4年级奥数培优讲义1等差数列难版Word文档格式.docx
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等差数列的求和公式:
和=(首项+末项)×
项数÷
2
以及另外两个重要公式:
(1)项数=(末项-首项)÷
公差+l
(2)末项=首项+公差×
(项数-1)
【例1】★把比100大的奇数从小到大排成一列,其中第21个是多少?
【解析】该数列为等差数列,首项为101,公差为2,第21个数的项数为21.则101+(21-1)×
2=141
【小试牛刀】2,5,8,11,14……是按照规律排列的一串数,第21项是多少?
【解析】此数列为一个等差数列,将第21项看做末项。
末项=2+(21-1)×
3=62
【例2】★从1开始的奇数:
1,3,5,7,……其中第100个奇数是_____。
【解析】
【小试牛刀】观察右面的五个数:
19、37、55、a、91排列的规律,推知a=________。
【解析】19+18=37,37+18=55,所以a=55+18=73
【例3】★2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列,如果其中五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个.
【解析】方法一:
利用等差数列的“中项定理”,对于奇数个连续自然数,最中间的数是所有这些自然数的平均值,五个连续偶数的中间一个数应为,因相邻偶数相差2,故这五个偶数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60.
【小试牛刀】1、3、5、7、9、11、是个奇数列,如果其中8个连续奇数的和是256,那么这8个奇数中最大的数是多少?
【解析】我们可以找中间的两个数其中一个为,那么这8个数为:
,,,,,,,,根据题意可得:
,所以,最大的奇数是.
【例4】★在等差数列6,13,20,27,…中,从左向右数,第_______个数是1994.
【解析】每个数比前一个数大7,根据求通项的公式得,列式得:
即第285个数是1994.
【小试牛刀】5、8、11、14、17、20、,这个数列有多少项?
它的第201项是多少?
65是其中的第几项?
【解析】它是一个无限数列,所以项数有无限多项.第项首项公差,所以,第201项,对于数列5,8,11,,65,一共有:
,即65是第21项.
【例5】★★⑴如果一个等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.
⑵如果一个等差数列的第3项为16,第11项为72,求它的第6项.
【解析】⑴要求第8项,必须知道首项和公差.第6项第4项公差,所以,
公差;
第4项首项公差,首项,所以,首项;
第8项首项公差.
⑵公差,首项,第6项.
【小试牛刀】已知一个等差数列第8项等于50,第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少?
【解析】71-50=21。
21÷
(15-8)=3(公差)。
50=首项+(8-1)×
3。
所以首项=29
【例6】★一个等差数列2,4,6,8,10,12,14,这个数列各项的和是多少?
【解析】根据中项定理,这个数列一共有7项,各项的和等于中间项乘以项数,即为:
.
【小试牛刀】有20个数,第1个数是9,以后每个数都比前一个数大3.这20个数相加,和是多少?
【解析】末项是:
,和是:
【例7】★★已知数列:
2,1,4,3,6,5,8,7,,问2009是这个数列的第多少项?
【解析】偶数项的排列规律是:
1、3、5、7,
奇数项的排列规律是:
2、4、6、8,
方法一:
可以看出两个数列都是等差数列.由于2009是奇
数,所以在偶数项数列中,它的项数是:
,所以在整个数列中,2009的项数是,所以2009是这个数列的第2010项.
方法二:
仔细观察能发现,在整个数列中,奇数的项数是该数,偶数的项数是该数,所以2009是这个数列的第项.
【小试牛刀】已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、,问:
这个数列中第2000个数是多少?
第2003个数是多少?
【解析】奇数项的排列规律是:
偶数项的排列规律是:
3、6、9、12,
可以看出奇数项与偶数项都成等差数列,先求出要求的两个数各自在等差数列中的项数:
第2000个数在偶数项等差数列中是第个数,第2003个数在奇数项等差数列中是第个数,所以第2000个数是,第2003个数是.
【例8】★★如图2,用火柴棍摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当N=5时,按这种方式摆下去,当N=5时,共需要火柴棍
根。
【解析】找规律3,3+6,3+6+9…,N=5时,需要火柴棍3+6+9+12+15=45
【小试牛刀】观察下面的序号和等式,填括号.
序号等式
1
3
5
7
【解析】可以这样想:
⑴表中各竖行排列的规律是什么?
(等差数列)
⑵表中这四个括号,应先填哪一个?
为什么?
这个括号里的数怎么求?
应先填左起第一个,因为它是序号,表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置,即各自的项数.
第一个括号:
,;
第二个括号:
;
第三个括号:
根据等差数列通项公式:
或;
第四个括号:
或
答案为;
【例9】★★★四
(1)班45位同学举行一次同学联欢会,同学们在一起一一握手,且每两个人只能握一次手,同学们共握了多少次手?
