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1、求直线与直线上无穷远点的齐次坐标
解:
(1)直线即它与轴平行所以位轴上的无穷远点(0,1,0)
(2)由直线得故无穷远点为或(3,1,0)
2、求证:
两直线和的交点与两点三点共线
证明:
解方程组:
的交点
因为行列式所以三点共线
3、试证:
两共轭复点的连线是一实直线
而两点确定一条直线所以,
所以与一组实数成比例,即直线为实直线。
4、德萨格定理的逆定理:
如果两个三点形对应边的交点共线,则其对应顶点的连线共点。
如图三点形与的三对应边交点共线,证明对应顶点连线共点
,考虑三点形与则有对应顶点连线共点,故对应边的交点共线
O
A
B
C
L
M
N
B1
A1
C1
自测题
1、证明:
中心投影一般不保留共线三点的单比.
2、设一平面内有几条直线用分别表示与,与与间的中心投影.这一串中心投影的复合把上的点对应到上的点,这种对应关系称为射影对应.举例说明对应点之间的连线一般不共点.
3、设有两个相交平面和,如果以为中心做到的投影(不在和上),把上一已知直线投影到上直线.证明:
当变动时,已知直线的象总要通过一个定点,或与定直线平行.
4、设是平面与之间的中心投影.试讨论上两条平行直线的象在中还是否平行,不平行有什么性质?
同样在上两条平行直线在中的原象是否为平行线?
5、试证明:
中心投影不保持直线上两个线段之比.
第三章、射影变换与射影坐标
一、基本内容:
交比与调和比;
一维射影变换;
一维射影坐标;
二维射影变换于二维射影坐标
二、主要公式
1、共线四点的交比:
2、共点四线的交比:
3、两直线之间的射影变换:
非齐次坐标形式:
齐次坐标形式:
参数形式:
4、二维射影变换:
三、典型例题:
的充要条件是:
证明:
设
则
若则
而
所以有
2、已知共点直线的方程为:
且求直线的方程
先化为齐次线坐标
则有即
令则所以
所以方程为
3、设一直线上的点的射影变换是证明变换有两个自对应点,且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。
令解得
即有两个自对应点
设与对应,有为常数
注:
结果有也对,不过顺序有别
4、试证圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束
证
D
P
E
明:
如图:
为圆内接正方形,为圆上任意点。
因为所以为角的平分线。
同理可证明是角平分线。
即是角的内外角平分线。
所以直线构成调和线束。
5、试证:
双曲型对合的任何一对对应元素,与其两个二重元素调和共轭即()=-1
为自对应元素,与对应
则有而
所以得因为不重合
故
6、求射影变换的不变点坐标
解:
由特征方程:
将得,故上的点都是不变点
是不变点列。
1、设为共线三点,且求的坐标。
2、已知线束中三直线求作直线使
3、射影变换使直线上以0,1为坐标的点及无穷远点顺次对应-1,0,1求变换式,并判断变换的类型。
4、求两直线所构成角的平分线方程
5、试证在同一直线上的四点的交比值与直线上摄影坐标系的选取无关。
6、求射影变换的逆变换,并求出影消线对应直线的方程。
第四章变换群与几何学
疑难解析
1.变换群
(1)基本定义
射影变换群:
射影平面上所有射影变换的集合构成射影变换群,它是一个八维群;
仿射变换群:
仿射平面上所有仿射变换的集合构成仿射变换群,它是一个六维群;
相似变换群:
平面上所有相似变换的集合构成相似变换群,它是一个四维群;
正交变换群:
欧氏平面上所有正交变换的集合构成正交变换群,它是一个三维群。
四种变换群,就群的大小而言,它们的关系是:
.
(2)一一变换的集合G构成群的充要条件是:
①若,则(封闭性);
②若,则(存在逆元).
2.克莱因关于几何学的变换群观点
正交变换群→欧氏几何;
仿射变换群→仿射几何;
射影变换群→射影几何;
就变换群的大小来看,三种变换群的关系为:
;
从几何学研究的内容来看,它们的关系是:
欧氏几何仿射几何射影几何.
名称
射影几何
仿射几何
相似几何
欧氏几何
变换群
射影群
仿射群
相似群
正交群
研
究
对
象
射影性质
射影不变量
纯仿射性质
纯仿射不变量
纯相似性质
纯相似不变量
纯度量性质
纯度量不变量
主要不变性质
结合性
分割性
平行性
保角性
合同性
基本不变量
交比
单比
相似比
距离
例题选解
例1证明:
平面内有公共旋转中心的所有旋转变换构成群.
不失一般性,可将旋转中心取为原点,则变换的一般式为:
容易证明,这种变换对于乘法是封闭的,且逆变换也是以原点为中心的旋转变换(其实
就是旋转的变换),所以这种变换的集合构成群.
例2下面所说的名称或定理,哪些属于射影几何学?
哪些属于仿射几何学?
哪些属于欧氏几何学?
(最大的)
(1)梯形;
(2)正方形;
(3)离心率;
(4)塞瓦定理与麦尼劳斯定理;
(5)重心;
(6)垂心;
(7)平行四边形的对角线互相平分;
(8)在平面内,一般位置的四条直线有六个交点;
(9)含于半圆内的圆周角是直角;
(10)如果直线与相交,则与相交;
(11)二次曲线的中心;
(12)德萨格定理.
