精品数学 高中数学人教A版选择性必修三第六章 622 排列数Word下载.docx
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3.A=20,则x=________.
答案 2
4.甲、乙、丙三人站成一排,共有________种不同站队方式.(用排列数表示)
答案 A
5.=________.
答案
一、排列数公式的应用
命题角度1 利用排列数公式求值
例1-1 计算:
A和A.
解 A=15×
14×
13=2730,
A=6×
5×
4×
3×
2×
1=720.
命题角度2 利用排列数公式化简
例1-2
(1)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*且n<
55);
(2)化简:
n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+m).
解
(1)∵55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15(个)数,
∴(55-n)(56-n)…(69-n)=A.
(2)由排列数公式可知n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+m)=A.
命题角度3 利用排列数公式证明
例1-3 求证:
A-A=mA.
证明 ∵A-A=-
=·
=m·
=mA,
∴A-A=mA.
反思感悟 排列数公式的选择
(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数.
(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题,具体应用时注意阶乘的性质,提取公因式,可以简化计算.
跟踪训练1 不等式A<
6A的解集为( )
A.[2,8]B.[2,6]C.(7,12)D.{8}
答案 D
解析 由A<
6A,得<
6×
,
化简得x2-19x+84<
0,解得7<
x<
12,①
又所以2≤x≤8,②
由①②及x∈N*,得x=8.
二、排队问题
命题角度1 “相邻”与“不相邻”问题
例2-1 3名男生,4名女生,这7个人站成一排在下列情况下,各有多少种不同的站法?
(1)男、女各站在一起;
(2)男生必须排在一起;
(3)男生不能排在一起;
(4)男生互不相邻,且女生也互不相邻.
解
(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起,即把3名男生进行全排列,有A种排法,
女生必须站一起,即把4名女生进行全排列,有A种排法,
全体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法,
由分步乘法计数原理知,共有A·
A·
A=288(种)排法.
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素,与4名女生组成5个元素全排列,
故有A·
A=720(种)不同的排法.
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法,把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中,有A种排法,故有A·
A=1440(种)不同的排法.
(4)先排男生有A种排法,让女生插空,有AA=144(种)不同的排法.
命题角度2 定序问题
例2-2 7人站成一排.
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻),则有多少种不同的排列方法?
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻),则有多少不同的排列方法?
解
(1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半,故有=2520(种)不同的排法.
(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变,即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.
故有=840(种)不同的排法.
命题角度3 元素的“在”与“不在”问题
例2-3 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列,求解下列问题.
(1)甲不在首位的排法有多少种?
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种?
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种?
(4)甲不在首位,同时乙不在末位的排法有多少种?
解
(1)方法一 把元素作为研究对象.
第一类,不含甲,此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上,有A种排法.
第二类,含有甲,甲不在首位,先从4个位置中选出1个放甲,再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上,有A种排法.根据分步乘法计数原理,有4×
A种排法.
由分类加法计数原理知,共有A+4×
A=2160(种)排法.
方法二 把位置作为研究对象.
第一步,从甲以外的6名同学中选1名排在首位,有A种方法;
第二步,从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上,有A种方法.
方法三 (间接法)先不考虑限制条件,从7人中选出5人进行排列,然后把不满足条件的排列去掉.
不考虑甲在首位的要求,总的可能情况有A种,甲在首位的情况有A种,所以符合要求的排法有A-A=2160(种).
(2)把位置作为研究对象,先考虑特殊位置.
第一步,从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上,有A种方法;
第二步,从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上,有A种方法.
根据分步乘法计数原理,共有A·
A=1800(种)方法.
(3)把位置作为研究对象.
第一步,从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置,有A种方法;
第二步,从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上,有A种方法.
A=1200(种)方法.
(4)间接法.
总的可能情况有A种,减去甲在首位的A种排法,再减去乙在末位的A种排法,注意到甲在首位,同时乙在末位的排法数被减去了两次,所以还需补回一次A种排法,所以共有A-2A+A=1860(种)排法.
反思感悟 排队问题的解题策略
排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外,还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题.
(1)对于相邻问题,可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列.
(2)对于不相邻问题,可采用“插空法”解决.即先排其余的元素,再将不相邻的元素插入空中.
(3)对于定序问题,可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.
(4)对于“在”与“不在”问题,可采用“特殊元素优先考虑,特殊位置优先安排”的原则解决.
跟踪训练2 三个女生和五个男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法?
(2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法?
(3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法?
(4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法?
解
(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一起共有六个元素,排成一排有A种不同的排法,对于其中的每一种排法,三个女生之间又有A种不同的排法.因此共有A·
A=4320(种)不同的排法.
(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空位,这样共有四个空位,加上两边男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻,由于五个男生排成一排有A种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有A种排法,因此共有A·
A=14400(种)不同的排法.
(3)方法一 (位置分析法)因为两端都不能排女生,所以两端只能挑选五个男生中的两个,有A种不同的排法,对于其中的任意一种不同的排法,其余六个位置都有A种不同的排法,所以共有A·
方法二 (间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法,从中扣除女生排在首位的A·
A种排法和女生排在末位的A·
A种排法,但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次,在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次,所以还需加回来一次,由于两端都是女生有A·
A种不同的排法,所以共有A-2A·
A+A·
方法三 (元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入,有A种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余五个位置又都有A种不同的排法,所以共有A·
(4)方法一 (位置分析法)因为只要求两端不都排女生,所以如果首位排了男生,那么末位就不再受条件限制了,这样可有A·
A种不同的排法;
如果首位排女生,有A种排法,那么末位就只能排男生,这样可有A·
A种不同的排法,因此共有A·
A=36000(种)不同的排法.
方法二 (间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法,从中扣除两端都是女生的排法A·
A种,就得到两端不都是女生的排法种数.因此共有A-A·
1.A等于( )
A.9×
3B.93
C.9×
8×
7D.9×
7×
3
答案 C
2.89×
90×
91×
92×
…×
100可表示为( )
A.AB.AC.AD.A
解析 89×
100===A.
3.3位老师和3名学生站成一排,要求任何学生都不相邻,则不同的排法种数为( )
A.144B.72C.36D.12
解析 先将老师排好,有A种排法,形成4个空,将3名学生插入4个空中,有A种排法,故共有AA=144(种)排法.
4.=________.
答案 36
解析 ==36.
5.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的顺序一定,则有________个七位数符合条件.
答案 210
解析 若1,3,5,7的顺序不定,则4个数字有A=24(种)排法,故1,3,5,7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×
A=210(个)七位数符合条件.
1.知识清单:
(1)排列数、排列数公式.
(2)全排列、阶乘、0!
(3)排列数的应用:
排队问题(相邻、不相邻、定序等问题).
2.方法归纳:
直接法、优先法、捆绑法、插空法、除阶乘法、间接法.
3.常见误区:
忽视A中“n,m∈N*”这个条件.
1.设m∈N*,且m<
15,则A等于( )
A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)
B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)
C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
解析 A是指从20-m开始依次小1的连续的6个数相乘,即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)·
(15-m).
2.已知A-A=10,则n的值为( )
A.4B.5C.6D.7
答案 B
解析 由A-A=10,得(n+1)n-n(n-1)=10,解得n=5.
3.有4名司机,4名售票员要分配到4辆汽车上,使每辆汽车上有一名司机和一名售票员,则可能的分配方法有( )
A.A种B.A种
C.AA种D.2A种
解析 司机、售票员各有A种分配方法,由分步乘法计数原理知,共有AA种不同的分配方法.
4.要从a,b,c,d,e5个人中选出1名组长和1
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