数字信号处理复习总结-汤巧治Word文档下载推荐.doc
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只有在抽样频率时,才可由准确恢复。
2、离散时间信号的频域表示(时域离散信号的傅里叶变换;
序列的傅立叶变换)
,
3、离散时间信号的复频域分析(时域离散信号的Z变换,序列的Z变换)
;
1)Z变换与傅立叶变换的关系,
2)Z变换的收敛域
收敛区域要依据序列的性质而定。
同时,只有Z变换的收敛区域确定之后,才能由Z变换唯一地确定序列。
一般来来说,序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域:
3)有限长序列:
,
右序列:
,
左序列:
(|z|<
Rx+,N2>
0时:
0<
|Z|<
Rx+;
N2≤0时:
0≤|Z|<
Rx+)
双边序列:
总结:
因果序列的收敛域包括无穷大点。
常用序列的Z变换:
Z变换之逆变换
,C:
收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线
1)留数定理:
即
对于单极点zi:
2)留数辅助定理(C内有高阶极点时):
适用条件:
F(z)在C外M个极点zm,且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上!
!
3)利用部分分式展开:
,然后利用定义及常用序列的Z变换求解。
4、离散时间系统:
系统函数:
冲激响应:
5、线性系统:
满足叠加原理的系统。
6、移不变系统:
若,则
7、线性移不变系统
设系统的输入序列为x(n),它可以表示为单位取样序列的移位加权和,即:
那么,系统对应的输出为:
如果该系统是一线性移不变系统,根据其线性则有:
又根据移不变性和h(n)定义,则有:
冲激响应:
所以此时系统输出为:
,,
8、系统的频率特性可由其零点及极点确定
(式中,zk是极点,zi是零点;
在极点处,序列x(n)的Z变换是不收敛的,因此收敛区域内不应包括极点。
)
9、稳定系统:
有界的输入产生的输出也有界的系统,
即:
线性移不变系统是稳定系统的充要条件:
或:
其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1
10、因果系统:
时刻的输出只由时刻之前的输入决定。
线性移不变系统是因果系统的充要条件:
其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部:
|z|>
Rx
11、稳定因果系统:
同时满足上述两个条件的系统——P62
线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件:
H(z)的极点在单位园内,且H(z)的收敛域满足:
12、差分方程
线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示(差分方程的初始条件应满足松弛条件)
13、差分方程的解法
1)直接法:
递推法
2)经典法
3)由Z变换求解
二、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换(第三、四章)
1、周期序列的离散傅立叶级数(DFS)
其中:
=
2、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)
,0≤≤
,0≤n≤
应当注意,虽然和都是长度为的有限长序列,但他们分别是由周期序列和截取其主周期(主值区间)得到的,本质上是做DFS或IDFS,所以不能忘记它们的隐含周期性。
尤其是涉及其位移特性时更要注意。
3、离散傅立叶变换与Z变换的关系
4、频域抽样定理
对有限长序列x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样,抽样点数为N,或抽样间隔为,当N≥M时,才可由X(k)不失真恢复。
内插公式:
5、周期卷积、循环卷积
周期(线性)卷积:
循环卷积:
6、用周期(周期)卷积计算有限长序列的线性卷积
对周期要求:
(N1、N2分别为两个序列的长度)
7、时域抽取基2FFT算法(DIT-FFT)
1)数据要求:
1、N=8,FFT运算流图
2、DIT―FFT的运算规律
序列长N=2M点的FFT,有M级蝶形,每级有N/2个蝶形运算。
每个蝶形都要乘以旋转因子WpN,p称为旋转因子的指数。
第L级共有B=2L-1个不同的旋转因子;
同一蝶形运算两输入数据的距离B=2L-1。
同一级中,每个蝶形的两个输入数据只对本蝶形有用,每个蝶形的输入、输出数据节点在同一条水平线上。
经过M级运算后,原来存放输入序列数据的N个存储单元中可依次存放X(k)的N个值。
原位计算:
利用同一存储单元存储蝶形计算的输入输出数据。
3)DIT-FFT计算效率(复数运算):
乘法运算次数:
,加法计算次数:
(对比DFT运算:
)(复数运算)
8、利用DFT对模拟信号进行谱分析
首先必须对信号进行采样,使之变成离散信号,然后,就可按照前面的方法,用FFT来对连续信号进行频谱分析。
按采样定理,采样频率应大于2倍信号的最高频率,为了满足采样定理,一般在采样之前要设置一个抗混迭低通滤波器。
由此可得到用FFT对模拟信号进行频谱分析的方框图如下
