小学奥数格点型面积Word格式.docx
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面积等于2平方厘米的三角形有多少个?
【解析】面积等于1平方厘米的三角形有32个.面积等于2平方厘米的三角形有8个.
(1面积等于1平方厘米的分类统计如下:
①②③
底为2,高为1底为2,高为1底为1,高为23×
2=6(个3×
2=6(个
④⑤⑥
底为1,高为2底为2,高为1底为1,高为23×
2=6(个2×
2=4(个2×
2=4(个所以,面积等于1平方厘米的三角形的个数有:
6+6+6+6+4+4=32(个.(2面积等于2平方厘米的分类统计如下:
3×
2=6(个1×
2=2(个
所以,面积等于2平方厘米的三角形的个数有:
6+2=8(个.
【例2】如图,44⨯的方格纸上放了16枚棋子,以棋子为顶点的正方形有个.
【解析】根据正方形的大小,分类数正方形.共能组成五种大小不同的正方形(如右图.
11⨯的正方形:
9个;
22⨯的正方形:
4个;
33⨯的正方形:
1个;
以11⨯正方形对角线为边长的正方形:
以12⨯长方形对角线为边长的正方形:
2个.故可以组成9414220++++=(个正方形.
【例3】判断下列图形哪些是格点多边形?
⑴
⑵⑶
【解析】
根据格点多边形的定义可知,图形的边必须是直线段,顶点要在格点上!
所以只有⑴是格点多边形.
【例4】如图,计算各个格点多边形的面积.
【解析】本题所给的图形都是规则图形,它们的面积运用公式直接可求,只要判断出相应的有关数据就行了.方法一:
图⑴是正方形,边长是4,所以面积是4416
⨯=(面积单位;
图⑵是矩形,长是5,宽是3,所以面积是5315
图⑶是三角形,底是5,高是4,所以面积是5
4210
⨯÷
=(面积单位;
图⑷是平行四边形,底是5,高是3,所以面积是5315
图⑸是直角梯形,上底是3,下底是5,高是3,所以面积是353212
+⨯÷
=
((面积单位;
图⑹
是梯形,上底是3,下底是6,高是4,所以面积是364218
((面积单位.【巩固】如果两格点之间的距离是2,能利用刚计算的结果说出相应面积么?
(教师总结:
面积数值均扩大4倍.
方法二:
以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外,我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发,即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求.这一种方法很重要,在下面的题目中我们还将使用这种方法!
如图⑶,我们利用“扩展法”将其转化,如图所示,从图中易知三角形面积是长方形面积的一半.
如图⑷,我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边,转化成一个长方形,从中易得平行四边形面积.同理,图⑸、⑹也可利用同样的思想.
【例5】如图(a,计算这个格点多边形的面积.
【解析】方法一(扩展法.这是个三角形,虽然有三角形面积公式可用,但判断它的底和高却十分困难,只能另想别的办法:
这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内,除此之外还有其他三个直角三角形,如下右图(b,这三个直角三角形面积很容易求出,再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.矩形面积是6424
⨯=;
直角三角形Ⅰ的面积是:
6226
=;
直角三角形Ⅱ的面积是:
4224
直角三角形Ⅲ面积是4224
所求三角形的面积是2464410
-++=
((面积单位.
方法二(割补法.将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形,如(c图.因此三角形的面积是:
52252210
=(面积单位.
【例6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题右图是一个方格网,计算阴影部分的面积.
【解析】扩展法.把所求三角形扩展成正方形ABCD中.这个正方形中有四个三角形:
一个是要求的AEF;
另外三个分别是:
ABE、FEC、DAF,它们都有一条边是水平放置的,易求它们的面积分别为2
1.5cm,2
2cm,2
1.5cm.所以,图中阴影部分的面积为:
331.5224
⨯-⨯+=
((2
cm.
【例7】分别计算图中两个格点多边形的面积.
