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最新集合知识点与题型归纳
第一讲集合
●高考明方向
1.了解集合的含义,元素与集合的属于关系;
能用列举法或描述法表示集合.
2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
了解全集与空集的含义.
3.理解并会求并集、交集、补集;
能用Venn图表达集合的关系与运算.
★备考知考情
对于本节的考查,一般以选择题或填空题形式出现,难度中低档.
命题的规律主要体现在集合与集合、元素与集合之间的关系以及集合
的交集、并集、补集的运算,同时注意以集合为工具,考查对集合语言、
集合思想的理解和运用,往往与映射、函数、方程、不等式等知识融合
在一起,体现出一种小题目综合化的特点.
在考查集合知识的同时突出考查准确使用数学语言能
力及用数形结合、分类讨论思想解决问题的能力;
以集合为载体考查对信息的收集、捕捉、加工能力.
一、知识梳理《名师一号》P1
知识点一元素与集合
某些指定的对象集在一起就成为一个集合.其中每个对象
叫做集合中的元素.
1、集合中的元素具有三个特性确定性、互异性和无序性.
2、集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种,
分别用∈和∉来表示.
3、常见数集的符号表示:
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
表示法
N
N*或N+
Z
Q
R
4、集合有三种表示方法:
列举法、描述法、图示法
还可以用区间来表示集合.
5、集合的分类:
按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集
知识点二集合间的基本关系
知识点三集合的基本运算及性质
1.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为∁UA
图形
表示
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
∁UA={x|x∈U且x∉A}
注意补集的相对性
2.集合的运算性质
并集的性质:
A∪=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A
交集的性质:
A∩=;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B
补集的性质:
A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=;∁U(∁UA)=A
二、例题分析:
(一)元素与集合之间的关系
例1.
(1)《名师一号》P1对点自测2
已知集合A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x},则A∩B=________.
答案:
注意:
《名师一号》P2高频考点例1规律方法
(1)
用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,
再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合.
《名师一号》P2问题探究问题2
、{}与{0}有什么区别与联系?
是空集,不含任何元素.{}不是空集,它含有一个元素;
同样,{0}也不是空集,它含有一个元素0.
由于空集是任何集合的子集,故{0},{};
又根据是{}的一个元素,也可以得到∈{}.另外,{}∩{0}=.
例1.
(2)(补充),,
,,,
则()
答案:
D
练习:
《名师一号》P2高频考点变式思考1
(1)
已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},
B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为( )
A.0B.1C.2D.3
答案:
2
注意:
集合与解析几何
集合与平面解析几何结合是高考的又一热点,
这类题型一般以集合为载体考查解析几何基本图形的性质
及相互之间的关系,解题关键是抓住表达式的几何意义.
练习1:
已知集合M={(x,y)|y-1=k(x-1),x,y∈R},
集合N={(x,y)|x2+y2-2y=0,x,y∈R},那么M∩N中()
A.不可能有两个元素B.至多有一个元素
C.不可能只有一个元素D.必含无数个元素
解析:
y-1=k(x-1)表示经过定点(1,1),斜率为k的直线,
不包括通过(1,1)与x轴垂直的直线即x=1.
x2+y2-2y=0,可化为x2+(y-1)2=1,表示圆心在(0,1),
半径等于1的圆,又(1,1)是圆上的点,
∴直线与圆有两个交点,故选C.
练习2:
已知集合,
,
若,则实数的取值范围是()
A.B.
C.D.
答案:
B
例2.
(1)《名师一号》P1对点自测3
已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,则m的值为________.
解析:
因为5∈{1,m+2,m2+4},所以m+2=5或m2+4=5,
即m=3或m=±1.
当m=3时,M={1,5,13};
当m=1时,M={1,3,5};
当m=-1时,M={1,1,5}不满足互异性.
所以m的值为3或1.
注意:
《名师一号》P2问题探究问题1
如何正确认识集合的三大特性?
集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.
解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
例2.
(2)《名师一号》P2高频考点例1
已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},
则B中所含元素的个数为( )
A.3B.6C.8D.10
解析:
由x-y∈A,及A={1,2,3,4,5}得x>y,
当y=1时,x可取2,3,4,5,有4个;
当y=2时,x可取3,4,5,有3个;
当y=3时,x可取4,5,有2个;
当y=4时,x可取5,有1个.
故共有1+2+3+4=10(个),选D.
注意:
《名师一号》P2高频考点例1规律方法
(2)
集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.
