最新高考数学解题方法分类讨论思想在解题中的应用优秀名师资料.docx
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最新高考数学解题方法分类讨论思想在解题中的应用优秀名师资料
高考数学解题方法-分类讨论思想在解题中的应用
第6讲分类讨论思想在解题中的应用一、知识整合
1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想对于简化研究对象,发展人的思维有着重要帮助,因此,有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
2.所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略。
3.分类原则:
分类对象确定,标准统一,不重复,不遗漏,分层次,不越级讨论。
4.分类方法:
明确讨论对象,确定对象的全体,确定分类标准,正确进行分类;
逐类进行讨论,获取阶段性成果;归纳小结,综合出结论。
5.含参数问题的分类讨论是常见题型。
6.注意简化或避免分类讨论。
二、例题分析
例1.一条直线过点(5,2),且在x轴,y轴上截距相等,则这直线方程为()
A.B.250xy,,xy,,,70
C.D.xyxy,,,,,70250或xyyx,,,,,70250或
分析:
设该直线在x轴,y轴上的截距均为a,2
当a=0时,直线过原点,此时直线方程为yxxy,,,,即250;
5xy当时,设直线方程为,方程为。
xy,,,70a,015,,,17,则求得a
aa例2(,ABCABC中,已知,,求sincoscos,,
分析:
由于CAB,,,,()?
,,,,,,coscos()coscossinsinCABABAB,,
213因此,只要根据已知条件,求出cosA,sinB即可得cosC的值。
但是由sinA求cosA时,是一解还是两解,这一点需经过讨论才能确定,故解本题时要分类讨论。
对
52角A进行分类。
12
,?
0,,,cosBBABC,且为的一个内角,解:
?
,,4590BB,且sin13
13,若为锐角,由,得,此时AAAAsincos,,,30132
221
1,,若为钝角,由,得,此时AAAABsin,,,,1501802
这与三角形的内角和为180?
相矛盾。
可见A,150
?
,,,,,coscos()cos()CABAB,,,,,351121253,
,,,,coscossinsinABAB,,,,,,,,,,
2132132622,,例3.已知圆x+y=4,求经过点P(2,4),且与圆相切的直线方程。
分析:
容易想到设出直线的点斜式方程y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的充要条件:
“圆心到切线的距离等于圆的半径”,待定斜率k,从而得到所求直线方程,但要注意到:
过点P的直线中,有斜率不存在的情形,这种情形的直线是否也满足题意呢,
1因此本题对过点P的直线分两种情形:
(1)斜率存在时,„
(2)斜率不存在„
解(略):
所求直线方程为3x-4y+10=0或x=21,,1
例4.解关于的不等式:
xlog()ax
分析:
解对数不等式时,需要利用对数函数的单调性,把不等式转化为不含对数符号的不等式。
而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同,故需对a进行分类11
讨论。
1,解:
若,则原不等式等价于a>11,,,a,,x0
1,,0
1,x
x1,a若,则原不等式等价于01,,a,,,1x,1,,11,a
1,,a综上所述,当时,原不等式的解集为;ax,1,,x0,1,,,,x,
当时,原不等式的解集为011,,,,axx1,a,,
,
2例5.解不等式54,,,xxx1,a,,分析:
解无理不等式,需要将两边平方后去根号,以化为有理不等式,而根据不等式的性质可知,只有在不等式两边同时为正时,才不改变不等号方向,因此应根据x,0,
运算需求分类讨论,对x分类。
x,0,,
2原不等式等价于或540,,,xx解:
,
2540,,,xx,,22254,,,xxx,
x,0
x,0,,
,,,51x或,,
,,51x,,
1414,,,,,,,1x114,1422,
,,,,,,,01xx或50,,,,,,51x,,142,,2
?
,,,,原不等式的解集为xx51,,
22,,例6.解关于的不等式:
xaxax,,,,()110,,
分析:
这是一个含参数a的不等式,一定是二次不等式吗,不一定,故首先对二次项系数a分类:
(1)a?
