整理高三平面解析几何.docx
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整理高三平面解析几何
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平面解析几何
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【知识图解】
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例1.已知两点A(-1,2)、B(m,3)
(1)求直线AB的斜率k;
(2)求直线AB的方程;
13
(3)已知实数m*1怎1,求直线AB的倾斜角a的取值范围.
3,
例2.直线I过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B0为坐标原点
(1)当厶AOB的面积最小时,求直线I的方程;
⑵当|PA|•|PB|取最小值时,求直线I的方程.
P(—1,2).
例3.直线I被两条直线11:
4x+y+3=0和I2:
3x—5y-5=0截得的线段中点为
求直线I的方程.
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【练习】
1•已知下列四个命题①经过定点Po(xo,yo)的直线都可以用方程y-yo=k(x-xo)表示;②经过任意两个不同点Pi(xi,yi)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-yi)(x2-xi)=(x-xi)(y2-yi)表示;③不
经过原点的直线都可以用方程-+^=i表示;④经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y
ab
=kx+b表示,其中正确的是
2•设直线I的方程为2xk3y2k60k3,当直线I的斜率为-i时,k值为,
当直线I在x轴、y轴上截距之和等于0时,k值为
3.设直线ax+by+c=0的倾斜角为,且sin+cos=0,则a,b满足的关系式为
4•若直线I:
y=kx3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线I的倾斜角的取
值范围是
一i
5.若直线4x-3y-i2=0被两坐标轴截得的线段长为,则c的值为
C
6•若直线(m?
T)x—y^2m+i=0不经过第一象限,则实数m的取值范围是
答案i、①③④2、5_、i或33、ab04、(孑3)
丄丄,1
5、「6、2
两条直线的位置关系
例4.已知两条直线Ii:
x+m2y+6=0,12:
(m-2)x+3my+2m=0,当m为何值时,Ii与I2
(i)相交;
(2)平行;(3)重合?
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例5•已知直线I经过点P(3,1),且被两平行直线|1:
x+y+仁0和丨2:
x+y+6=0截得的线段之长为5。
求直线I的方程。
【练习】
1
1.已知直线I在x轴上的截距为1,且垂直于直线y-x,则I的方程是
2.若直线ax(1a)y3与(a1)x(2a3)y5互相垂直,则a
3.若直线l1:
ax+2y+6=0与直线12:
x+(a—1)y+(a2—1)=0平行,则a的值是.
4.已知0,且点(1,cos)到直线xsinycos1的距离等于一,贝V等于
24
5.经过直线2x3y70与7x15y10的交点,且平行于直线x2y30的直线方程
是
1、y2x2-3或13、-14、3x+6y-2=0
2、」5、»“y厶“
圆的方程
例6设方程x2y22(m3)x2(14m2)y16m490,若该方程表示一个圆,求
m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。
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变式1:
方程ax2ay24(a1)x4y0表示圆,求实数a的取值范围,并求出其中半径最小的圆的方程。
例7.求半径为4,与圆X2
2
y4x2y40相切,且和直线y0相切的圆的方程.
【练习】
1•关于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是
2•过点P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三点的圆的圆心坐标是
3.若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x2+y2=4的内部,贝Uk的范围是
4•已知圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上,则这个圆的方程是
5.直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于A、B两点,贝UAB的中点坐标是
6方程|x1J1(y1)2表示的曲线是
7.圆(x3)2(y4)22关于直线xy0的对称圆的方程是
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8.如果实数x、y满足等式x22y2
9.已知点A1,1)和圆C:
(x5)2(y
的最短路程为
答案1、B=0且A=C丰0,D2+E2-4AF>0
3,那么一的最大值疋
7)2
x
4,求一束光线从点
A经x轴反射到圆周C
2、
(5,-1)3、
-k1
5
5、
31
—,-两个半圆
10106、
4、x2y24x6y0
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例题答案
例1分析:
运用两点连线的子斜率公式解决,要注意斜率不存在的情况
解:
(1)当m=—1时,直线AB的斜率不存在.当m^—1时,k
(3)①当m=—1时,
2;
②当mz—1时,•••k
1
3
2
m1
3
62
23
故综合①、②得,直线
AB的倾斜角
2
6'
3
例2析引进合适的变量
建立相应的目标函数
通过寻找函数最值的取得条件来求
l的方程
11
解
(1)设直线l的方程为y-1=k(x-2),则点A(2-,0),B(0,1-2k),且2->0,1-2k>0,即
kk
k<0.
