普通高等学校招生全国统一考试高考数学信息卷二文Word下载.docx

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2．设复数满足，则（）

A．3B．C．9D．10

【解析】，．故选A．

3．已知实数，满足：

，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】函数为增函数，故．而对数函数为增函数，所以，故选B．

4．已知命题对任意，总有；

命题直线，，若，则或；

则下列命题中是真命题的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】构造函数，，，故函数在上单调递增，故，也即，故为真命题．由于两直线平行，故，解得或，当时，与重合，故为假命题．故为真命题．所以选D．

5．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（）

【答案】C

【解析】正方形面积为，正方形的内切圆半径为，中间黑色大圆的半径为，黑色小圆的半径为，所以白色区域的面积为，所以黑色区域的面积为，在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为，故选C．

6．将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（）

A．B．

C．D．

【解析】向右平移个单位长度得带，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）得到，故选C．

7．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：

松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为5，2，则输出的（）

A．5B．4C．3D．2

【解析】模拟程序运行，可得：

，，

，，，不满足条件，执行循环体；

，，，满足条件，退出循环，输出的值为．

故选B．

8．已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．则的值为（）

【解析】由正弦定理和余弦定理得，化简得．

9．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（）

A．B．C．D．2

【解析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，由侧视图为边长为的正三角形，结合三视图的性质可知四棱锥底面是边长为和的矩形，四棱锥的高为，故四棱锥体积，故选D．

10．已知抛物线的焦点是椭（）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于、两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为（）

【解析】

由题知线段是椭圆的通径，线段与轴的交点是椭圆的下焦点，且椭圆的，又，，，由椭圆定义知，，，故选C．

11．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，异面直线与所成角为，点，，，都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A．B．84πC．D．

【解析】由底面的几何特征易得，由题意可得：

，由于，异面直线与所成角为，故，则，

设三棱锥外接球半径为，结合，，可得：

，该球的表面积为：

．故选B．

12．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）

【解析】由函数，可得，有唯一极值点，有唯一根，无根，即与无交点，可得，由得，在上递增，由得，在上递减，，，即实数的取值范围是，故选A．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分。

13．已知平面向量，的夹角为，且，．则______________．

【答案】2

【解析】．

14．已知变量，满足，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】画出表示的可行域，如图，

由，可得平移直线，由图知，当直线经过点，直线在以轴上截距最小，此时取得最小值为，故答案为．

15．设是直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是___________．（填写序号）

①若，，则．②若，，则．

③若，，则．④若，，则．

【答案】②

【解析】①由，，不一定推出．

反例如图：

所以①不正确；

②如图所示：

过作平面交平面于直线，因为，所以，又，所以，，故，所以②正确；

③由，，不能推出；

故③不正确；

④若，，未必有．反例如图：

故④不正确；

故所给命题正确的是②．

16．把函数所有的零点按从小到大的顺序排列，构成数列，数列满足，则数列的前项和__________．

【解析】由题意可得：

，，．．．，则，

相减得：

，

．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．数列为正项数列，，且对，都有；

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，为数列的前项和，求证：

（1）；

（2）见解析．

（1）∵，∴，

∴，∵数列为正项数列，

∴，∴是以为首项，为公比的等比数列，

∴．

（2），

18．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户．若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；

若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．

（1）从乙村的50户中随机选出一户，求该户为“绝对贫困户”的概率；

（2）从甲村所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中任选2户，求选出的2户均为“低收入户”的概率；

（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）．

（2）；

（3）甲村指标的方差大于乙村指标的方差．

（1）由图知，在乙村50户中，指标的有15户，

所以，从乙村50户中随机选出一户，该户为“绝对贫困户”的概率为．

（2）甲村“今年不能脱贫的非绝对贫困户”共有6户，其中“相对贫困户”有3户，分别记为，，．“低收入户”有3户，分别记为，，，所有可能的结果组成的基本事件有：

，，，，，，，，，，，，，，．共15个．

其中两户均为“低收入户”的共有3个，

所以，所选2户均为“低收入户”的概率．

（3）由图可知，这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差．

19．如图，直三棱柱中，是的中点．

（1）证明：

平面；

（2）若，，求点到平面的距离．

（1）证明见解析；

（2）．

（1）连接，设与的交点为，则为的中点，连接，

又是的中点，所以．

又平面，平面，所以平面．

（2）由，是的中点，所以，

在直三棱柱中，，，所以，

又，所以，，所以．

设点到平面的距离为，因为的中点在平面上，

故到平面的距离也为，三棱锥的体积，

的面积，则，得，

故点到平面的距离为．

20．已知椭圆过点和点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，，是否存在实数，使得?

若存在，求出实数；

若不存在，请说明理由．

（2）不存在．

（1）椭圆过点和点，

所以，由，解得，所以椭圆．

（2）假设存在实数满足题设，

由，得，

因为直线与椭圆有两个交点，

所以，即，

设的中点为，，分别为点，的横坐标，

则，从而，所以，

因为，所以，所以，而，

所以，即，与矛盾，

因此，不存在这样的实数，使得．

21．已知．

（1）求函数的极值；

（2）设，对于任意，，总有成立，求实数的取值范围．

（1）的极小值为，极大值为；

（1），．

所以的极小值为，极大值为．

（2）由

（1）可知当时，函数的最大值为，

对于任意，，总有成立，等价于恒成立，

①时，因为，所以，

即在上单调递增，恒成立，符合题意．

②当时，设，，

所以在上单调递增，且，则存在，使得，

所以在上单调递减，在上单调递增，又，

所以不恒成立，不合题意．

综合①②可知，所求实数的取值范围是．

22．已知曲线的参数方程为（为参数）；

直线（，）与曲线相交于，两点，以极点为原点，极轴为轴的负半轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围．

（1）∵曲线的参数方程为（为参数），

∴所求方程为，

∵，∴，

∴曲线的极坐标方程为．

（2）联立和，得，

设、，则，

当时，取最大值，故实数的取值范围为．

23．【选修4—5：

不等式选讲】

已知函数，

（1）解不等式；

（2）若不等式的解集为，，且满足，求实数的取值范围．

（1）可化为，

，或，或；

不等式的解集为．

（2）易知，所以，

所以在恒成立；

在恒成立；