版高考数学文大一轮优选全国通用版讲义第3讲 简单的逻辑联结词全称量词与存在量含答案Word文件下载.docx
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真
__真__
__假__
假
简记为:
p∧q中一假则假,全真才真;
p∨q中一真则真,全假才假;
p与¬
p真假性相反.
2.全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
__∀__
存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等
__∃__
3.全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x,有p(x)成立
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
简记
__∀x∈M,p(x)__
__∃x0∈M,p(x0)__
否定
__∃x0∈M__,¬
p(x0)
__∀x∈M__,¬
p(x)
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×
”).
(1)命题“5>
6或5>
2”是假命题.( ×
)
(2)若命题p∧q为真,则p为真或q为真.( ×
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( ×
(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”.( ×
解析
(1)错误.命题p∨q中有一真则p∨q为真.
(2)错误.p∧q为真,则p,q同时为真.
(3)错误.命题“长方形的对角线相等”可叙述为“任意长方形的对角线相等”,是全称命题.
(4)错误.“菱形的对角线相等”是全称命题,其否定为“有的菱形的对角线不相等”.
2.下列命题中的假命题是( C )
A.∃x∈R,lgx=0 B.∃x∈R,tanx=1
C.∀x∈R,x3>
0 D.∀x∈R,2x>
解析 当x=1时,lgx=0;
当x=时,tanx=1,所以A,B项中的命题均为真命题.显然D项中的命题为真命题.当x=0时,x3=0,所以C项中的命题为假命题.故选C.
3.已知命题p:
若实数x,y满足x2+y2=0,则x,y全为0;
命题q:
若a>
b,则<
.给出下列四个命题:
①p且q;
②p或q;
③¬
p;
④¬
q.
其中真命题的个数是( B )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ∵命题p为真命题,q为假命题,∴p或q,¬
q为真命题.故选B.
4.已知命题p:
∃n∈N,2n>
1000,则¬
p为( A )
A.∀n∈N,2n≤1000
B.∀n∈N,2n>
1000
C.∃n∈N,2n≤1000
D.∃n∈N,2n<
解析 由于特称命题的否定是全称命题,因而¬
p:
∀n∈N,2n≤1000.故选A.
5.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )
A.(¬
p)∨(¬
q) B.p∨(¬
q)
C.(¬
p)∧(¬
q) D.p∨q
解析 因为p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则¬
p是“甲没有降落在指定范围”,¬
q是“乙没有降落在指定范围”,所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬
q).故选A.
一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的步骤:
①先判断简单命题p,q的真假;
②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假.
(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系:
①p∨q真⇔p,q至少有一个真⇔(¬
q)假;
②p∨q假⇔p,q均假⇔(¬
q)真;
③p∧q真⇔p,q均真⇔(¬
④p∧q假⇔p,q至少有一个假⇔(¬
⑤¬
p真⇔p假;
p假⇔p真.
【例1】
(1)(2017·
山东卷)已知命题p:
∃x∈R,x2-x+1≥0;
若a2<
b2,则a<
b.下列命题为真命题的是( B )
A.p∧q B.p∧(¬
p)∧q D.(¬
(2)已知命题p1:
函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:
函数y=2x+2-x在R上为减函数,则在命题q1:
p1∨p2,q2:
p1∧p2,q3:
(¬
p1)∨p2,q4:
p1∧(¬
p2)中,真命题是( C )
A.q1,q3 B.q2,q3
C.q1,q4 D.q2,q4
解析
(1)∵方程x2-x+1=0的判别式Δ=(-1)2-4=-3<
0,又对于二次函数y=x2-x+1,其图象开口向上,∴x2-x+1>
0恒成立,∴p为真命题.对于命题q,取a=2,b=-3,22<
(-3)2,而2>
-3,∴q为假命题,¬
q为真命题.因此p∧(¬
q)为真命题.故选B.
(2)∵y=2x在R上为增函数,
y=-2-x=-x在R上为增函数,
∴y=2x-2-x在R上为增函数,故p1是真命题.
y=2x+2-x在R上为减函数是错误的,故p2是假命题.
∴q1:
p1∨p2是真命题,因此排除B项和D项,q2:
p1∧p2是假命题,q3:
p1)∨p2是假命题,排除A项.故选C.
二 全称命题与特称命题
(1)全称命题与特称命题真假的判断方法:
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
所有对象使命题真
否定为假
存在一个对象使命题假
否定为真
存在一个对象使命题真
所有对象使命题假
(2)全称命题与特称命题的否定要注意以下两点:
①否定量词:
确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行否定;
②否定结论:
对原命题的结论进行否定.
