考研网校线代强化讲义12章Word文件下载.docx

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　　6.判定二次型及实对称矩阵的正定性。

　　同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。

在复习过程中，请大家注意及时归纳总结。

　　相应知识点精讲

　　一、行列式的定义

　　1.行列式的形式：

个数排列成n行、n列，组装成一个正方形，两边画两根竖线，即形如：

，称为一个n阶行列式。

其中数称为行列式的元素，横排的一行元素称为行列式的第i行，自上而下计序，共有n行。

竖排的一列元素称为行列式的第j列，自左向右计序，共有n列。

自左上角到右下角倾斜的一列元素称为行列式的主对角线，自右上角到左下角倾斜的一列元素称为行列式的次对角线或副对角线。

　　2.行列式的值：

行列式的数学属性是一个数，称为该行列式的值。

当一个行列式的元素给定后，该行列式的值可通过特定的运算，从其元素计算得到。

例如：

（1）一阶行列式的值规定即为其元素本身，即。

（2）二阶行列式，即二阶行列式的值等于其主对角线元素的乘积减去次对角线元素的乘积。

我们常常称之为二阶行列式的对角线法则。

　　【例1】计算下列行列式的值：

。

　　[答疑编号：

21201101针对该题提问]

　　【解】。

　　3.行列式的定义：

　　即：

个数构成的n阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘积的代数和。

一共有项，一半带负号，一半带正号。

其中为任意一个n级排列，为n级排列的逆序数。

我们知道n级排列一共有种。

　　4.五个特殊行列式的值

　　下面介绍五个特殊行列式的值。

（1）如果一个行列式中有一行或一列的元素全为0，则此行列式的值为0。

（2）如果一个行列式中有两行（两列）所有对应元素都成比例，则该行列式等于0.特别地，如果一个行列式中有两行（两列）相同，则该行列式等于0。

　　（3）形如的行列式称为上三角形行列式，其特点是主对角线下面的元素全为0。

上三角形行列式的值等于其主对角线上所有元素的乘积，即：

　　（4）形如的行列式称为下三角形行列式，其特点是主对角线上面的元素全为0。

下三角形行列式的值也等于其主对角线上所有元素的乘积，即：

　　（5）形如的行列式称为对角形行列式，其特点是主对角线上面和下面的元素全为0。

对角形行列式的值也等于其主对角线上所有元素的乘积，即：

　　【例2】计算下列行列式的值：

（1）

21201102针对该题提问]

（2）

21201103针对该题提问]

　　（3）

21201104针对该题提问]

　　解：

（1）=0

（2）=40

　　（3）=0

　　二、行列式的性质

　　性质1.转置性质：

行列式的行和列互换，其值不变。

　　这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的。

通常，人们把一个行列式的第i行元素依次写成第j列（）的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置行列式。

如果原行列式记作D，则其转置行列式记作。

由性质1知，。

　　例如：

设行列式，则其转置行列式，显然。

　　性质2.互换性质：

行列式的两行（两列）互换，其值变号.也就是说，交换行列式两行（两列）的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数。

已知，，显然，

　　性质3.数乘性质：

若行列式的某行（某列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外面。

即：

若把上述等式反过来看，即：

，也可认为：

数k与一个行列式的乘积等于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以k。

　　性质4.倍加性质：

把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值。

　　【例3】计算下列行列式的值：

21201105针对该题提问]

本题可分成三步进行计算。

　　第一步：

利用性质4可知，将原行列式的第2列的所有元素的-1倍，加到第四列的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即。

　　第二步：

再将新行列式的第2行的所有元素的-1倍，加到第四行的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即

　　第三步：

将新行列式的第1行的所有元素的-1倍，加到第四行的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即

　　（因为，如果一个行列式中有一行或一列的元素全为0，则此行列式的值为0）

　　综上所述，原行列式。

　　性质5.加法性质：

如果行列式有某行（列）的所有元素均可写成两个加数的和，即该行（列）有两个分行（分列），则这个行列式等于两个行列式的和，而这两个行列式分别以这两个分行（分列）为该行（列），其他行（列）与原行列式相同。

　　抽象的性质，如：

　　设

　　【例4】计算下列行列式的值：

21201106针对该题提问]

　　【解】分析发现，第二列元素均为三位数，但均接近于百位整数。

所以利用性质5计算比较方便。

　　典型例题剖析

　　【考点一】行列式按行、按列展开公式为：

　　【例5】n阶行列式。

21201107针对该题提问]

