高考数学十年真题分类汇编专题05三角函数Word文件下载.docx
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文T8)若x1=,x2=是函数f(x)=sinωx(ω>
0)两个相邻的极值点,则ω=( )
A.2B.C.1D.
【答案】A
【解析】由题意,得f(x)=sinωx的周期T==2=π,解得ω=2,故选A.
3.(2019·
理T9)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是( )
A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|
C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|
【解析】y=|cos2x|的图象为,由图知y=|cos2x|的周期为,且在区间()内单调递增,符合题意;
y=|sin2x|的图象为,由图知它的周期为,但在区间()内单调递减,不符合题意;
因为y=cos|x|=cosx,所以它的周期为2π,不符合题意;
y=sin|x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.
4.(2019·
天津·
理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
0,ω>
0,|φ|<
π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g()=,则f()=( )
A.-2B.-C.D.2
【答案】C
【解析】已知函数为奇函数,且|φ|<
π,故φ=0.
f(x)=Asinωx.∴g(x)=Asinx.
∵g(x)的最小正周期为2π,∴=2π,∴ω=1.
∴g(x)=Asinx.
由g()=,得Asin,∴A=2.
∴f(x)=2sin2x.∴f()=2sin.故选C.
5.(2019·
北京·
文T8)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )
A.4β+4cosβ
B.4β+4sinβ
C.2β+2cosβ
D.2β+2sinβ
【解析】
(方法一)如图,设圆心为O,连接OA,OB,半径r=2,∠AOB=2∠APB=2β,阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S1=βr2=4β为定值,S△OAB=|OA||OB|sin2β=2sin2β为定值,全部阴影部分的面积S=S△PAB+S1-S△OAB.当P为弧AB的中点时S△PAB最大,最大值为(2|OA|sinβ)(OP+|OA|cosβ)=2sinβ(2+2cosβ)=4sinβ+2sin2β,所以全部阴影部分的面积S的最大值为4β+4sinβ,故选B.
(方法二)观察图象可知,当P为弧AB的中点时,阴影部分的面积S取最大值,此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S的最大值为βr2+S△POB+S△POA=4β+|OP||OB|sin(π-β)+|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sinβ+2sinβ=4β+4sinβ,故选B.
6.(2019·
全国3·
理T12)设函数f(x)=sin(ω>
0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点
③f(x)在单调递增
④ω的取值范围是
其中所有正确结论的编号是( )
A.①④B.②③C.①②③D.①③④
【答案】D
【解析】∵f(x)=sin(ω>
0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点,
∴5π≤2πω+<
6π,
解得≤ω<
故④正确.
画出f(x)的图像(图略),由图易知①正确,②不正确.
当0<
x<
时,<
ωx+,
又≤ω<
∴,
∴③正确.
综上可知①③④正确.故选D.
7.(2018·
文T7)在平面直角坐标系中,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tanα<
cosα<
sinα,则P所在的圆弧是( )
A.B.C.D.
【解析】若P在上,则由角α的三角函数线知,cosα>
sinα,排除A;
若P在上,则tanα>
sinα,排除B;
0,cosα<
0,sinα<
0,排除D;
故选C.
8.(2018·
全国1·
文T11)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,则|a-b|=( )
A.B.C.D.1
【解析】因为cos2α=2cos2α-1=,所以cos2α=,sin2α=.所以tan2α=,tanα=±
.
由于a,b的正负性相同,不妨设tanα>
0,即tanα=,
由三角函数定义得a=,b=,故|a-b|=.
9.(2018·
T4)若sinα=,则cos2α=( )
A.B.C.-D.-
【解析】cos2α=1-2sin2α=1-2×
10.(2018·
文T6)函数f(x)=的最小正周期为( )
A.B.C.πD.2π
【解析】f(x)=
=sin2x,
∴f(x)的最小正周期是π.故选C.
11.(2018·
文T8)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( )
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
【解析】因为f(x)=2cos2x-(1-cos2x)+2=3cos2x+1=3×
+1=cos2x+,所以函数f(x)的最小正周期为=π,当cos2x=1时,f(x)max=4.
12.(2018·
理T6)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减
【解析】函数y=sin
y=sin=sin2x.
当-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,y=sin2x单调递增.
当+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,y=sin2x单调递减,
结合选项,可知y=sin2x在上单调递增.故选A.
13.(2018·
理T10)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( )
A.B.C.D.π
【解析】f(x)=cosx-sinx=-sinx·
-cosx·
=-sinx-,
当x∈,即x-时,
y=sinx-单调递增,y=-sinx-单调递减.
∵函数f(x)在[-a,a]是减函数,∴[-a,a]⊆,∴0<
a≤,∴a的最大值为.
14.(2017·
文T4)已知sinα-cosα=,则sin2α=( )
A.-B.-C.D.
【解析】∵(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α=,∴sin2α=-.
15.(2017·
山东·
文T4)已知cosx=,则cos2x=( )
A.-B.C.-D.
【解析】cos2x=2cos2x-1=2×
-1=.
16.(2017·
理T6)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在单调递减
【解析】由f(x)=cos的【解析】式知-2π是它的一个周期,故A中结论正确;
将x=代入f(x)=cos,得f=-1,故y=f(x)的图象关于直线x=对称,故B中结论正确;
f(x+π)=cos,当x=时,f(x+π)=cos=0,故C中结论正确;
当x∈时,x+,显然f(x)先单调递减再单调递增,故D中结论错误.
17.(2017·
文T3)函数f(x)=sin的最小正周期为( )
A.4πB.2πC.πD.
【解析】T==π,故选C.
18.(2017·
T7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>
π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )
A.ω=,φ=B.ω=,φ=-
C.ω=,φ=-D.ω=,φ=
【解析】∵f(=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2π,
∴f(x)的最小正周期为4(=3π.
∴ω=,∴f(x)=2sin(x+φ).
∴2sin(+φ)=2,∴φ=2kπ+,k∈Z.
又|φ|<
π,∴取k=0,得φ=.
19.(2017·
文T7)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为( )
A.B.C.πD.2π
【解析】因为y=sin2x+cos2x=2=2sin,所以其最小正周期T==π.
20.(2017·
理T9)已知曲线C1:
y=cosx,C2:
y=sin,则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
【解析】曲线C1的方程可化为y=cosx=sin,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得曲线y=sin=sin2,为得到曲线C2:
y=sin2,需再把得到的曲线向左平移个单位长度.
21.(2017·
文T6)函数f(x)=sin+cos的最大值为( )
A.B.1C.D.
【解析】因为cos=cos=sin,所以f(x)=sin+sinsin,故函数f(x)的最大值为.故选A.
22.(2016·
理T9)若cos,则sin2α=( )
【解析】cos=2cos2-1=2×
-1=-,且cos=cos=sin2α,故选D.
23.(2016·
理T5)若tanα=,则cos2α+2sin2α=( )
A.B.C.1D.
【解析】由tanα=,得cos2α+2sin2α=.故选A.
24.(2016·
文T6)若tanθ=-,则cos2θ=( )
【解析】cos2θ=cos2θ-sin2θ=.故选D.
25.(2016·
理T12)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为(
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