学年高中数学第二单元平面向量212向量的加法学案北师大版必修4含答案.docx
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学年高中数学第二单元平面向量212向量的加法学案北师大版必修4含答案
2.1.2 向量的加法
学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念,了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律,并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.
知识点一 向量加法的三角形法则与平行四边形法则
分析下列实例:
(1)飞机从广州飞往上海,再从上海飞往北京(如图),
这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船,它们的牵引力分别是F1=3000N,F2=2000N,牵引绳之间的夹角为θ=60°(如图),如果只用一条拖轮来牵引,也能产生跟原来相同的效果.
思考1 从物理学的角度来讲,上面实例中位移、牵引力说明了什么?
体现了向量的什么运算?
思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则?
梳理
(1)向量加法的定义
求______________的运算,叫做向量的加法.
(2)三角形法则
如图所示,已知向量a,b,在平面上任取一点A,作=a,=b,再作向量,则向量______叫做a与b的和(或和向量),记作________,即a+b=+=______.上述求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.
对于零向量与任一向量a的和,有a+0=____+______=______.
(3)平行四边形法则
如图所示,已知两个不共线向量a,b,作=a,=b,则A、B、D三点不共线,以______,______为邻边作____________ABCD,则对角线上的向量________=a+b,这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.
知识点二 向量求和的多边形法则
思考 如果一个动点先由点A位移到点B,再由点B位移到点C,最后由点C位移到点D,那么动点的和位移向量是多少?
由此可得到向量加法的什么法则?
梳理 已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量,这个法则叫做向量求和的多边形法则.
知识点三 向量加法的运算律
思考1 实数加法有哪些运算律?
思考2 根据图中的平行四边形ABCD,验证向量加法是否满足交换律.(注:
=a,=b)
思考3 根据图中的四边形ABCD,验证向量加法是否满足结合律.(注:
=a,=b,=c)
梳理 向量加法的运算律
交换律
a+b=________
结合律
(________)+c=a+(________)
类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
例1 如图
(1)
(2),已知向量a,b,c,求作向量a+b和a+b+c.
(1)
(2)
反思与感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别:
(1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调“共起点”.
(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
联系:
(1)当两个向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.
跟踪训练1 如图所示,O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列向量.
(1)+=________;
(2)+=________;
(3)+=________.
类型二 向量加法运算律的应用
例2 化简:
(1)+;
(2)++;
(3)++++.
反思与感悟
(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接,再运用向量的结合律调整向量顺序后相加.
(2)向量求和的多边形法则:
+++…+=.特別地,当An和A1重合时,+++…+=0.
跟踪训练2 已知正方形ABCD的边长等于1,则|+++|=________.
类型三 向量加法的实际应用
例3 在静水中船的速度为20m/min,水流的速度为10m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.
引申探究
1.若本例中条件不变,则经过1h,该船的实际航程是多少?
2.若本例中其他条件不变,改为若船沿垂直水流的方向航行,求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值.
反思与感悟 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用,准确作出图象是解题关键.
跟踪训练3 如图,用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
1.如图,在正六边形ABCDEF中,++等于( )
A.0B.
C.D.
2.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中错误的是( )
A.++=0
B.++=0
C.++=
D.++=
3.已知正方形的边长为1,=a,=b,=c,则|a+b+c|等于( )
A.0B.3C.2D.
4.如图所示,在四边形ABCD中,=+,则四边形为( )
A.矩形
B.正方形
C.平行四边形
D.菱形
5.小船以10km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为10km/h,则小船的实际航行速度的大小为________km/h.
1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法,两个法则是统一的,当两个向量首尾相连时常选用三角形法则,当两个向量共起点时,常选用平行四边形法则.
2.向量的加法满足交换律,因此在进行多个向量的加法运算时,可以按照任意的次序和任意的组合去进行.
3.在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量,如果结果是零向量,一定要写成0,而不应写成0.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移,四边形OACB的对角线表示的力是与表示的力的合力.体现了向量的加法运算.
思考2 三角形法则和平行四边形法则.
梳理
(1)两个向量和
(2) a+b 0 a a (3)AB AD 平行四边形
知识点二
思考 和位移向量是,由此可得向量求和的多边形法则.
知识点三
思考1 交换律和结合律.
思考2 ∵=+,∴=a+b.
∵=+,∴=b+a.
∴a+b=b+a.
思考3 ∵=+
=(+)+,
∴=(a+b)+c.
又∵=+=+(+),
∴=a+(b+c),
∴(a+b)+c=a+(b+c).
梳理 b+a a+b b+c
题型探究
例1 解
(1)作法:
在平面内任意取一点O,作=a,=b,则=a+b.
(2)在平面内任意取一点O,作=a,=b,=c,则=a+b+c.
跟踪训练1
(1)
(2) (3)0
例2 解
(1)+=+=.
(2)++=++
=(+)+=+=0.
(3)++++
=++++
=+++
=++
=+=0.
跟踪训练2 2
例3 解 作出图形,如图所示.
船速v船与岸的方向成α角,由图可知v水+v船=v实际,结合已知条件,四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中,
||=||=|v水|=10m/min,
||=|v船|=20m/min,
∴cosα===,
∴α=60°,从而船与水流方向成120°的角.
∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进.
引申探究
1.解 由例3知v船=20m/min,
v实际=20×sin60°=10(m/min),
故该船1h行驶的航程为10×60=600(m)=(km).
2.解 如图,作平行四边形ABDC,
则=v实际,设船实际航向与岸方向的夹角为α,
则tanα===2.
即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.
跟踪训练3 A处所受的力为5N,B处所受的力为5N.
当堂训练
1.D 2.D 3.C 4.C 5.20
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