0
(2)a=0,对于
(2),不等式易解;对于
(1),又需再次分类:
a>0或a<0,因为这两种情形下,不等式解集形式是不同的;不等式的解是在两
1根之外,还是在两根之间。
而确定这一点之后,又会遇到1与谁大谁小的问题,因a
而又需作一次分类讨论。
故而解题时,需要作三级分类。
1解:
()当时,原不等式化为10101axx,,,,?
()当时,原不等式化为201aaxx,,,,()()01
?
若,则原不等式化为axx,,,,01()()0a111
?
?
01?
,不等式解为或xx11a
aaa
?
若,则原不等式化为axx,,,,01()()011
()当时,,不等式解为ia,,,,11x1a1
()iia当时,,不等式解为,,,,11xaa
11a()iiia当时,,不等式解为01,,,,,11xaa
综上所述,得原不等式的解集为1,,
当时,解集为axx,,01|;;当时,解集为或axx,,,0x1,,,,
a,,
3
1,,;;当时,解集为a,,1当时,解集为011,,,,axx,,a,,1,,
。
当时,解集为ax,,,1x1,,
a,,SS例7.已知等比数列的前n项之和为,前n+1项之和为,公比q>0,令nn,1
Snn。
T,,求limTnn,1n,,Snaq()1,1分析:
对于等比数列的前n项和S的计算,需根据q是否为1分为两种情形:
n
当时,;当时,q=1SnaqS,,,1nn1
n另外,由于当时,,而已知条件中||limq,100qq,,1,q
故还需对q再次分类讨论。
nn,n1
n,,1解:
当时,,qSnaSna,,,,11()?
limlimT,,nnn111,aq1,aq1,1nn,,n,,S,qn,n()()111,当时,,qS,,1S,?
,Tnn,nn1,S,qn111当时,;01lim1,,,qTn1,q1,qn,,
11,n1q当时,qT,,,1limlimnnn,,,,1q,q101,,,nq,()q
1,综上所述,知limTn,,,1n,()q,,,14xy,
22,例8.设,问方程表示什么曲线,kRkxkykk,,,,,,,()()()()8484q
22
容易想到把方程变形为,但这种变形需要,且k分析:
48,
kkkk,,,,,,,,848,而且与的正负会引起曲线类型的不同,因此对,()要进行分类:
,,,,,,,,又注意到kkkkk,,,,,,,,,()()()444888
kkkkkkkk,,,,,,,,,,,480484080与且表示的曲线是不一样的,因此()还应有一个“分界点”,即,故恰当的分类为,,,,,,k,,,644466()()
(,),,(,)6888,,
2解:
(1)当k=4时,方程变为4x=0,即x=0,表示直线;
2
(2)当k=8时,方程变为4y=0,即y=0,表示直线;
4
xy
22
()当且时,原方程变为348kk,,,,1
(i)当k<4时,方程表示双曲线;(ii)当4 k,48,k(iii)当k=6时,方程表示圆;(iv)当6 (v)当k>8时,方程表示双曲线。 例9.某车间有10名工人,其中4人仅会车工,3人仅会钳工,另外三人车工钳工都会,现需选出6人完成一件工作,需要车工,钳工各3人,问有多少种选派方案, 3分析: 如果先考虑钳工,因有6人会钳工,故有C种选法,但此时不清楚选出的6 钳工中有几个是车钳工都会的,因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工,因此在选车工时,就无法确定是从7人中选,还是从六人、五人或四人中选。 同样,如果先22考虑车工也会遇到同样的问题。 因此需对全能工人进行分类: (1)选出的6人中不含全能工人; (2)选出的6人中含有一名全能工人;(3)选 33212212出的6人中含2名全能工人;(4)选出的6人中含有3名全能工人。 3312321333 解: CCCCCCCCCCCCCCCCP,,,,,,,,,,,,,,,,43 ,,,,,,,,,CCCCCCC30934343334 或: CCCCCCCCCC,,,,,,,,,,3093733633534 三、总结提炼 分类讨论是一种重要的数学思想方法,是一种数学解题策略,对于何时需要分类讨论,则要视具体问题而定,并无死的规定。 但可以在解题时不断地总结经验。 如果对于某个研究对象,若不对其分类就不能说清楚,则应分类讨论,另外,数学中的一些结论,公式、方法对于一般情形是正确的,但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。 