《正弦定理余弦定理的应用》教学案Word格式.docx
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体验将实际问题转化为数学问题的过程与思想,认识研究实际问题的方法,是本节教学的重中之重,而突破这一重难点的关键在于引导学生对实际问题进行分析,抽象出数学问题,再利用解三角形的知识加以解决.
教学方案设计
(教师用书独具)
●教学建议
在学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形的基础上,让学生尝试绘制知识纲目图.生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理,因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础.解有关三角形的应用题有固定的解题思路,引导学生寻求实际问题的本质和规律,从一般规律到生活的具体运用,这方面需要多琢磨和多体会.
测量的主要内容是求角和距离,教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念,将实际问题转化为解三角形问题.解决有关测量、航海等问题时,首先要搞清题中有关术语的准确含义,再用数学语言(符号语言、图形语言)表示已知条件、未知条件及其关系,最后用正弦定理、余弦定理予以解决.
能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用,有些题目只选用其一,或两者混用,这当中有很大的灵活性,需要对原来所学知识进行深入的整理、加工,鼓励一题多解,训练发散思维.借助计算机等多媒体工具来进行演示,利用动态效果能使学生更好地明辨是非、掌握方法.
引导学生总结解斜三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:
理解题意,分清已知与未知,画出示意图;
(2)建模:
根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;
(3)求解:
利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;
(4)检验:
检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.
●教学流程
⇒⇒⇒⇒⇒⇒
课前自主导学
课标解读
1.巩固正、余弦定理的应用,熟练掌握解三角形的步骤与过程.(重点)
2.能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.(难点)
知识
实际测量中的有关术语
【问题导思】
小明出家门向南前进200米,再向东前进200米,到达学校上课.
1.小明的学校在家的哪个方向?
【提示】 东南方向.
2.能否用角度确定学校的方位?
【提示】 能.
名称
定义
图示
仰角
在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角
续表
俯角
在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角
方向角
从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°
)
南偏西60°
(指以正南
方向为始边,
转向目标方
向线形成的
角)
方位角
从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
课堂互动探究
类型1
测量问题
例1 如图1-3-1所示,在塔底B处测得山顶C的仰角为60°
,
图1-3-1
在山顶C测得塔顶A的俯角为45°
,已知塔高AB为20m,求山高CD.(精确到0.1m)
【思路探究】 DC可放到△BCD中,要求CD,已知∠DBC=60°
,∠CDB=90°
,所以只需求BD或CB,在△ABC中,AB的长度已知,三个内角都可以求出,所以可求得CB,则CD=CB·
sin60°
.
【自主解答】 由条件知∠DBC=60°
,∠ECA=45°
∴∠ABC=90°
-60°
=30°
,∠ACB=60°
-45°
=15°
∠CAB=180°
-(∠ABC+∠ACB)=135°
在△ABC中,由正弦定理得=,
∴BC===.
在Rt△BCD中,
CD=BC·
sin∠CBD=×
≈47.3(m).
∴山高CD约为47.3m.
规律方法
1.本例是典型的测量高度问题,抽象出平面图形,并且将相应数据聚化到相应三角形中,十分关键.
2.测量高度的有关问题,大部分都是转化为同一铅垂面上的解三角形问题,但也有转化为立体图形的问题.
变式训练
如图1-3-2所示,空中有一气球C,
图1-3-2
在它的正西方A点测得它的仰角为45°
,同时在它的南偏东60°
的B点,测得它的仰角为30°
,A,B两点间的距离为266米,这两个测点均离地1米,则气球离地多少米?
【解】 设OC=x,则OA=x,OB=x·
tan60°
=x.
在△AOB中,∠AOB=90°
+60°
=150°
,AB=266,
所以AB2=OA2+OB2-2OA·
OBcos∠AOB
=x2+3x2-2x·
x·
(-)=7x2,
所以x=AB=×
266=38(米),
所以气球离地(38+1)米.
类型2
航海问题
例2 甲船在A处遇险,在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的报警后,测得甲船是沿着东偏北105°
的方向,以每小时9海里的速度向某岛靠近,如果乙船要在40分钟内追上甲船,问乙船至少应以什么速度、向何方向航行?
【思路探究】 画图→分析三角形满足条件→选择定理列方程→求相关量→作答
【自主解答】 如图所示:
设乙船速度为v海里/小时,在C处追上甲船,
∠BAC=45°
+180°
-105°
=120°
在△ABC中,由余弦定理得,
BC2=AC2+AB2-2AC·
AB·
cos∠BAC,
(v)2=(×
9)2+102-2×
×
9×
10×
cos120°
整理得v=21.
