高考数学复习解决方案 真题与单元卷重组 十三解析几何试题文 含答案Word下载.docx
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∴c==2m=2,∴m=1.
∴a=1,b=,∴双曲线方程为x2-=1,故选C.
2.[2016·
唐山一模]A(,1)为抛物线x2=2py(p>
0)上一点,则A到其焦点F的距离为( )
A.B.+
C.2D.+1
答案 A
解析 把A(,1)代入抛物线中,解得p=1,则抛物线的准线方程为y=-,所以由抛物线的定义得|AF|=1-=,故选A.
3.[2016·
北京东城期末]已知三点P(5,2),F1(-6,0),F2(6,0),那么以F1,F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为( )
A.3B.6
C.9D.12
答案 B
解析 因为点P(5,2)在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a且|PF2|=,|PF1|=5,所以2a=6,a=3,c=6,b2=9,b=3,2b=6,故选B.
4.[2016·
天津高考]已知双曲线-=1(b>
0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )
C.-=1D.-=1
答案 D
解析 根据圆和双曲线的对称性,可知四边形ABCD为矩形.双曲线的渐近线方程为y=±
x,圆的方程为x2+y2=4,不妨设交点A在第一象限,由y=x,x2+y2=4,得xA=,yA=,故四边形ABCD的面积为4xAyA==2b,解得b2=12,故所求的双曲线方程为-=1,选D.
5.[2016·
安徽十校联考]已知l是双曲线C:
-=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·
=0,则P到x轴的距离为( )
A.B.
C.2D.
解析 F1(-,0),F2(,0),不妨设l的方程为y=x,设P(x0,x0),由·
=(--x0,-x0)·
(-x0,-x0)=3x-6=0,得x0=±
,故P到x轴的距离为|x0|=2,故选C.
6.[2017·
湖南长沙模拟]平面直角坐标系xOy中,动点P到圆(x-2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=-1的距离相等,则P点的轨迹方程是( )
A.y2=8xB.x2=8y
C.y2=4xD.x2=4y
解析 设圆心为C,动点P到直线的距离为d,根据题意得|PC|-1=d,可得|PC|=d+1,即动点P到圆(x-2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=-2的距离相等,根据抛物线的定义,动点P的轨迹为以(2,0)为焦点,以x=-2为准线的抛物线,设方程为y2=2px,则=2,p=4,所以抛物线方程为y2=8x,选A.
7.[2016·
广州综合测试]如果P1,P2,…,Pn是抛物线C:
y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,…,xn,F是抛物线C的焦点,若x1+x2+…+xn=10,则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=( )
A.n+10B.n+20
C.2n+10D.2n+20
解析 由题可知抛物线的焦点为(1,0),准线为x=-1,由抛物线的定义,可知|P1F|=x1+1,|P2F|=x2+1,…,故|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=n+10,故选A.
8.[2016·
浙江高考]已知椭圆C1:
+y2=1(m>
1)与双曲线C2:
-y2=1(n>
0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )
A.m>
n且e1e2>
1B.m>
n且e1e2<
1
C.m<
1D.m<
解析 由于m2-1=c2,n2+1=c2,则m2-n2=2,故m>
n,又(e1e2)2=·
=·
==1+>
1,所以e1e2>
1.故选A.
9.[2017·
河省开封月考]双曲线C:
-=1(a>
0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),M,N两点分别在双曲线C的左右两支上,且MN∥F1F2,|F1F2|=4|MN|,线段F1N交双曲线C于点Q,且|F1Q|=|QN|,则双曲线C的离心率为( )
A.2B.
C.D.
解析 由于MN∥F1F2,|F1F2|=4|MN|,则|MN|=,设N,又F1(-c,0),且|F1Q|=|QN|,则Q,点N,Q在双曲线上满足方程,有-=1,-=1,消去y得e2=6,则e=,选D.
10.[2017·
重庆模拟]已知椭圆C:
+=1(a>
b>
0),点M,N,F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点,若∠MFN=∠NMF+90°
,则椭圆C的离心率是( )
解析 依题意有MN=,MF=a-c,NF=a,由于∠MFN=∠NMF+90°
,所以sin∠MFN=sin(∠NMF+90°
)=cos∠NMF,即=,解得=,所以离心率e==.
11.[2016·
甘肃诊断]已知抛物线C:
y2=16x,焦点为F,直线l:
x=-1,点A∈l,线段AF与抛物线C的一个交点为B,若=5,则||=( )
A.6B.35
C.4D.40
解析 过B作BE⊥l于E,设l与x轴的交点为D,则=,∵=5,∴===,∴||=4,又||=||+3=7,所以||=5||=35.故选B.
