长春中考数学综合题专题复习二次函数专题解析Word文件下载.docx

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综合以上结论，得出t的取值．

【详解】

解：

（1）∵，

∴的对称轴为.

∵人最大值为4，

∴抛物线过点.

得，

解得.

∴该二次函数的解析式为.

点坐标为，顶点的坐标为.

（2）①∵，

∴当三点在一条直线上时，取得最大值.

连接并延长交轴于点，.

∴的最大值是.

易得直线的方程为.

把代入，得.

∴此时对应的点的坐标为.

②的解析式可化为

设线段所在直线的方程为，将，的坐标代入，可得线段所在直线的方程为.

（1）当线段过点，即点与点重合时，线段与函数的图像只有一个公共点，此时.

∴当时，线段与函数的图像只有一个公共点.

（2）当线段过点，即点与点重合时，线段与函数的图像只有一个公共点，此时.

当线段过点，即点与点重合时，，此时线段与函数的图像有两个公共点.

所以当时，线段与函数的图像只有一个公共点.

（3）将带入，并整理，得.

.

令，解得.

综上所述，的取值范围为或或.

【点睛】

本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；

同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．

2．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设

（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；

（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

（1）；

（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；

（3）

试题分析：

（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论；

（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．

试题解析：

解

（1）∵，∴，，∵m，n是一元二次方程的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线的图象经过点A（m，0），B（0，n），∴，∴，∴抛物线解析式为；

（2）令y=0，则，∴，，∴C（3，0），∵=，∴顶点坐标D（1，﹣4），过点D作DE⊥y轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°

，∴∠CBD=90°

，∴△BCD是直角三角形；

（3）如图，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣3），M（t，），过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=，∴QF=1．

①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（）=，∴S=PM×

QF==，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，PM=﹣（t﹣3）=，∴S=PM×

QF=（）=．

综上所述，S=．

考点：

二次函数综合题；

分类讨论．

3．如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？

若存在，求出点Q的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°

，得到△A1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A、O1、C1、若△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标．

（1）y=-+x+2；

（2）存在，Q（3，2）或Q（-1，0）；

（3）两个和谐点，A1的横坐标是1，.

（1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；

（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°

或∠MQB=90°

，即可求得Q点的坐标．

（3）（3）两个和谐点；

AO=1，OC=2，设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），

①当A1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是1；

当O1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是2；

（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

将点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，

∴，

∴y=-+x+2；

（2）∵点C与点D关于x轴对称，

∴D（0，-2）．

设直线BD的解析式为y=kx-2．

∵将（4，0）代入得：

4k-2=0，

∴k=．

∴直线BD的解析式为y=x-2．

当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q（-1，0）；

当BQ⊥BD时，△BQM是直角三角形，

则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8，

∴-2x+8=-+x+2，可求x=3或x=4（舍）

∴x=3；

∴Q（3，2）或Q（-1，0）；

（3）两个和谐点；

AO=1，OC=2，

设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），

①当A1、C1在抛物线上时，

∴A1的横坐标是1；

当O1、C1在抛物线上时，

，

∴A1的横坐标是；

本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；

分类讨论思想的运用是本题的关键．

4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.

（1）二次函数的解析式为；

（2）当时，的面积取得最大值；

（3）点的坐标为，，.

分析：

（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；

（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；

（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．

详解：

（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），

解得：

所以二次函数的解析式为：

y=；

（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，

过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，

设D（m，），则点F（m，），

∴DF=﹣（）=，

∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×

DF×

AG+DF×

EH

=×

AG+×

4×

DF

=2×

（）

=，

∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．

（3）y=的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：

当PA=PE时，=，解得：

n=1，此时P（﹣1，1）；

当PA=AE时，=，解得：

n=，此时点P坐标为（﹣1，）；

当PE=AE时，=，解得：

n=﹣2，此时点P坐标为：

（﹣1，﹣2）．

综上所述：

P点的坐标为：

（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．

点睛：

本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．

5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？

若有，求出最大值并求出点E的坐标；

若没有，请说明理由；

（3）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．

（1）抛物线的解析式为y＝x2+x﹣1；

（2），（，）；

（3）点G的坐标为（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．

（1）利用待定系数法确定函数关系式；

（2）由函数图象上点的坐标特征：

可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，m2+m﹣1），由此得到EF＝﹣m2+m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；

（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．

（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．

∴点A的坐标为（﹣3，0）．

设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），

∴y＝a（x+3）（x﹣1）．

∵点C的坐标为（0，﹣1），

∴﹣3a＝﹣1，得a＝，

∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣1；

（2）设点E的坐标为（m，m+3），线段EF的长度为y，

则点F的坐标为（m，m2+m﹣1）

∴y＝（m+3）﹣（m2+m﹣1）＝﹣m2+m+4

即y＝-（m﹣）2+，

此时点E的坐标为（，）；

理由：

①如图1，当四边形CGDE为菱形时．

∴EG垂直平分CD

∴点E的纵坐标y＝＝1，

将y＝1带入y＝x+3，得x＝﹣2．

∵EG关于y轴对称，

∴点G的坐标为（2，1）；

②如图2，当四边形CDEG为菱形时，以点D为圆心，DC的长为半径作圆，交AD于点E，可得DC＝DE，构造菱形CDEG

设点