高考数学一轮复习专题46正弦定理和余弦定理讲Word格式.docx
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(2)掌握几种常见题型的解法.
【知识清单】
1.正弦定理
正弦定理:
===2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:
a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;
a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;
sinA=,sinB=,sinC=等形式,以解决不同的三角形问题.
面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB
对点练习:
【2017浙江省高考模拟】在中,内角,,所对的边分别是,,,若,,,则________,__________.
【答案】,.
2.余弦定理
余弦定理:
,,.
变形公式cosA=,cosB=,osC=
3.正弦定理与余弦定理的综合运用
应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理.
【2017浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】在中,内角所对的边分别是若,,A=60°
,则__________,的面积S=__________.
【答案】1或2或
【考点深度剖析】
高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活,题型多变,选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理,解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用,多与三角形周长、面积有关;
有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查,试题难度控制在中等以下,主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等.
【重点难点突破】
考点1正弦定理
【1-1】【2018届河南省新乡市第一中学8月】在中,内角的对边分别为,,则()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】,故选A.
【1-2】【2017浙江台州上学期】已知在错误!
未找到引用源。
中,内角错误!
的对边分别为错误!
且错误!
,则错误!
的面积为__________.
【答案】错误!
【1-3】在中,角的对边分别为,若角依次成等差数列,且,,则.
【答案】
∴.
【领悟技法】
已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.
已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意.
已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a<bsinA
a=bsinA
bsinA<a<b
a≥b
a>b
a≤b
解的个数
无解
一解
两解
【触类旁通】
【变式1】【2018届安徽合肥一中、马鞍山二中等六校第一次联考】在中,角的对边分别为.已知,则()
【解析】由得,由正弦定理,所以,
故选A.
【变式2】在中,已知,
,则为()
A.等边三角形B.等腰直角三角形
C.锐角非等边三角形D.钝角三角形
【答案】B
又,
,
,,,
,所以是等腰直角三角形.
考点2余弦定理
【2-1】【2018届安徽合肥调研】在中,角对应的边分别为,,则的面积为()
【解析】由余弦定理得,即,故,应选答案A.
【2-2】中,角所对的边分别为.若,则边()
A.1B.2C.4D.6
【答案】C
【2-3】【2017浙江温州二模】在错误!
,错误!
若错误!
_______,错误!
的面积错误!
_______.
【解析】由余弦定理可得错误!
;
由三角形的面积公式可得错误!
,应填答案错误!
和错误!
.
已知三边,由余弦定理求,再由求角,在有解时只有一解.
已知两边和夹角,余弦定理求出对对边.
【变式1】在中,内角所对应的边分别为,若,,则的面积为()
A.B.C.D.
【解析】由可得;
由及余弦定理可得,所以,所以.
【变式2】各角的对应边分别为,满足,则角的范围是()
【解析】由,得,整理得,由余弦定理得,.
考点3正弦定理与余弦定理的综合运用
【3-1】在中,三内角,,的对边分别为,,且,,为的面积,则的最大值为()
(A)1(B)(C)(D)
【3-2】【2018届广东省阳春市第一中学上学期第一次月考】在中,内角的对边分别为,且.
(1)求;
(2)若,求.
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(1)由正弦定理将边化为角得,即得.再根据三角形内角范围得.
(2)由正弦定理将角化为边得,再根据余弦定理得,解方程组可得.
(2)由及正弦定理,得,①
由余弦定理得,
即,②
由①②,解得.
【3-3】【2017届浙江嘉兴测试】在中,内角所对的边分别为,已知.
(1)求角的大小;
(2)若的面积,求的值.
(1);
(2).
【解析】
试题分析:
(1)由正弦定理,将条件中的边化成角,可得,进而可得的值;
(2)由三角形面积公式可得,再由余弦定理可得,得最后结论.
试题解析:
(1),又∴
又得
(2)由,∴
又
得,∴得.
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法:
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
[注意] 在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
判断三角形的形状的基本思想是:
利用正、余弦定理进行边角的统一.即将条件化为只含角的三角函数关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;
或将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.结论一般为特殊的三角形.如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等.另外,在变形过程中要注意A,B,C的范围对三角函数值的影响.
提醒:
1.在△ABC中有如下结论sinA>sinB⇔a>b.
2.当b2+c2-a2>0时,角A为锐角,若可判定其他两角也为锐角,则三角形为锐角三角形;
当b2+c2-a2=0时,角A为直角,三角形为直角三角形;
当b2+c2-a2<0时,角A为钝角,三角形为钝角三角形.
【变式1】在中,内角所对的边分别是.已知,,则的值为_______.
【变式2】【2018届河南省名校联盟第一次段考】锐角错误!
的内角错误!
,已知错误!
的外接圆半径为错误!
,且满足错误!
(1)求角错误!
的大小;
(2)若错误!
,求错误!
周长的最大值.
(1)错误!
(2)当错误!
为正三角形时,错误!
周长的最大值为6.
(1)根据已知条件,由正弦定理,求出角错误!
(2)由余弦定理和基本不等式求出错误!
,再求出周长的最大值。
(1)由正弦定理,得错误!
再结合错误!
,得错误!
解得错误!
,由错误!
为锐角三角形,得错误!
故当错误!
周长的最大值为6.
【易错试题常警惕】
易错典例:
在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=,b=,1+2cos(B+C)=0,求边BC上的高.
易错分析:
忽视三角形中“大边对大角”的定理,产生了增根.
正确解析:
∵在△ABC中,cos(B+C)=-cosA,
又∵1+2cos(B+C)=0,∴1-2cosA=0,∴A=.
在△ABC中,根据正弦定理=,得sinB==.
∴B=或.
∵a>b,∴B=.
温馨提醒:
应用正弦定理解三角形,最易出现的错误,就是角的增解问题.解题过程中应特别注意,一般要注意利用“大边对大角”结合已知角确定取舍.
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:
"
数形结合百般好,隔裂分家万事休。
数"
与"
形"
反映了事物两个方面的属性。
我们认为,数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"
以形助数"
或"
以数解形"
即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.
向量的几何表示,三角形、平行四边形法则,使向量具备形的特征,而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征,因此,向量融数与形于一身,具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此,在应用向量解决问题或解答向量问题时,要注意恰当地运用数形结合思想,将复杂问题简单化、将抽象问题具体化,达到事半功倍的效果.
【典例】【2017云南昆明二测】在平面四边形中,的面积为.
(1)求的长;
(2)求的面积.
(2).
(2)由,得,所以,又
所以.
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