分析:
判定一个图形或定理属于哪一中几何学研究的对象,主要根据图形或定理所涉及的不变性和不变量来判定,例如涉及距离,线段或角的相等就属于欧氏几何学研究的范围,涉及直线的平行、线段的比例、线段的中点等就属于仿射几何学研究的对象,而仅与点、线、面之结合关系有关的就属于射影几何学研究的对象了.
(2)、(3)、(6)、(9)属于欧氏几何学;
(1)、(4)、(5)、(7)、(11)属于仿射几何学;
(8)、(10)、(12)属于射影几何学.
例3为什么向量的数量积的概念在仿射几何里不存在?
因为二向量的数量积为:
而在仿射变换下,向量的长度和夹角都要改变,故向量的数量积概念在仿射几何里不存
在。
第五章二次曲线的射影理论
本章是应用前面学习的射影变换和仿射变换的知识,来研究二次曲线的性质的。
在射影平面上取定坐标系后,首先给出二阶(级)曲线的代数法定义,阐明其几何意义之后,给出二阶(级)曲线的射影定义,并研究二阶(级)曲线在射影变换下的不变性质。
然后基于射影变换的基本不变性质(结合性)和不变量(交比),反映在二阶(级)曲线上,证明了两个著名的定理――巴斯卡定理和布利安香定理,这两个定理是相互对偶的。
在此基础上,定义了二阶(级)曲线的极点和极线概念,导出了其求法。
在研究二次曲线的性质时对偶原理起着重要的作用。
根据对偶原理,在射影平面内可将二次曲线看作点曲线(二阶点列),称为二阶曲线。
也可以将曲线看作直线的包络,也就是看作是线曲线(二级线束),称为二级曲线,统称二次曲线。
因此,对于二阶曲线的每一性质,都可以对偶地得出二级曲线的对偶性质。
这一点在学习的过程中要加以注意。
本章最后,研究了二次曲线(只研究二阶曲线)的仿射性质:
二阶曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线,给出了二次曲线的仿射分类:
椭圆型曲线、双曲型曲线和抛物型曲线。
在仿射平面上研究二阶曲线性质,是以无穷远直线在仿射变换下保持不变为基础来进行的,因此研究仿射性质要把握住无穷远元素。
1、二次曲线的概念
教材中首先给出了二次曲线的代数法定义:
二次曲线:
满足二次方程
的全体点称为二阶曲线,二阶曲线是点的轨迹.
二级曲线:
的直线的全体称为二级曲线,二级曲线看成是直线的包络.
二阶曲线和二级曲线统称二次曲线。
两个不共心的射影线束(两个不共底的射影点列),对应直线的交点(对应点的连线)的全体连同两个线束的中心(两个点列的底)组成一条二阶曲线(二级曲线).这实际上给代数定义找到了几何背景,由此引出了二次曲线的射影定义(也称作几何定义):
二阶曲线:
两个射影线束对应直线交点的全体称为二阶曲线。
两个射影点列对应点连线的全体称为二级曲线.
当成射影对应的两个线束(点列)为透视的,则此二阶曲线(二级曲线)退化为二直线(二点)。
此时称该二阶曲线(二级曲线)为退化的二阶曲线(二级曲线)。
一个由射影线束生成的二阶(二级)曲线,可以由其上任意二点(二线)为中心(底)构成的射影线束(点列)生成.由此定理推出两个重要的结论:
(1)平面内给定无三点共线的五点(无三线共点的五条直线),可决定唯一一条二阶曲线(二级曲线).
(2)二阶曲线上四定点(二级曲线上四条定直线)与其上任意第五点所连四直线(任意第五条直线相交)所得四线(四点)的交比不变.
利用这两个结论可以解决有关二次曲线的作图问题。
2.巴斯卡()定理和布利安香()定理
这是关于二次曲线的两个重要定理,要注意以下几点:
(1)这两个定理是两个对偶的定理,因此其一的证明完全可以从另一个对偶地得出,教材中已经给出这两个定理的证明。
值得注意的是,巴斯卡定理的证明中,射影中心的选择可以是其中的任意两点,同理布利安香定理的证明中,点列的底的选择也是任意的两点。
(2)这两个定理的逆定理也是成立的。
(3)这两个定理的应用:
1已知二阶曲线上的五个点利用巴斯卡定理可以作出第六个点(见典型例题);
对偶地,已知二级曲线上的五条切线,利用布利安香定理的逆定理可以作出第六条切线。
2可利用他们证明三点共线问题(见典型例题);
对偶地,也可用之证明三线共点问题。
3.二次曲线的极点与极线
极点与极线是关于二次曲线的重要概念,对于讨论二次曲线的仿射性质起着重要的作用。
极点与极线的概念是由关于二阶曲线的调和共轭点引入的。
(1)调和共轭点:
如果两点被它们连线与二阶曲线的交点调和分离,即,则称关于是调和共轭的.
(2)不在上两点关于调和共轭当且仅当。
(3)一定点关于二阶
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