截断的信号时间长度为Tp=NT,F表示对模拟信号频谱的采样间隔,所以称之为频率分辨率
信号分析过程中为了避免混叠,要求
为提高频率分辨率可以增加采样点数N,或者增加对信号的观察时间Tp
——例3.4.2及习题18
注意:
:
用FFT进行频谱存在的问题1)频谱泄漏,2)为栅栏效应。
各种形式的傅里叶变换:
非周期实连续时间信号的傅里叶变换:
频谱是一个非周期的连续函数;
周期性连续时间信号的傅里叶变换:
频谱是非周期性的离散频率函数;
非周期离散信号的傅里叶变换:
频率函数是周期的连续函数;
离散周期序列的傅里叶变换:
具有既是周期又是离散的频谱。
三、数字滤波器的设计
(一)FIR滤波器的设计
1、特点:
可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的;
阶数较高。
2、实现线性相位的条件
(1)h(n)为实数
(2)A类线性相位:
h(n)=h(N-1-n)
可以设计一般意义下的FIR滤波器;
N是偶数时,不能做高通滤波器。
或B类线性相位:
h(n)=-h(N-1-n)对称中心:
m=(N-1)/2
适于做希尔伯特变换器,微分器和正交网络。
3、主要设计方法
用窗函数法设计FIR滤波器的步骤
(1)给定希望逼近的频率响应函数Hd(ejω)。
FIR滤波器的网络结构:
直接型:
级联型:
将H(z)进行因式分解,并将共轭成对的零点放在一起,形成一个实系数的二阶形式;
级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构,其中每一个因式都用直接型实现。
设FIR网络系统函数H(z)为:
H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3
画出H(z)的直接型结构和级联型结构。
解:
将H(z)因式分解得:
H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构分别如下图的b图、a图所示。
a图b图
(2)求单位脉冲响应hd(n)。
(3)由过渡带宽及阻带最小衰减的要求可选定窗形状,并估计窗口长度N:
设待求滤波器的过渡带用Δω表示,它近似等于窗函数主瓣宽度。
因过渡带Δω近似与窗口长度成反比,N≈A/Δω,A决定于窗口形式。
例如,矩形窗A=4π,海明窗A=8π等,A参数选择参考表。
按照过渡带及阻带衰减情况,选择窗函数形式。
原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下,尽量选择主瓣窄的窗函数。
(4)最后,计算所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应h(n):
h(n)=hd(n)w(n)0≤n≤N-1
(5)由h(n)求FIR滤波器的系统函数H(z)
(二)IIR滤波器的设计
1、特点
•阶数少、运算次数及存储单元都较少
•适合应用于要求相位特性不严格的场合。
•有现成的模拟滤波器可以利用,设计方法比较成熟。
•是递归系统,存在稳定性问题。
2、间接设计方法——先设计模拟滤波器,然后转换成数字滤波器。
脉冲(冲激)响应不变法——基于butterworth模拟低通滤波器设计过程:
(1)将数字滤波器设计指标转换为相应的模拟滤波器指标。
;
(2)设计相应的模拟滤波器,得到模拟系统函数Ha(s)。
根据单调下降要求,选择巴特沃思滤波器。
求出波纹幅度参数为
,,
根据通带衰减要求计算3dB截止频率Ωc
或根据阻带衰减要求计算3dB截止频率Ωc
(3)查表求归一化Ga(p)。
或
(4)将p=s/Ωc代入Ga(p),得到实际的滤波器系统函数
(5)将T和代入,将模拟滤波器系统函数Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H(z),即:
脉冲(冲激)响应不变法的特点:
•有混叠失真
•只适于限带滤波器
•不适合高通或带阻数字滤波器的设计
双线性变换法——设计数字低通滤波器系统函数H(z)
这种方法的主要特点是先进行频率变换,求模拟滤波器的频率指标
按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器,然后用将模拟滤波器Ha(s)转换成数字低通滤波器系统函数H(z)。
特点:
(i)稳定性不变
(ii)无混叠
(iii)频率非线性变换,会产生畸变,设计时,频率要做预畸变处理
无限长脉冲响应滤波器的网络结构
1)直接型:
根据系统的差分方程:
记忆方法:
天女散花;
反馈在前;
分子在后。
2)级联型
若将N阶IIR滤波器的系统函数H(z)的分子和分母分别进行因式分解,得到多个因式连乘积的形式:
或表示为:
其中,式中Hi(z)为一阶或二阶的数字网络的系统函数,每个Hi(z)的网络结构均采用直接型网络结构;
多项式的系数是实数,Cr和dr是实数或者是共轭成对的复数。
将共轭成对的零点(极点)放在一起,形成一个二阶多项式,其系数仍为实数。
再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起,形成一个二阶网络Hj(z):
(a)直接型一阶网络结构;
(b)直接型二阶网络结构
3)并联型
如果将系统函数H(z)展成部分分
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