又由正弦定理可知=,
∴sinB==×
sin120°
=,
∴B≈21°
47′.
即B应以每小时21海里的速度,按东偏北45°
+21°
47′=66°
47′的角度航行.
1.根据题意,恰当地画出三角形是解题的基础,将已知线段数量和角度,转化为要解三角形的边长和角度,是解题的关键.
2.有关角度问题,一般要涉及到方位角、方向角等概念,对这些数据,要恰当转化,合理运用.
在海岸A处发现在其北偏东45°
方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°
方向,距A处2海里的C处的缉私船以10海里/时的速度追走私船,此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°
方向逃窜,则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?
并求出所需要的时间.
【解】 由题意画出示意图如图所示,设缉私船最快追上走私船所需时间为t小时,则CD=10t,BD=10t.
∵在△ABC中,AB=-1,AC=2,∠BAC=45°
+75°
∴BC=
=
=.
∵=,
∴sin∠ABC===.
∵∠BAC=120°
,∴∠ABC=45°
,∴BC与正北方向垂直,
∴∠CBD=90°
+30°
∵在△BCD中,由正弦定理得=,
所以sin∠BCD===.
∴∠BCD=30°
或∠BCD=150°
(舍去),
∴∠BDC=30°
,∴BD=BC=,∴10t=,∴t=,
∴缉私船沿北偏东60°
方向行驶能最快追上走私船,所需时间为小时.
类型3
平面几何问题
例3 如图1-3-3所示,在△ABC中,AC=b,BC=a,a<b,D是△ABC内一点,且A
图1-3-3
D=a,∠ADB+C=π,问C为何值时,凹四边形ACBD的面积最大?
并求出最大值.
【思路探究】 在三角形ABD和三角形ABC中分别运用余弦定理,可先求出边BD的长,进而表达出凹四边形ACBD的面积.
【自主解答】 设BD=x,在△ABC和△ABD中,
根据余弦定理,
得AB2=a2+b2-2abcosC,
AB2=a2+x2-2axcos∠ADB=x2+a2+2axcosC,
∴a2+b2-2abcosC=x2+a2+2axcosC,
即x2+2axcosC+(2acosC-b)b=0,
解得x=b-2acosC,或x=-b(舍去).
于是凹四边形ACBD的面积
S=S△ABC-S△ABD=absinC-axsin∠ADB
=absinC-a(b-2acosC)sinC=a2sin2C.
∴当C=时,凹四边形ACBD的面积最大,最大值为a2,此时BD=b-a.
1.本例中,以角C为自变量,将凹四边形ACBD的面积表示为角C的三角函数,从而求解最值问题.
2.求解平面图形的面积最值问题,关键是恰当地设立角度为自变量,建立目标函数.
如图1-3-4所示,已知扇形OAB,
图1-3-4
O为顶点,圆心角∠AOB=60°
,半径为2cm,在弧AB上有一动点P,由P引平行于OB的直线和OA相交于C,∠AOP=β.求△POC的面积的最大值以及此时的β值.
【解】 ∵PC∥OB,
∴∠ACP=∠AOB=60°
∴∠PCO=120°
,∠OPC=60°
-β.
在△OCP中,由正弦定理得
∴OC==,
S△OCP=·
OC·
OPsinβ=×
2sinβ
==
故当cos(2β-60°
)=1,即当2β=60°
,β=30°
时,
S△OCP有最大值cm2.
易错易误辨析
过程不严谨,靠主观臆判而致误
典例 如图1-3-5所示的是曲柄连杆装置示意图,连杆AC=c,
图1-3-5
曲柄AB和曲轴BL所成的角为α,连杆AC和曲轴BL间的夹角为β,则α取什么值时,sinβ最大?
【错解】 ∵点A在圆B上运动,
∴要使β,即∠ACB最大,只需点A在最高或最低点即可,
此时,△ABC中,∠ABC=90°
,即α=90°
时,AB=r,AC=c,sinβ=sin∠ACB=为所求的最大值.
【错因分析】 上述解答中想当然地认为点A在最高或最低点时,sinβ最大,虽然结论正确,但过程不严谨.
【防范措施】 建立目标函数,转化为三角函数最值问题,定量分析.
【正解】 在△ABC中,由正弦定理,得=,
∴sinβ=sinα.
由对称性可知,只需讨论α∈[0,π]即可.
∵sinβ=sinα≤,
∴当且仅当sinα=1,即α=时,sinβ最大.
1.基础知识:
(1)有关术语:
仰角、俯角、方向角、方位角;
(2)利用解三角形,求解实际应用题的方法及步骤.
2.基本技能:
(1)测量问题;
(2)航海问题;
(3)力
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