　　按第一列展开可得

　　【考点二】

　　形如的行列式称为范德蒙行列式。

范德蒙行列式的特点是：

　　其每列元素按的升幂排列，构成一个等比数列，第二行的元素分别为每列元素的公比，且第一行元素为1.范德蒙行列式的值为

　　【例6】计算四阶行列式。

21201108针对该题提问]

根据范德蒙行列式得：

　　【例7】计算四阶行列式（其中均不为0）

21201109针对该题提问]

把第一列提出，第二列提出，第三列提出，第四列提出，

　　D=

　　【考点三】形如的行列式称为三对角形（三斜线形）行列式。

三对角形行列式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零。

对于这类三对角形行列式通常可用递推法。

　　【例8】五阶行列式的值为　　　。

21201110针对该题提问]

　　∴

　　递推公式，移项得

　　可得：

=

　　【考点四】形如的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行列式中主对角线上的元素和第一行、第一列上的元素不为零，其余元素均为零。

对于箭形、爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上（下）三角形行列式进行计算。

　　【例9】计算n阶行列式

21201201针对该题提问]

第二列乘以加到第一列上得

　　第三列乘以加到第一列上得：

　　……

　　最后一列乘以加到第一列上得

　　【考点五】计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式：

掌握简化行列式运算的两个重要公式：

设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则

（1）；

（2）。

　　【例10】四阶行列式的值等于（　）

　　（A）

　　（B）

　　（C）

　　（D）

21201202针对该题提问]

　　=

　　正确答案：

D

　　【考点六】若行列式中含有变量x，则该行列式展开后成为关于x的多项式，可考查该多项式的次数、零点等问题。

　　【例11】设多项式

　　则p（x）的次数至多是（　）。

　　（A）1

　　（B）2

　　（C）3

　　（D）4

21201203针对该题提问]

A

　　【考点七】计算代数余子式线性组合的值：

　　1.行列式元素的余子式和代数余子式：

在行列式中，取元素，其中表示位于该行列式中第i行、第j列的一个元素，我们去掉所在的第i行和第j列的所有元素，把剩余的个元素按其原来的位置关系组装成一个新的n-1阶行列式，记作，并称其为原行列式中元素的余子式。

因为在该行列式中一共有个元素，每个元素都有一个余子式，所以这个n阶行列式一共有个余子式.如果在元素的余子之前加上符号，则称其为元素的代数余子式，记作。

将两边都乘以得

　　，因此，。

　　2.行列式元素的代数余子式的性质和特点：

　　设行列式

（1）和的大小无关；

（2）（称为行列式按第i行展开）。

　　（称为行列式按第j列展开）代数余子式的这个性质称为行列式的按行按列展开定理或行列式的按行按列展开公式.显然，行列式可按任何一行展开，也可按任何一列展开。

　　（3）。

这表示行列式一行的元素分别与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为0。

　　（4）利用行列式按行按列展开公式计算代数余子式的代数和的方法：

替换法。

所谓替换法实质上就是将行列式按行按列展开公式反过来使用，我们去掉代数余子式所在的第i行的所有元素，换成代数余子式前面的系数，其余元素不变，按其原来的位置关系组装成一个新的n阶行列式，即

　　。

　　【例12】计算行列式中第一行各元素的余子式和代数余子式。

21201204针对该题提问]

　　，，

　　【例13】设4阶行列式，求。

21201205针对该题提问]

　　==0

　　【例14】已知5阶行列式

　　，求：

21201206针对该题提问]

把第四行展开得：

　　由此可得方程：

　　①

　　②

　　①和②组成方程组根据消元方可算出：

　　第①个方程左右两端乘以2倍

　　然后①－②得

　　【例15】设A是三阶可逆矩阵，的特征值为1，2，3，求的代数余子式之和：

21201207针对该题提问]

　　∵A为可逆矩阵

　　本题用到定理：

　　设A有特征值，则①

　　特征值为1，2，3，的行列式＝1×

2×

3＝6

　　∵

　　伴随矩阵

　　∴特征值为

　　【考点八】计算抽象矩阵的行列式：

主要利用矩阵行列式的性质。

　　设A为n阶矩阵，则有

　　（4）设A为n阶可逆矩阵，则

　　（5）利用行列式加法运算的性质：

　　设为n维列向量，为n维行向量，则，

　　【例16】设A为3×

3矩阵，，把A按列分块为，其中是A的第j列，则　　。