分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
例2.(3)《名师一号》P2高频考点例1
(2)
(07全国Ⅰ)设,集合
则()
A.1B.C.2D.
解析:
因为{1,a+b,a}=,a≠0,
所以a+b=0,得=-1,
所以a=-1,b=1.所以b-a=2.
注意:
利用互异性解题
练习:
(补充)
设P、Q为两个非空实数集合,定义集合
P*Q={x|x=a·b,“·”为通常的乘法运算,a∈P,b∈Q},
若P={0,2,4},Q={1,2,6},则P*Q中元素的个数是( )
A.9B.8C.7D.6
解析:
由题意可知P*Q={0,2,4,8,12,24}.故选D.
本题易形成错解:
从P中选取元素a有3种选法,
对于它的每一种选法,在Q中选取b有3种选法,
∴共有3×3=9种,∴选A.
例3.(补充)
在集合M={0,,1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合,
该集合恰满足条件“对∀x∈A,有∈A”的概率是________.
解析:
集合M的非空子集有25-1=31个,而满足条件
“对∀x∈A,则∈A”的集合A中的元素为1、或2,
且,2要同时出现,故这样的集合有3个:
{1},{,2},{1,,2}.因此,所求的概率为.
注意:
1、一般地,若,则元素一定满足集合
中元素的共同特征
2、《名师一号》P2对点自测4
(2)
含有n个元素的集合的子集个数是2n,
真子集个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.
练习1:
《名师一号》P2高频考点例1变式思考1
(2)
若集合A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数a=________.
∵集合A的子集只有两个,∴A中只有一个元素.
当a=0时,x=符合要求.
当a≠0时,Δ=(-3)2-4a×2=0,∴a=.
故a=0或.
练习2:
(补充)
设集合,
,则点的
充要条件是
答案:
且
(二)集合与集合之间的关系
例1.
(1)《名师一号》P2高频考点例2
(1)
已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 若BA,求实数m的取值范围. 解析: 当B=时,有m+1≥2m-1,则m≤2. 当B≠时,若BA,如图. 则解得2 综上,m的取值范围是(-∞,4]. 例1. (2)《名师一号》P2高频考点例2 (2) 设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0}, B={x|x2+(m+1)x+m=0}. 若(∁UA)∩B=,求m的值. 解析: A={-2,-1},由(∁UA)∩B=,得BA. ∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0, ∴B≠. ∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}. ①若B={-1},则m=1; ②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4, 且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立, ∴B≠{-2}; ③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3, 且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2. 经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或2. 注意: 《名师一号》P2高频考点例2规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素, 对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解. 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 如AB时,A有两种情况: 与 (2)在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是 合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时, 要对参数进行讨论. 解含参数的问题,要有讨论的意识,分类讨论时要注意空集 (3)区分“包含于”、“包含”、“真包含”、“不包含” 关注区间端点值是否取到—具体检验! (4)方程与不等式的解集 练习1: 《名师一号》P3高频考点例3变式思考3 (1) 已知全集为R,集合A=, B={x|x2-6x+8≤0},则A∩∁RB=( ) A.{x|x≤0}B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2,或x>4}D.{x|0 解析: A=={x|x≥0},B={x|2≤x≤4}, 所以∁RB={x|x<2,或x>4},此时A∩∁RB={x|0≤x<2,或x>4}. 练习2: (补充)设集合,, 则() 答案: B (三)集合的运算 例1.《名师一号》P2高频考点例3 (2) 已知R是实数集,集合P={x|y=ln(x2+2014x-2015)}, Q={y|y=},则(∁RP)∪Q=( ) A.(0,1]B.[0,1]C.(-2015,1]D.[-2015,2] 解析: 集合P表示函数y=ln(x2+2014x-2015)的定义域, 由x2+2014x-2015>0,即(x-1)(x+2015)>0, 解得x<-2015或x>1.故P=(-∞,-2015)∪(1,+∞), ∁RP=[-2015,1]. 集合Q表示函数y=的值域, 设t=-x2+2x+3,则y=. 因为t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4, 所以y=∈[0,2],即Q=[0,2]. 所以(∁RP)∪Q=[-2015,2],故选D. 注意: 1、正确解读集合语言 集合的运算问题要依据交、并、补运算的定义求解 同时关注区间端点值是否取到 2、《名师一号》P2问题探究问题4 数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具, 数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要先把集合中 各种形式的元素化简,使之明确化,尽可能地借助
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