)、
(1)可得
因此曲线在原点的曲率.
[例2.2.13]心形线在点处的曲率.
由于,
所以,
所以.
二、一元函数最值问题
Ⅰ求函数的最值
函数的最大值和最小值统称为最值.求函数的最值要注意以下几点:
(1)若函数在上连续,则它在该区间上必有最大值和最小值.求出在内的全部极值和区间两端点处的函数值,则其中最大者即是在上的最大值,最小者就是在上的最小值.
(2)若函数在开区间、半开区间或无穷区间内连续,求函数最值时,需求出区间内函数的全部极值和区间端点处函数的单侧极限.如果单侧极限最大,则函数在该区间内没有最大值;
如果单侧极限最小,则函数在该区间内没有最小值.
(3)若函数在一区间(闭、开或半开)上连续,且在该区间内只有一个极值(极大值或极小值),则此极值(极大值或极小值)也就是在该区间上的最值(最大值或最小值)
[例2.2.14]设常数),求此函数在以0与为端点的闭区间上的最大值和最小值.
,令,得
(1)当时,区间内无驻点,且,从而最大值为,最小值为;
(2)当时,区间内无驻点,且,从而最大值为,最小值为;
(3)当时,是内的唯一驻点,由于,所以为最小值,因此,比较大小确定最大值.
若,则最小值为,最大值为;
若,则最大值为,最小值为.
[例2.2.14]若不等式对一切成立,则常数的最小取值为
(A)(B)(C)(D)
原不等式可变形为
下面求函数在区间上的最大值.
因为,从而可得在定义域内导数为零和不存在的点为这一个点,而且,所以是在区间上的最大值,故最小应取2.故应选(C).
Ⅱ最值的应用问题
[例2.2.15]做半径为R的球的内接正圆锥,问此圆锥的高为何值时,圆锥的体积最大?
设圆锥的底半径为,高为,圆锥体积为
令,得惟一驻点.
又,故是极大值,也是上的最大值.
此时,最大值.
[例2.2.16]周长为的等腰三角形,绕其底边旋转形成旋转体,求所得旋转体为最大的那个等腰三角形.
如图,设等腰三角形腰为,底为,则.
而旋转体的体积为:
()
因为,所以
.
令,得惟一解,而,得.
又由于,所以所得体积为最大的那个等腰三角形的腰为,底为.
三、有关中值定理命题的证明
Ⅰ验证中值定理及有关中值的计算
验证中值定理正确与否,一定要验证两点:
①定理的条件是否满足;
②若条件满足,求出定理结论中的值.
[例2.2.17]试考察函数在闭区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件?
若满足,则求出该定理中结论的值.
因为,
所以在处连续,又在内都连续,从而在闭区间上连续.
又函数在开区间内可导,而在处,由于
所以在点处也可导,因而在开区间内可导.
总之在闭区间上满足拉格朗日中值定理的条件.根据拉格朗日中值定理,存在使得:
而.
分别令,得:
,以及舍去.
所以,在开区间内,满足拉格朗日中值定理的.
Ⅱ欲证结论:
在内至少存在一点,使为的函数
对于此类型的命题证明的一般思路:
①利用倒推法(或常数变易法)构造辅助函数;
②找的一个子区间,使;
③对在区间上使用罗尔定理,可得到所证结论.
[例2.2.18]设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且,求证至少存在一点,使得.
分析:
将欲证结论中换成得,,即
上式两端求不定积分可得,即,故可构造辅助函数.
令,则在上连续,在内可导,且
所以在闭区间上满足罗尔定理的条件,故至少存在一点,使得,
从而.
[例2.2.19]设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且
证明对任何满足的常数,存在,使.
将欲证结论中的换成得,,两端求不定积分可得
,即
故可构造辅助函数.
令,则在上
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- 第二 一元函数 微分学