⑴⑵
【解析】利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的面积均为9面积单位.⑵的面积均为10面
积单位.
【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢?
”“格点多边形内部的格点数和周界上的
格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢?
”下面我们就来探讨一下!
在巩固中,我们发现两个图形面积相等.进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个;
第二个图形边界上的格点数是10个,包含在图形内的格点数也相等,都是6个.
【巩固】求下列各个格点多边形的面积.
⑵
⑷
⑶
【解析】⑴∵12L=;
10N=,∴12
11011522LSN=+
-=+-=(面积单位;
⑵∵10L=;
16N=,∴10
11612022LSN=+-=+-=(面积单位;
⑶∵6L=;
12N=,∴6
11211422LSN=+-=+-=(面积单位;
⑷∵10L=;
13N=,∴10
11311722
LSN=+-=+-=(面积单位.
用N表示多边形内部格点,L表示多边形周界上的格点,S表示多边形面积,请同学们分析前几个例
题的格点数.
1
2
【例8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少?
【解析】图形内部格点数9N=;
图形边界上的格点数20L=;
根据毕克定理,则1182
SN=+
-=(单位面积.
【例9】右图是一个812⨯面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.
-.
F
DBA
【解析】箭形ABCDEFGH的面积810214842121232246=
+÷
-+⨯+÷
-⨯=++=(((面积单位.
【例10】右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?
19.
所以图形的面积为:
54192162.5+÷
-=(面积单位.
【巩固】如图,每一个小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?
【解析】方法一:
正方形格点阵中多边形面积公式:
(N+
-1×
单位正方形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.
有N=4,L=7,则用粗线围成图形的面积为:
(4+
7
1=6.5(平方厘米方法二:
如右上图,先求出粗实线外格点内的图形的面积,
有①=3÷
2=1.5,②=2÷
2=1,③=2÷
2=1,④=2÷
2=1,⑤=2÷
2=l,⑥=2÷
2=1,还有三个小正方形,所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5,而整个格点阵所围成的图形的面积为16,所以粗线围成的图形的面积为:
16-9.5=6.5平方厘米.
【例11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题55⨯的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点
称为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大.那么,所围图形的面积是平方厘米.
【解析】为了使这7个点围成最大的面积,这7个点应尽量在正方形的边或顶点上,如图选取7个点,围成
面积最大.最大面积为550.5323.5⨯-⨯=(平方厘米.
【例12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21
日开幕,下面的图形中,每一个小方格的面积是1,那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少?
【解析】要计算三个数字所占的面积之和,可以先分别求出每个数字所占的面积.显然,图中的三个数字都可以看作格点多边形,根据毕克定理,可以很方便地求出每个数字所占的面积.值得注意的是:
数字“7”内部有两个格点,而数字“2”和“1”内部都没有格点.7所占的面积为:
2+15¸
2-1=8.5;
2所占的面积为:
24¸
2-1=11;
1所占的面积为:
17¸
2-1=7.5.所以,这三个数字所占的面积之和为:
8.5+11+7.5=27.【例13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格.现2将这两个正方形的一部分重叠起来,若左上角的阴影部分(块状面积为5.12cm,右下角的阴影部分(线状面积为7.4cm2,求大正方形的面积.【解析】块状部分与线状部分之间的部分称为D,则D与前者共14个方格,与后者共17个方格,因此每个19方格的面积是(7.4-5.12)(¸
17-14)=(cm2)25大正方形的面积为19cm2.【例14】(第六届“华杯赛”试题图中正六边形ABCDEF的面积是54,AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四边形CEPQ的面积.APFAPFBQCDEBQCDE【解析】如图,将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形.根据平行四边形对角线平分平行四边形面积,PEF面积=3,CDE面积=9,四边形ABQP面积=11.上述三块面积之和为3+9+11=23.因此,阴影四边形CEPQ面积为54-23=31.板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指:
每相邻三点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1,以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格
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