【解析】根据以上分析,可以把本题转化为求一个等差数列的和
即44+43+42+…+3+2+1
=(44+1)×
44÷
=990(次)
【小试牛刀】学校进行书法大赛,每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有16人参加比赛,一共要进行多少场比赛?
【解析】15+14+13+…+3+2+1=(15+1)×
15÷
2=120(场)
【例10】★★盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;
第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球?
【解析】一只球变成3只球,实际上多了2只球。
第一次多了2只球,第二次多了2×
2只球……第十次多了2×
10只球。
因此拿了十次后,多了
2×
1+2×
2+…+2×
10
=2×
(1+2+…+10)
55=110(只)。
加上原有的3只球,盒子里共有球110+3=113(只)。
综合列式为:
(3-1)×
(1+2+…+10)+3
[(1+10)×
10÷
2]+3=113(只)。
【例11】★★★求下列方阵中所有各数的和:
1、2、3、4、……49、50;
2、3、4、5、……50、51;
3、4、5、6、……51、52;
……
49、50、51、52、……97、98;
50、51、52、53、……98、99。
【解析】每一横行数列之和:
第一行:
(1+50)502=1275
第二行:
(2+51)502=1325
第三行:
(3+51)502=1375
第四十九行:
(49+98)502=3675
第五十行:
(50+99)502=3725
方阵所有数之和:
1275+1325+1375+……+3675+3725
=(1275+3725)502
=125000
【小试牛刀】求下列方阵中100个数的和。
0、1、2、3、……8、9;
1、2、3、4、……9、10;
2、3、4、5、……10、11;
9、10、11、12、……17、18。
【解析】900
【例12】★★若干人围成16圈,一圈套一圈,从外向内圈人数依次少6人,如果共有912人,问最外圈有多少人?
最内圈有多少人?
【解析】a+a=S2n=912216=114(人)
外圈人数=(90+114)2=102(人)
内圈人数=(114-90)2=12(人)
【小试牛刀】若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少4人,如果共有304人,最外圈有几人?
【解析】52人
【例13】★★★自然数按一定规律排成下表,问第60行第5个数是几?
【解析】从两个方面考虑:
(1)先看组成这张表的数:
1,3,5,7,9,….这是一个公差为2的等差数列.第60行第5个数是这数列中的一项,已知首项和公差,知道第60行第5个数是数列中的第几项即可求解.而这个项数就是排列第60行第5个数时所用去数的个数.
(2)从表的排法来看,每行的数的个数也是等差数列:
1,3,5,7,….第60行第5个数也就是排完59行后又排5个数.59行所排数的个数就是1,3,5,7,…,中的第59项.
所以,第59行所用数的个数为:
(59-1)=117(个),从第一行排到第59行所用数的总个数为:
(1+117)×
59÷
2=3481(个),到第60行第5数共用去数的个数为:
3481+5=3486(个),第60行第5个数是数列1,3,5,7,…中第3486项,为:
(3486-1)=6971
【小试牛刀】有一个六边形点阵,如下图,它的中心是一个点,算做第一层,第二层每边有两个点,第三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层,问,这个点阵共有多少个点?
【解析】第100层有点:
6+(99-1)6
=6+986
=699
=594(个)
点阵只有点:
1+(6+594)992
=1+600992
=29701(个)
答:
这个点阵共有点29701个。
【例14】★★★100个连续自然数(按从小到大的顺序排列)的和是8450,取出其中第1个,第3个…第99个,再把剩下的50个数相加,得多少?
【解析】要求和,我们可以先把这50个数算出来.
100个连续自然数构成等差数列,且和为8450,则:
首项+末项=8450×
2÷
100=169,又因为末项比首项大99,所以,首项=(169-99)÷
2=35.因此,剩下的50个数为:
36,38,40,42,44,46…134.这些数构成等差数列,和为(36+134)×
50÷
2=4250.
【例15】★★★把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少?
【解析】由题可知:
由210拆成的7个数必构成等差数列,则中间一个数为210÷
7=30,所以,这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15,第6个数是40.
1.1、4、7、10、13、…这个数列中,有6个连续数字的和是159,那么这6个数中最小的是几?
【解析】设这个数为:
,,,,,,它们的和是,所以,那么最小数为19.
2.对于数列4、7、10、13、16、19……,第10项是多少?
49是这个数列的第几项?
第100项与第50项的差是多少?
【解析】可以观察出这个数列是公差为3的等差数列.根据刚刚学过的公式:
第项首项公差,项数(末项首项)公差,第项第项公差
第10项为:
,49在数列中的项数为:
第100项与第50项的差:
3.如果一等差
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- 年级 奥数培优 讲义 等差数列