12.[2017·
重庆南开中学测试]已知抛物线C1:
y=x2(p>
0)的焦点与双曲线C2:
-y2=1的右焦点的连线交C1于点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为,双曲线的右焦点坐标为(2,0),所以上述两点连线的方程为+=1.易知双曲线的渐近线方程为y=±
x.对于函数y=x2求导,得y′=x.设M(x0,y0),则x0=,即x0=p,代入抛物线方程得y0=p,即M.
由于点M在直线+=1上,所以p+×
=1,解得p==.故选C.
第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.[2016·
邯郸高三测试]已知F1,F2为+=1的左、右焦点,M为椭圆上一点,则△MF1F2内切圆的周长等于3π,若满足条件的点M恰好有两个,则a2=________.
答案 25
解析 由题意得内切圆的半径等于,因此△MF1F2的面积为×
×
(2a+2c)=,即=×
|yM|×
2c,因为满足条件的点M恰好有两个,所以M为椭圆短轴端点,即|yM|=4,所以3a=5c,而a2-c2=16,所以a2=25.
14.[2016·
沈阳教学质检]已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,过P作PA⊥l于点A,当∠AFO=30°
(O为坐标原点)时,|PF|=________.
答案
解析 解法一:
令l与y轴交点为B,在Rt△ABF中,∠AFB=30°
,BF=2,所以AB=,若P(x0,y0)(x0>
0),则x0=,代入x2=4y中,则y0=,而|PF|=|PA|=y0+1=,故答案为.
解法二:
(几何法)如图所示,∠AFO=30°
,∴∠PAF=30°
,
又∵|PA|=|PF|,∴△APF为顶角∠APF=120°
的等腰三角形,
而|AF|==,
∴|PF|==,故答案为.
15.[2016·
贵阳市监测]在平面直角坐标系中,已知点P(3,0)在圆C:
(x-m)2+(y-2)2=40内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点,若△ABC的面积的最大值为20,则实数m的取值范围是________.
答案 -3<
m≤-1或7≤m<
9
解析 由圆的方程知,圆心C(m,2),半径r=2,所以S△ABC=r2sin∠ACB=20sin∠ACB,所以当∠ACB=时,S△ABC取得最大值20,此时△ABC为等腰直角三角形,|AB|=r=4,则点C到AB的距离为2,所以2≤|PC|<
2,即2≤<
2,解得-3<
9.
16.[2017·
海南海口模拟]已知F是双曲线C:
x2-=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,6),当△APF周长最小时,该三角形的面积为________.
答案 12
解析 设双曲线的左焦点为F1,由双曲线定义知,|PF|=2a+|PF1|,
∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2a+|PF1|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2a,
由于2a+|AF|是定值,要使△APF的周长最小,则|PA|+|PF1|最小,即P、A、F1共线,
∵A(0,6),F1(-3,0),
∴直线AF1的方程为+=1,即x=-3,代入x2-=1整理得
y2+6y-96=0,解得y=2或y=-8(舍),所以P点的纵坐标为2,
∴S△APF=S△AFF1-S△PFF1=×
6×
6-×
2=12.
三、解答题(共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.[2017·
山西怀仁质检](本小题满分10分)已知椭圆C:
x2+2y2=4.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.
解
(1)由题意可得,椭圆C的标准方程为+=1,所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=4-2=2,故a=2,c=,故椭圆C的离心率为.(4分)
(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.
因为OA⊥OB,所以·
=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又x+2y=4,所以
|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=2+(y0-2)2
=x+y++4
=x+++4
=++4(0<
x≤4).
因为+≥4(0<
x≤4),
当x=4时等号成立,
所以|AB|2≥8.
故线段AB长度的最小值为2.(10分)
18.[2016·
全国卷Ⅰ](本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l:
y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:
y2=2px(p>
0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.
(1)求;
(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?
说明理由.
解
(1)由已知得M(0,t),P.
又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=,因此H,
所以N为OH的中点,即=2.(6分)
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.
理由如下:
直线MH的方程为y-t=x,
即x=(y-t),代入y2=2px,得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)
19.[2017·
广东惠州模拟](本小题满分12分)已知点A(1,0),点P是圆C:
(x+1)2+y2=8上的任意一点,线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E.
(1)求点E的轨迹方程;
(2)若直线y=kx+m与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q,且原点O总在以PQ为直径的圆的内部,求实数m的取值范围.
解
(1)由题意知:
|EP|=|EA|
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