这也是造成分类讨论的原因,因此在解题时,应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。 常见的“个别”情形略举以下几例: 22 (1)“方程有实数解”转化为时忽略了了个别情axbxc,,,0“”,,,,bac40 形: 当a=0时,方程有解不能转化为? ? 0; naq (1),n,11S,aq (2)等比数列的前项和公式中有个别情形: 时,公nq,1,,n11,q 式不再成立,而是S=na。 n1 设直线方程时,一般可设直线的斜率为k,但有个别情形: 当直线与x轴垂直(3) 时,直线无斜率,应另行考虑。 xy,,1,(4)若直线在两轴上的截距相等,常常设直线方程为,但有个别情形: a=0aa 时,再不能如此设,应另行考虑。 四、强化练习: 见优化设计。 5 【模拟试题】 一.选择题: 321.若的大小关系aapaaqaapq,,,,,,,,0111,且,,,则、log()log()aa 为() A.pq,B.pq, apq,,1时,01,,,apq时,C.pq,D.; 2,AxxpxxR,,,,,,|()210,AR: ,2.若,且,则实数中的取值范围是,, 6 () A.B.p,,2p,,2 C.D.p,2p,,4 3.设A=()xxaBxaxABBa||,,,,,,010,,且,则实数的值为: ,,, A.1B.,1C.D.11或,110,或, 2364.设的值为(),,,,,是的次方根,则„,,,,,,,, A.1B.0C.7D.0或7 5.一条直线过点(5,2),且在x轴,y轴上截距相等,则这直线方程为() A.xy,,,70 B.250xy,, C.xyxy,,,,,70250或 D.xyyx,,,,,70250或 nn6.若()sincossincos()xxxxnN,,,,1,则的值为 1A.1B.C.D.不能确定11或, 7.已知圆锥的母线为l,轴截面顶角为,则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值, 为() 1122A.l,sin,B.l22 2C.D.以上均不对lsin, 28.函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,则fxmxmx()(),,,,31 实数m的取值范围为() A.0,,,B.,,,1,,,, 01,C.D.(,)01,, 二.填空题 9.若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形,则圆柱的体积是______________。 2log10.若,则a的取值范围为________________。 1a3 2211.与圆xy,,,()21相切,且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________。 12.在50件产品中有4件是次品,从中任抽取5件,至少有3件次品的抽法共有______________种(用数字作答) 7 13.不等式的解集为_____________。 322101loglog()xxaa,,,,,且aa 三.解答题: 14.已知椭圆的中心在原点,集点在坐标轴上,焦距为,另一双曲线与此椭圆23 有公共焦点,且其实轴比椭圆的长轴小8,两曲线的离心率之比为3: 7,求此椭圆、双曲线的方程。 2215.设a>0且,试求使方程有解的k的取值范围。 a,1log()log()xakxa,,,2aa 8 【试题答案】 一.选择题 1.C2.D3.D4.D5.C6.A7.D 8.B 32提示: 1.欲比较p、q的大小,只需先比较的大小,再利用aaaa,,,,11与 32对数函数的单调性。 而决定的大小的a值的分界点为使aaaa,,,,11与 3()aa,,,1 22的a值: a=1,()()aaaa,,,,,110 3232当a>1时,此时aaaa,,,,,11,log()log()aaaa,,,,,11,aa 即pq,. 3232当即011111,,,,,,,,,,,,aaaaaaaaa时,,此时log()log()aa 。 pq, 可见,不论a>1还是0q。 ,02,,2.若,即A,,,,,,,,,,,,()ppAR24040,时,;: ,若A,,,则时,,,,,pAR0: p,2, ,0,,可见当都有AR: ,,故选(D),,,,400pp或时, 2,3.若BABBa,,,,,则,此时: 01,, 11? B,由知ABBBA: ,若,则,a,0B,,,, a,,? ? ,,,,,A,,解得或,故,或aaa011011 71,,74.