高中数学人教A版必修四第一章 61余弦函数的图像62余弦函数的性质 Word练习题含答案.docx
- 文档编号:1456274
- 上传时间:2022-10-22
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:288.14KB
高中数学人教A版必修四第一章 61余弦函数的图像62余弦函数的性质 Word练习题含答案.docx
《高中数学人教A版必修四第一章 61余弦函数的图像62余弦函数的性质 Word练习题含答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学人教A版必修四第一章 61余弦函数的图像62余弦函数的性质 Word练习题含答案.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学人教A版必修四第一章61余弦函数的图像62余弦函数的性质Word练习题含答案
§6 余弦函数的图像与性质
6.1 余弦函数的图像
6.2 余弦函数的性质
)
1.问题导航
(1)由y=sinx(x∈R)的图像得到y=cosx(x∈R)的图像,平移的方法唯一吗?
(2)五点法作余弦函数的图像与作正弦函数的图像所取的五点不同,为什么?
(3)余弦函数既是中心对称图形又是轴对称图形,但它是偶函数不是奇函数,为什么?
2.例题导读
P32例.通过本例学习,学会用五点法作函数y=acosx+b的简图,并能根据图像讨论函数的性质.
试一试:
教材P34习题1-6A组T2你会吗?
1.余弦函数图像的画法
(1)变换法:
根据诱导公式sin=cosx及函数图像平移知识,得将y=sinx的图像向左平移个单位得到y=cosx的图像,余弦曲线如图所示.
(2)五点法:
在函数y=cosx,x∈[0,2π]的图像上,有5个关键点:
(0,1),,(π,-1),,(2π,1).描出五个关键点,用平滑的曲线连接,可得y=cosx,x∈[0,2π]的图像,再向左、右平移得y=cosx,x∈R的图像.
2.余弦函数的图像与性质
图像
性质
定义域
R
值域
[-1,1]
最值
当x=2kπ,k∈Z时,ymax=1;当x=2kπ+π,k∈Z时,ymin=-1
周期性
周期函数,最小正周期T=2π
奇偶性
偶函数,图像关于y轴对称
单调性
在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的;
在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的
1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)余弦函数y=cosx是偶函数,图像关于y轴对称,对称轴有无数多条.( )
(2)余弦函数y=cosx的图像既是轴对称图形,也是中心对称图形.( )
(3)函数y=acosx(a≠0)的最大值为a,最小值为-a.( )
(4)函数y=cosx(x∈R)的图像向左平移个单位长度后,得到函数y=g(x)的图像,则g(x)=-sinx.( )
解析:
(1)正确.由余弦函数的性质知,它是偶函数,图像关于y轴对称,直线x=kπ(k∈Z)为其对称轴.
(2)正确.余弦函数y=cosx的图像关于直线x=kπ(k∈Z)对称,也关于点(k∈Z)对称.
(3)错误.要对a分大于0和小于0两种情况讨论,才能确定最大值与最小值.
(4)正确.可得g(x)=cos=-sinx,即g(x)=-sinx.
答案:
(1)√
(2)√ (3)× (4)√
2.用“五点法”作出函数y=3-cosx的图像,下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是( )
A.(π,-1) B.(0,2)
C.D.
解析:
选A.由五点作图法知五个关键点分别为(0,2),,(π,4),,(2π,2),故A错误.
3.函数y=-3cosx+2的值域为( )
A.[-1,5]B.[-5,1]
C.[-1,1]D.[-3,1]
解析:
选A.因为-1≤cosx≤1,所以-1≤-3cosx+2≤5.
4.已知函数y=-cosx,x∈,则其递增区间为________.
解析:
当x∈[0,2π]时,函数y=cosx在[0,π]上是减函数,在[π,2π]上是增函数,所以函数y=-cosx在[0,π]上是增函数,在[π,2π]上是减函数.
答案:
[0,π]
1.余弦函数图像的画法
(1)平移法:
这种方法借助诱导公式,先将y=cosx写成y=sin,然后利用图像平移得到y=cosx的图像.
(2)“五点法”:
在已知函数图像特征的情况下,描出函数图像的关键点,画出草图.这种方法对图像的要求精度不高,是比较常用的一种画图方法.
余弦函数除以上两种常见的画图方法外,还有其他的作图方法(如与正弦函数类似的几何法等).
2.余弦函数性质与图像的关系
(1)余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法.
(2)余弦函数的性质可以由图像直接观察,但要经过解析式或单位圆推导才能下结论.即数形结合思想的运用.
3.余弦函数的对称性
(1)余弦函数是中心对称图形,其所有的对称中心坐标为(k∈Z),即余弦曲线与x轴的交点,此时的余弦值为0.
(2)余弦曲线是轴对称图形,其所有的对称轴方程为x=kπ(k∈Z),即对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点,此时余弦值取得最大值或最小值.
4.余弦函数的周期性
类比正弦函数的周期性,余弦函数的最小正周期为2π,余弦函数的周期不唯一,2kπ(k∈Z,且k≠0,1)也是余弦函数的周期,根据诱导公式cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z),容易得出.
5.对余弦函数最值的两点说明
(1)明确余弦函数的有界性,即-1≤cosx≤1.
(2)对有些函数,其最值不一定是1或-1,要依赖函数定义域来决定.
画余弦函数的图像并讨论其性质
画出函数y=3+2cosx的简图,根据图像讨论函数的性质.
