最新届高三数学第一轮复习单元测试7《圆锥曲.docx
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最新届高三数学第一轮复习单元测试7《圆锥曲
2018届高三数学第一轮复习单元测试(7)—《圆锥曲线》
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2018年北京卷)若点到直线的距离比它到点的距离小1,则点的轨迹为()
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为()
A.B.C.D.
3.已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离
之比等于()
A.B.C.2D.4
4.与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是()
A.B.
C.D.
5.直线与曲线的公共点的个数为()
A.1B.2C.3D.4
6.如果方程表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是()
A.B.C.D.
7.(2018年江西文卷)已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()
A.B.C.D.
8.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则()
A.B.C.D.
9.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点,点与点
关于轴对称,为坐标原点,若,且,则点的轨迹方程是()
A.B.
C.D.
10.抛物线上的点到直线距离的最小值是()
A.B.C.D.
11.已知抛物线上一定点和两动点当是,点的横坐标的取值范围是()
A.B.C.D.
12.椭圆上有个不同的点:
椭圆的右焦点为,数列是公差大于的等差数列,则的最大值为()
A.199B.200C.198D.201
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
13.椭圆的两个焦点为,点在椭圆上.如果线段的中点在轴上,那么是的______________倍.
14.如图把椭圆的长轴AB分成8等
分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部
分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=.
15.要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应为____________.
16.已知两点,给出下列直线方程:
①;②;③.则在直线上存在点满足的所有直线方程是____________.(只填序号)
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图:
航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分,降落点为.观测点同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;
(2)试问:
当航天器在轴上方时,观测点
测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天
器发出变轨指令?
18.(本小题满分12分)(2018年上海卷)已知双曲线,为上的任意点。
(1)求证:
点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;
(2)设点的坐标为,求的最小值;
19.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是(为大于0的常数).
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上一点,且过点的直线与轴交于点,若,求直线的斜率.
20.(本小题满分12分)已知点分别是椭圆长轴的左、右端点,点是椭圆的右焦点.点在椭圆上,且位于轴的上方,.
(1)求点的坐标;
(2)设椭圆长轴上的一点,到直线的距离等于,求椭圆上的点到点的距离的最小值.
21.(本小题满分12分)(2018年陕西卷)已知抛物线:
,直线交于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点.
(Ⅰ)证明:
抛物线在点处的切线与平行;
(Ⅱ)是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由.
22.(本小题满分14分)设,为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量,若向量,,且.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过点(0,3)作直线与曲线交于两点,设,是否存在这样的直线,使得四边形是矩形?
若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由.
答案与解析(7)
1.D.把到直线向左平移一个单位,两个距离就相等了,它就是抛物线的定义。
2.D.椭圆的右焦点为(2,0),所以抛物线的焦点为(2,0),则,故选D.
3.答案选C依题意可知,
,故选C.
4.A设动圆圆心为,动圆与已知半圆相切的切点为,点到轴的距离为,则有,而,所以,化简得.
5.D.将代入得:
,显然该关于的方程有两正解,即x有四解,所以交点有4个,故选择答案D.
6.D.由题意知,.若,则双曲线的焦点在轴上,而在选择支A,C中,椭圆的焦点都在轴上,而选择支B,D不表示椭圆;
若,选择支A,C不表示椭圆,双曲线的半焦距平方,双曲线的焦点在轴上,选择支D的方程符合题意.
7.C.由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则
又,所以
8.A.一看带参,马上戒备:
有没有说哪个轴是实轴?
没说,至少没有明说。
分析一下,因为等号后为常数“+”,所以等号前为系数为“+”的对应实轴。
y2的系数为“+”,所以这个双曲线是“立”着的。
接下来排除C、D两过于扯淡的选项——既然说是双曲线,“x2”与“y2”的系数的符号就不能相同.在接下来是一个“坑儿”:
双曲线的标准形式是或(),题目中的双曲线方程并不是标准形式,所以要变一下形儿,变成。
由题意,半虚轴长的平方:
半实轴长的平方=4.即,所以。
选A.当然,我们也可以不算,只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案A圈出来
9.D.由及分别在轴的正半轴和轴的正半轴上知,,,由点与点关于轴对称知,,=,则
10.A.抛物线上任意一点(,)到直线的距离.因为,所以恒成立.从而有,.选A.
11.D.由题意知,设,又因为,由知,,即,也就是,因为,所以上式化简得,由基本不等式可得或.
12.D.由题意知,要使所求的最大,应使最小,最大,又为椭圆的右焦点,设的横坐标为故由第二定义可得,,其中,所以当时,,当时,最大.由等差数列的通项公式可得,,即,又因为,解得.
13.7倍.由已知椭圆的方程得.由于焦点
关于轴对称,所以必垂直于轴.所以
所以.
14.35.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P7(x7,y7),所以根据对称关系x1+x2+…+x7=0,于是
|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=a+ex1+a+ex2+…+a+ex7=7a+e(x1+x2+…+x7)=7a=35,所以应填35.
15.1米.由题意知,设抛物线的方程为,又抛物线的跨度为16,拱高为4,所以点(8,-4)为抛物线上的点,所以.即抛物线方程为.所以当时,,所以柱子的高度为1米.
16.②③.由可知点在双曲线的右支上,故只要判断直线与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为,直线①过原点且斜率,所以直线①与双曲线无交点;直线②与直线①平行,且在轴上的截距为故与双曲线的右支有两个交点;直线③的斜率,故与双曲线的右支有一个交点.
17.
(1)设曲线方程为,
由题意可知,.
.
曲线方程为.
(2)设变轨点为,根据题意可知
得,
或(不合题意,舍去)..
得或(不合题意,舍去).点的坐标为,
.
答:
当观测点测得距离分别为时,应向航天器发出变轨指令.
18.
(1)设是双曲线上任意一点,
该双曲的两条渐近线方程分别是和.
点到两条渐近线的距离分别是和,
它们的乘积是.
点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数.
(2)设的坐标为,则
,
当时,的最小值为,
即的最小值为.
19.
(1)设所求椭圆方程为:
.由已知得:
所以.故所求椭圆的方程为:
.
(2)设,直线,则点.当时,由于.由定比分点坐标公式,得,.又点在椭圆上,所以,解得.当
时,,.于是,解得.故直线的斜率为0或.
20.
(1)由已知可得点,设点,则,,由已知可得.则解得.由于,只能于是.所以点P的坐标是.
(2)直线的方程是.设点,则到直线的距离是.于是,又,解得.椭圆上的点到点的距离有,由于,所以当时,取得最小值.
21.解:
解法一:
(Ⅰ)如图,设,,
把代入得,
由韦达定理得,,
,点的坐标为.
设抛物线在点处的切线的方程为,
将代入上式得,
直线与抛物线相切,
,.
即.
(Ⅱ)假设存在实数,使,则,又是的中点,
.
由(Ⅰ)知
.
轴,.
又
.
,解得.
即存在,使.
解法二:
(Ⅰ)如图,设,把代入得
.由韦达定理得.
,点的坐标为.,,
抛物线在点处的切线的斜率为,.
(Ⅱ)假设存在实数,使.
由(Ⅰ)知,则
,
,,解得.
即存在,使.
22.
(1)由,得,设则动点满足,所以点在椭圆上,且椭圆的.所以轨迹的方程为.
(2)设直线的斜率为,则直线方程为,联立方程组消去得:
恒成立,设,则.由,所以四边形为平行四边形.若存在直线,使四边形为矩形,则,即,解得,所以直线的方程为,此时四边形为矩形.
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- 最新 届高三 数学 第一轮 复习 单元测试 圆锥
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