111111
△AOB的面积S=—(1-2k)(2-—)=—[(-4k)+——+4]>4,当-4k=——,即k=—时△AOB
2k2kk2
的面积有最小值4,则所求直线方程是x+2y-4=0.
(2)解法一:
由题设,可令直线方程I为y-仁k(x-2).
1
分别令y=0和x=0,得A(2——,0),B(0,1-2k),
k
•|PB|=.(44k2)(1J)\84(k2;)4,当且仅当k2=1,即k=±1时,
|PA|•|PB|取得最小值4.又k<0,•k=-1,这是直线l的方程是x+y-3=0.
解法二:
如下图,设/BAO=e,由题意得灰(0,),且|PA|•|PB|=|PE|LPF|4
2sincossin2
当且仅当9=—时,|PA|•|PB|取得最小值4,此时直线I的斜率为-1,直线l的方程是
4
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X+y-3=0.
例3分析本题关键是如何使用好中点坐标,对问题进行适当转化
解:
解法一设直线I交li于A(a,b),则点(一2—a,4-b)必在所以有
,解得
4ab30
3(2a)5(4b)50
直线I过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x+y+1=0.
解法二由已知可设直线
I与li的交点为A(—1+m,2+n),则直线
I与I2的交点为B(—1
—m,2—n),且I的斜率
k=—,■/A,B两点分别
m
l1和I2上,•••
4(1m)(2n)303(1m)5(2n)50
消去常数项得—3m=n,所以k=—3,从而直线I的方程为3x+y+1=0.
解法三设h、12与I的交点分别为A,B,则l1关于点P(—1,2)对称的直线m过点B,利用对称关系可求得m的方程为4x+y+1=0,因为直线I过点B,故直线I的方程可设为3x
—5y—5+入(4x+y+1)=0.由于直线I点P(—1,2),所以可求得=—18,从而I的方程为3x—5y—5—18(4x+y+1)=0,即3x+y+1=0.
例4解:
当m=0时,11:
x+6=0,12:
x=0,「.h//12,
当血=2时,l1:
x+4y+6=0,l2:
3y+2=0
二I1与I2相交;
2
当m^0且m^2时,由得m=—l或m=3,由一1—得m=3
m23mm22m
故(l)当m^—l且m^3且m^0时l1与l2相交。
(2)m=—l或m=0时l1//l2,
(3)当m=3时l1与l2重合。
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点拨:
判断两条直线平行或垂直时,不要忘了考虑两条直线斜率是否存在
例5解法一:
:
若直线|的斜率不存在,则直线|的方程为x=3,此时与|1、|2的交点分别是
Ai(3,-4)和
Bi(3,-9),截得的线段AB的长|AB|
方程为y=k(x-3)+1,
解方程组
xy1ykx
0
3
得
1
A(3kk
x
y
6
0
解方程组
得
B(
y
k
x
3
1
2
由|AB|=5
得
3k
2
3k
7
+
k
1
k
1
解之,得k=0,即所求的直线方程为
卜4+9|=5,符合题意。
若直线I的斜率存在,则设I的
24k1、
—
1k1
3k79k1、
—)
k1k1
2
4k19k1
=25,
k1k1
综上可知,所求I的方程为x=3或y=1。
又(x「x2)2+(y1-y2)2=25
x.x25
联立①②,可得或
x2
0
y1y20
y
y2
5
由上可知,直线1的倾斜角为0°
或90°,
又由直线I过点P(3,1),故所求1的方程为x=3
或y=1。
点拨:
用待定系数法求直线方程时,要注意对斜率不存在的情况的讨论
2222
例6解:
配方得:
x(m3)y(14m2)16m7m2该方程表示圆,则有
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注意:
方程表示圆的充要条件,求轨迹方程时,一定要讨论变量的取值范围,如题中
x20,4
7
2,rmin2,所以半径最小的圆方程为
圆C与直线y0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,4).又已知圆x2y24x2y40的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.
若两圆相切,贝UCA
437或CA
4
31.
(1)当G(a,4)时,
(a2)2(41)2
72
,或(a2)
2(41)2
12(无解),故可
得
a2210.
•••所求圆方程为(X
2210)2(y
4)2
4,或(x
2210)2
(y4)242.
⑵当C2(a,4)时
(a2)2(4
1)2
72,或(a
2)2(4
1)212(无解),
故
a22.6.
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(y4)242•
•••所求圆的方程为(X22.、6)2(y4)242,或(x226)2
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