(链接教材P32例)
[解]
(1)列表,如下表所示
x
0
π
π
2π
y=cosx
1
0
-1
0
1
y=3+2cosx
5
3
1
3
5
(2)描点,连线,如图所示:
不难看出,函数y=3+2cosx的主要性质有(见下表)
函数
y=3+2cosx
定义域
R
值域
[1,5]
奇偶性
偶函数
周期性
2π
单调性
当x∈[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)时,函数是增加的;
当x∈[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)时,函数是减少的
最大值与最小值
当x=2kπ(k∈Z)时,最大值为5;
当x=(2k+1)π(k∈Z)时,最小值为1
试用五点法画函数y=-cosx-1,x∈[0,2π]的图像.
解:
列表如下
x
0
π
2π
y=cosx
1
0
-1
0
1
y=-cosx-1
-2
-1
0
-1
-2
描点连线,可得函数y=-cosx-1在[0,2π]上的图像如图:
方法归纳
(1)用五点法画函数f(x)=acosx+b(a≠0)简图的步骤如下:
①列表;②描点,描出(0,a+b),,(π,-a+b),,(2π,a+b);③连线,用光滑的曲线顺次连接各点;④将简图左、右平移2π的整数倍得函数f(x)=acosx+b(a≠0)的图像.
(2)讨论形如f(x)=acosx+b(a≠0)的函数的性质时,一般从定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值六个方面展开讨论.
1.
(1)用五点法作函数y=sin+1,x∈[0,2π]的图像时,应取的五个关键点是________.
(2)画出函数y=-cosx+1的简图,并根据图像讨论函数的性质.
解:
(1)因为y=sin+1=cosx+1,x∈[0,2π],所以应取的五个关键点分别为(0,2),,(π,0),,(2π,2).故填(0,2),,(π,0),,(2π,2).
(2)列表:
x
0
π
2π
y=cosx
1
0
-1
0
1
y=-cosx+1
0
1
2
1
0
描点并画出图像.
由图像可知函数y=-cosx+1有以下性质:
定义域:
R;值域:
[0,2];
奇偶性:
偶函数;周期性:
最小正周期是2π;
单调性:
在区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是增加的,在区间[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z)上是减少的.
最大与最小值:
当x=(2k+1)π(k∈Z)时,最大值为2;
当x=2kπ(k∈Z)时,最小值为0.
余弦函数的定义域、值域
求下列函数的定义域、值域.
(1)y=;
(2)y=lg(2cosx-).
(链接教材P34习题1-6A组T3、T4)
[解]
(1)由题意,得1-2cosx≥0,
所以cosx≤,解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).
所以原函数的定义域为
.
因为-1≤cosx≤1,所以-2≤-2cosx≤2,
所以-1≤1-2cosx≤3,又y=≥0,
所以原函数的值域为[0,].
(2)由题意,得2cosx->0,所以cosx>,结合y=cosx的图像(如图)可得:
-+2kπ 所以原函数的定义域为 . 因为-1≤cosx≤1, 所以-2-≤2cosx-≤2-. 因为y=lgx在(0,+∞)上为增函数. 所以y=lg(2cosx-)的值域为(-∞,lg(2-)]. 方法归纳 (1)利用余弦函数的图像解三角不等式,其一般步骤是: ①作出y=cosx在一个周期上的图像;②在一个周期内,根据图像求出适合条件的角的范围;③依据y=cosx的周期性,求出所有符合条件的角的集合. (2)求三角函数的值域要熟练应用函数图像的单调性及正、余弦函数的有界性. 2. (1)求函数y=lg(2sinx-1)+的定义域. (2)已知x∈, ①求函数y=cosx的值域; ②求函数y=-3(1-cos2x)-4cosx+4的最大值、最小值. 解: (1)要使函数有意义,必须满足 即 作出函数y=cosx和y=sinx的图像如图所示, 由正弦、余弦函数的图像, 解得 即+2kπ≤x<+2kπ,k∈Z. 所以此函数的定义域为(k∈Z). (2)①画出函数y=cosx,x∈的图像,如图所示: 由图像可知: 当x=0时,函数取最大值1. 当x=时,函数取最小值-. 所以函数y=cosx,x∈的值域为. ②原函数可化为y=3cos2x-4cosx+1. 令t=cosx,则由①知t∈, 所以y=3t2-4t+1=3-. 当t=-时,函数取最大值. 当t=时,函数取最小值-. 所以函数y=-3(1-cos2x)-4cosx+4,x∈的最大值为,最小值为-. 余弦函数性质的应用 已知f(x)=2+acosx(a≠0). (1)判断函数的奇偶性; (2)求函数的单调区间; (3)求函数的最小正周期. (链接教材P32例) [解] (1)因为f(x)=2+acosx(a≠0)的定义域为R且f(-x)=f(x), 所以函数f(x)=2+acosx为偶函数. (2)因为f(x)=cosx在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的. 所以当a>0时,f(x)=2+acosx的递增区间为[2kπ-π,2kπ],k∈Z,递减区间为[2kπ,2kπ+π],k∈Z. 当a<0时,f(x)=2+acosx的递增区间为[2kπ,2kπ+π],k∈Z,递减区间为[2kπ-π,2kπ],k∈Z. (3)由f(x+2π)=f(x)知f(x)=2+acosx的最小正周期为2π. 方法归纳 对于余弦函数的性质,要善于结合余弦函数的图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆,其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致. 3. (1)函数f(x)=4sin的图像( ) A.关于x轴对称 B.关于原点对称 C.关于y轴对称 D.关于直线x=对称 (2)判断下列函数的奇偶性. ①f(x)=3cos2x; ②f(x)=sin. (3)求下列函数的递增区间: ①y=; ②y=cos. 解: (1)选C.由题意知f(x)=-4cos2x为偶函数,所以该函数的图像关于y轴对称.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学人教A版必修四第一章 61余弦函数的图像62余弦函数的性质 Word练习题含答案 高中 学人 必修 第一章 61 余弦 函数 图像 62 性质 Word 练习题 答案