由是1的7次方根,可得,,1;显然,1是1的7次方根,故可能;,,,1 aa26若,则,,,,,,,,,,11,则„,若,,01, 26111117,,,,,,,,,,,,,„„ 1,,故选(D) 5.设该直线在x轴,y轴上的截距均为a,2 yxxy,,,,即250当a=0时,直线过原点,此时直线方程为; 5xy当时,设直线方程为,方程为xy,,,70a,0 ,,,17,则求得a aa9 26.由sincos(sincos)sincosxxxxxx,,,,,,110,得,即 当时,;当时,,sincoscossinxxxx,,,,0101 nn于是总有,故选(A)sincosxx,,1 12,7.当时,最大截面就是轴截面,其面积为;lsin,,,902 1,2,当时,最大截面是两母线夹角为90的截面,其面积为l,,902 1122可见,最大截面积为,故选(D)ll或sin,1 22 m,08.当时,满足题意fxxx(),,,31,其图象与轴交点为(,)0 当时,再分,两种情形,由题意得mmm,,,000 3 m,0m,0, 或解得或,, 12,0010,,,mm1,, xx,,0,,m,3m,m,1综上可知,mmm,,,,0001或或,,,,0 故选(B)2m, 二.填空题 849.或,, 282(提示: 若长为4的边作为圆柱底面圆周的展开图,,则;若V,,,,,)柱2 , 142长为2的边作为圆柱底面圆周的展开图,则V,,,,,))柱4 ,2 10.0,,,aa或1 3 011,,,aa与(提示: 对a分: 两种情况讨论) 11.yxyxxyxy,,,,,,,,,,,33220220或或或()() (提示: 分截距相等均不为0与截距相等均为0两种情形) 12.4186种 (提示: 对抽取5件产品中的次品分类讨论: (1)抽取的5件产品中恰好有3件3241次品; (2)抽取的5件产品中恰好有4件次品,于是列式如下: CCCC,,,=4140+46446446 10 =4186) ,23,, 13.若a,1,则解集为xaxaxa,,,或,,34 ,,,,,,,32 若01,,a,则解集为xaxaxa,,,,或0,,43 ,,,(提示: 设logxttt,,,,,则原不等式可简化为3221a 2323解之得或,即或loglogaa 23,,,,,,ttxx11 对a分类: a,1时,axaxa,,,或;3423 )010,,,,,,aaxaxa时,或3434 34 三.解答题 14.解: (1)若椭圆与双曲线的焦点在x轴上,可设它们方程分别为 2222xyxy,依题意,,,,,,,,10100(),,('') abab,cc,,'13,''a,7,,222abc,,,,2222b,6,,abab222acb''',,,,,a',3,,282aa',,,,b',2,cc',,37: : aa', 2222xyxy? ,,,,11两曲线方程分别为,493694 22yx,,,,10() (2)若焦点在y轴上,则可设椭圆方程为ab 2222abyx,,,,100(''),双曲线方程为,依题意有 ab ''22ab 11 cc,,'13, a,7,,222cab,,,,b,6,,222cab',,,,,a',3,,282aa',,,,b',2,cc',,37: : yxyx11,aa', 2222 ? ,,,,椭圆方程为,双曲线方程为493694 222215.解: 原方程可化为log()logxakxaxakxa,,,,,,,aa 2222令fxxakgxxaxakxa()()(),,,,,,,,,且00 则对原方程的解的研究,可转化为对函数图象的交点的研究fxgx()()、 下图画出了gx()的图象,由图象可看出 y g(x)f(x) g(x) a AAx12 -aOa -a (1)当直线fxxakAaAa()()(),,,过点,,,00时,与双曲线无交点,此时12 k,,1k,,1即当时,原方程无解; (2)当直线fxxakOfx()(),,过原点(,)时,00图象与双曲线渐近线重合, 显然直线与双曲线无交点,即当k=0时,原方程无解; 01,,k(3)当直线fxxak(),,的纵截距满足,,,,,,aakaka0或,即 或k,,31时,直线与双曲线总有交点,原方程有解。 综上所述,当k,,,,(),(,)时,原方程有解。 101: 12
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