【例2】
(1)设命题p:
∃n∈N,n2>
2n,则¬
p为( C )
A.∀n∈N,n2>
2n B.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n
(2)命题“对任意x∈R,都有x2≥ln2”的否定为( D )
A.对任意x∈R,都有x2<
ln2
B.不存在x∈R,使得x2<
C.存在x0∈R,使得x≤ln2
D.存在x0∈R,使得x<
解析
(1)命题“∃n∈N,n2>
2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.
(2)按照“任意”改“存在”,结论变否定的模式,命题的否定为“存在x0∈R,使得x<
ln2”.
【例3】
(1)下列命题中的假命题是( B )
A.∀x∈R,2x-1>
B.∀x∈N*,(x-1)2>
C.∃x0∈R,lnx0<
1
D.∃x0∈R,tanx0=2
(2)已知命题p:
∀x>
0,x+≥4;
∃x0∈(0,+∞),2x0=,则下列判断正确的是( C )
A.p是假命题 B.q是真命题
C.p∧(¬
q)是真命题 D.(¬
p)∧q是真命题
解析
(1)因为2x-1>
0,对∀x∈R恒成立,所以A项中的命题是真命题;
当x=1时,(x-1)2=0,所以B项中的命题是假命题;
存在0<
x0<
e,使得lnx0<
1,所以C项中的命题是真命题;
因为正切函数y=tanx的值域是R,所以D项中的命题是真命题.
(2)当x>
0时,x+≥2=4,p是真命题;
当x>
0时,2x>
1,q是假命题,所以p∧(¬
q)是真命题,(¬
p)∧q是假命题.
三 根据命题的真假求参数的取值范围
根据命题的真假求参数取值范围的求解策略
(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假,求出此时命题成立的参数的取值范围,再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围.
(2)全称命题可转化为恒成立问题.
【例4】已知命题p:
函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有1个零点,命题q:
函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点,如果p∧q是假命题,p∨q是真命题,求a的取值范围.
解析 若命题p为真命题,则函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有1个零点.
因为二次函数图象开口向上,对称轴为x=1,
所以所以0<
a<
1.
若命题q为真命题,则函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点,则Δ=(2a-3)2-4>
0,得4a2-12a+5>
0,解得a<
或a>
.
因为p∧q是假命题,p∨q是真命题,所以p,q一真一假.
①若p真q假,则所以≤a<
1;
②若p假q真,则所以a≤0或a>
故实数a的取值范围是(-∞,0]∪∪.
1.已知命题p:
复数z=在复平面内所对应的点位于第四象限;
∃x0>
0,2-x0=ex0,则下列命题中为真命题的是( A )
A.p∧q B.(¬
p)∧q
q) D.(¬
解析 化简z===1-i,故命题p是真命题;
在同一坐标系中同时画出函数f(x)=2-x和函数g(x)=ex的图象(图略),观察发现图象的交点在第一象限,故命题q是真命题.再根据复合命题的真值表,知A项是正确的.
2.命题p:
对任意的x∈R,f(x)=2cos2x+sin2x≤3,则( D )
A.p是假命题;
存在x0∈R,使得f(x0)=2cos2x0+sin2x0≤3
B.p是假命题;
存在x0∈R,使得f(x0)=2cos2x0+sin2x0>
3
C.p是真命题;
D.p是真命题;
解析 根据全称命题的否定是特称命题,可知全称命题p的否定是存在x0∈R,使得f(x0)=2cos2x0+sin2x0>
3.另外,f(x)=2cos2x+sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin+1≤3.故选D.
3.若命题“∃x0∈R,x-2x0+m≤0”是假命题,则实数m的取值范围是__(1,+∞)__.
解析 由题意,知命题“∀x∈R,x2-2x+m>
0”是真命题,故Δ=(-2)2-4m<
0,即m>
关于x的方程x2-mx-2=0在x∈[0,1]时有解;
f(x)=log2在x∈[1,+∞)时单调递增.若綈p为真命题,p∨q是真命题,则实数m的取值范围为____.
解析 根据题意,关于x的方程x2-mx-2=0在x∈[0,1]时有解,可得1-m-2≥0,从而求得m≤-1;
f(x)=log2在x∈[1,+∞)时单调递增,可得解得m<
.根据綈p为真命题,p∨q是真命题,可知p假q真,所以实数m的取值范围为.
错因分析:
否命题既要否定条件,又要否定结论,而命题的否定只否定结论.
【例1】写出命题“若a2+b2=0,则实数a,b全为零”的否定及否命题.
解析 命题的否定:
若a2+b2=0,则实数a,b不全为零
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