人教版理数高考一轮复习 第3章 第4节 函数yAsinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用Word文档格式.docx
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2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示
x
-
π
2π
y=Asin(ωx+φ)
-A
3.由y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象
[知识拓展]
1.由y=sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:
向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
2.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ+,k∈Z确定;
对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的单位长度一致.( )
(2)将y=3sin2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y=3sin.( )
(3)y=sin的图象是由y=sin的图象向右平移个单位得到的.( )
(4)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
[答案]
(1)×
(2)×
(3)√ (4)√
2.(教材改编)y=2sin的振幅,频率和初相分别为( )
A.2,4π, B.2,,
C.2,,-D.2,4π,-
C [由题意知A=2,f===,初相为-.]
3.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向上平行移动个单位长度
D.向下平行移动个单位长度
A [把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动个单位长度就得到函数y=sin的图象.]
4.用五点法作函数y=sin在一个周期内的图象时,主要确定的五个点是________、________、________、________、________.
;
[分别令x-=0,,π,π,2π,即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为0,1,0,-1,0).]
5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图341所示,则ω=________.
图341
[由题图可知,=-=,
即T=,所以=,故ω=.]
(对应学生用书第55页)
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
已知函数f(x)=3sin,x∈R.
(1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图;
(2)将函数y=sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象?
【导学号:
97190116】
[解]
(1)列表取值:
x-
f(x)
3
-3
描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.
(2)先把y=sinx的图象向右平移个单位,然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍,再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍,得到f(x)的图象.
[规律方法] 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的作法
(1)五点法:
用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,令z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表得出五点坐标,描点,连线后得出图象.
(2)图象变换法:
由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”,对于后者可利用ωx+φ=ω确定平移单位.
[跟踪训练]
(1)(2017·
全国卷Ⅰ)已知曲线C1:
y=cosx,C2:
y=sin,则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
(2)(2018·
呼和浩特一调)设函数f(x)=sin(2x+φ)向左平移个单位长度后得到的函数是一个偶函数,则φ=________.
(1)D
(2)- [
(1)因为y=sin=cos=cos,所以曲线C1:
y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到曲线y=cos2x,再把得到的曲线y=cos2x向左平移个单位长度,得到曲线y=cos2=cos.故选D.
(2)由题意得y=sin是一个偶函数,因此+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z).因为|φ|<,所以φ=-.]
求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
(1)(2016·
全国卷Ⅱ)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图342所示,则( )
图342
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
(2)已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为( )
A.y=4sinB.y=2sin+2
C.y=2sin+2D.y=2sin+2
(1)A
(2)D [
(1)由图象知=-=,故T=π,因此ω==2.又图象的一个最高点坐标为,所以A=2,且2×
+φ=2kπ+(k∈Z),故φ=2kπ-(k∈Z),结合选项可知y=2sin.故选A.
(2)由函数y=Asin(ωx+φ)+b的最大值为4,最小值为0,可知b=2,A=2.由函数的最小正周期为,可知=,得ω=4.由直线x=是其图象的一条对称轴,可知4×
+φ=kπ+,k∈Z,从而φ=kπ-,k∈Z,故满足题意的是y=2sin+2.]
[规律方法] 确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法
(1)求A,b:
确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=.
(2)求ω:
确定函数的周期T,则可得ω=.
(3)求φ:
常用的方法有:
①代入法:
把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②五点法:
确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx+φ=0;
“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx+φ=;
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx+φ=π;
“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx+φ=;
“第五点”时ωx+φ=2π.
[跟踪训练] (2017·
石家庄一模)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图343所示,则f的值为( )
图343
A.- B.- C.- D.-1
D [由图象可得A=,最小正周期T=4=π,则ω==2.又f=sin=-,解得φ=-+2kπ(k∈Z),即k=1,φ=,则f(x)=sin,f=sin=sin=-1,
故选D.]
函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的应用
(2018·
合肥二检)已知函数f(x)=sinωx-cosωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y=f(x)的图象的对称轴方程;
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
[解]
(1)∵f(x)=sinωx-cosωx=sin,
且T=π,∴ω==2.
于是f(x)=sin.
令2x-=kπ+(k∈Z),
得x=+(k∈Z),
即函数f(x)的图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
因为x∈,令k=0,
得函数f(x)在上的单调递增区间为;
同理其单调递减区间为.
[规律方法] 三角函数图象与性质应用问题的求解思路,先将y=f(x)化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再借助y=Asin(ωx+φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
[跟踪训练] 设函数f(x)=-sinωx-sinωxcosωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
[解]
(1)f(x)=-sinωx-sinωxcosωx
=-·
-sin2ωx
=cos2ωx-sin2ωx=-sin.
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,又ω>0,所以=4×
,因此ω=1.
(2)由
(1)知f(x)=-sin.
当π≤x≤时,≤2x-≤,
所以-≤sin≤1,则-1≤f(x)≤.
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,-1.
三角函数模型的简单应用
某实验室一天的温度(单位:
℃)随时间t(单位:
h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差;
(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
97190117】
[解]
(1)因为f(t)=10-2
=10-2sin,又0≤t<24,
所以≤t+<,-1≤sin≤1.
当t=2时,sin=1;
当t=14时,sin=-1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.
(2)依题意,当f(t)>11时实验室需要降温.
由
(1)得f(t)=10-2sin,
故有10-2sin>11,
即sin<-.
又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18.
故在10时至18时实验室需要降温.
[规律方法] 三角函数模型的实际应用类型及解题关键
(1)已知函数解析式,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.
(2)函数解析式未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.
[跟踪训练] 如图344,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:
m)的最大值为( )
图344
A.5 B.6 C.8 D.10
C [根据图象得函数的最小值为2,有-3+k=2,k=5,最大值为3+k=8.]
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