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定义的等价叙述2:
设是的一个开集,是一个常数,二元函数在点附近有定义.如果,,当且时,有,就称是二元函数在点的极限.记为或.
注:
(1)和一元函数的情形一样,如果,则当以任何点列及任何方式趋于时,的极限是;
反之,以任何方式及任何点列趋于时,的极限是.但若在某一点列或沿某一曲线时,的极限为,还不能肯定在的极限是.
二元函数的极限较之一元函数的极限而言,要复杂得多,特别是自变量的变化趋势,较之一元函数要复杂.
3.二元函数极限的计算方法
二元函数极限是在一元函数极限的基础上推广得来的,两者之间既有区别又有联系.在极限的运算法则上它们是一致的,但随着变量的增加,二元函数极限的求解比一元函数复杂得多.现总结出一些常用的二元函数极限求解的方法,对后面含有更多变量的多元函数极限的求解打下基础.
3.1利用二元函数极限的定义求解
例1求.
解:
当时,.
任意地给定一个正数,取,则当,并且时,有
所以
.
3.2利用极限的运算法则求解
二元函数的极限的运算法则有着和一元函数类似的运算法则.
例2求.
解:
由于,则
.
3.3利用初等函数的连续性求解
二元初等函数在定义域内都是连续的.由二元函数极限的定义可知,若为二元初等函数,是函数定义域内一点,则
例3求.
因为是初等函数,而是其定义域内的点,故
3.4利用无穷小量的相关结论求解
一元函数关于无穷小量的某些结论对于二元函数同样适用,例如无穷小量的倒数是无穷大量,等价无穷小替换,无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小量.
例4求.
时,.故
3.5利用两边夹法则求解
类似于一元函数极限的两边夹法则,可证明二元函数极限的两边夹法则.
设,和在区域上有定义,是的内点或界点若,
则有.
例5求.
由可得
而
3.6利用重要极限公式求解
有时我们可以利用一元函数的重要极限和直接求解二元函数的极限.
例6求.
令,则时,从而
例7求.
令,则
故
3.7把二元函数的极限转化为一元函数的极限
定理1在点的某空心邻域内有定义,是向量的方向余弦,若,则有:
(1)若,则与无关;
(2)若与有关,则不存在.
例8求.
此极限中
从而
3.8利用换元法
例9求.
令,因为所以,则
即
例10求
令则
.
其中.故由两边夹法则知:
在求某个具体极限时,往往是多种方法的综合运用.如在上面的“重要极限”中的两个例子,实际上也运用到了换元法,在“换元法”的例子中用到了两边夹法则以及洛必达法则.但要注意在使用洛必达法则时,必须把原极限转化为相应的一元函数的不定式极限.
4.综合运用
由上我们知道二元函数的求法有很多种,同一个题目可以有多种做法,也可能是几种方法的综合.因此,我们要灵活运用二元函数极限的计算方法.
例1试应用定义证明
方法1证明:
因为时,
从而,则当时,
,
方法1的证明中用的是方形邻域.如果用圆形邻域,则证明如方法2.
方法2证明:
因为,所以
于是对于则当
即.
方法3证明:
令
从而
例1主要是运用二元函数极限的定义来解决问题.
例2求.
因为
令,则
例2中用到的是两边夹法则以及换元法的综合.
例3.
解法1:
设则
解法2:
又,
而,
从上述中的几个例题中可以看出,求解二元函数极限的方法不外乎那么几种.因此,总结出二元函数极限的计算方法是很有必要的.
至于三元以至更多元的函数,其极限理论一般地都可由二元函数类推而出.多元函数理论是一元函数理论的发展,但从一元函数转到二元函数,会出现某些原则上是新的东西.比如,二元函数会出现累次极限和重极限的问题.在这里就不一一叙述了.
结束语
本文通过对比一元函数极限的性质和求法,总结出二元函数极限计算的一些常用方法,并给出了相应的例题加以说明.求极限的方法有很多,通过总结出常用的计算方法,让我们做题时知道如何下手.
致谢
经过半年的忙碌和工作,本次毕业论文已经接近尾声,作为一个本科生的毕业设计,由于经验的匮乏,难免有许多考虑不周全的地方,如果没有导师的督促指导,以及一起工作的同学们的支持,想要完成这个设计是难以想象的.
在这里首先要感谢我的导师柴国庆老师.柴老师平日里工作繁多,但在我做毕业论文的每个阶段,从初次选题到查阅资料,论文初稿的确定和修改,中期检查,后期详细设计等整个过程中都给予了我悉心的指导.我的论文刚开始写得不尽如意,但是柴老师仍然细心地纠正其中的错误.除了敬佩柴老师的专业水平外,他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样,并将积极影响我今后的学习和工作.
然后还要感谢大学四年来所有的老师,为我们打下坚实的专业知识的基
础;
同时还要感谢所有的同学们,正是因为有了你们的支持和鼓励.此次毕业论文才会顺利完成.
最后感谢我的母校湖北师范学院大学四年来对我的大力栽培.
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