高中数学独立性检验的基本思想及其初步应用 新人教A版选修12Word文档格式.docx
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一、学习要求:
通过对典型案例的探究,了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用
学习重点:
对独立性检验的基本思想的理解.
学习难点:
独立性检验的基本思想的应用.
二、学习过程:
知识点详解
知识点一:
分类变量
对于性别变量,其取值为男和女两种.这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量.
知识点二:
列联表
为调查吸烟是否对患肺癌有影响,某肿瘤研究所随机调查了9965人,得到如下结果(单位:
人):
吸烟与患肺癌列联表
不患肺癌
患肺癌
总计
不吸烟
7775
42
7817
吸烟
2099
49
2148
9874
91
9965
像上表这样列出的两个分类变量的频数表,称为列联表.
知识点三:
独立性检验
这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.
知识点四:
判断结论成立的可能性的步骤
一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×
2列联表)为:
2×
2列联表
y1
y2
x1
x
b
x+b
x2
c
d
c+d
x+c
b+d
x+b+c+d
若要推断的论述为
H1:
“X与Y有关系”,
可以按如下步骤判断结论H1成立的可能性:
(1)通过三维柱形图和二维条形图,可以粗略地判断两个分类变量是否有关系,但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度.
①在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积xd与副对角线上的两个柱形高度的乘积bc相差越大,H1成立的可能性就越大.
②在二维条形图中,可以估计满足条件X=x1的个体中具有Y=y1的个体所占的比例,也可以估计满足条件X=x2的个体中具有Y=y1的个体所占的比例.两个比例的值相差越大,H1成立的可能性就越大.
(2)可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系,并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.具体做法是:
根据观测数据计算由K2=给出的检验随机变量K2的值k,其值越大,说明“X与Y有关系”成立的可能性越大.当得到的观测数据x,b,c,d都不小于5时,可以通过查阅下表来确定断言“X与Y有关系”的可信程度.
P(K2≥k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
说明:
当观测数据x,b,c,d中有小于5时,需采用很复杂的精确的检验方法.
五、几个典型例题:
例1 三维柱形图中柱的高度表示的是 (A)
A.各分类变量的频数 B.分类变量的百分比
C.分类变量的样本数 D.分类变量的具体值
例2 分类变量X和Y的列联表如下
则下列说法正确的是 (C)
X.xd-bc越小,说明X和Y关系越弱
B.xd-bc越大,说明X和Y关系越强
C.(xd-bc)2越大,说明X和Y关系越强
D.(xd-bc)2越接近于0,说明X和Y关系越强
例3 研究人员选取170名青年男女大学生的样本,对他们进行一种心理测验,发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是:
作肯定的18名,不定的42名;
男生110名在相同的项目上作肯定的有22名,否定的有88名.问:
性别与态度之间是否存在某种关系?
分别用图形和独立性检验的方法判断.
解:
根据题目所给数据建立如下列联表
性别
肯定
否定
男生
22
88
110
女生
18
60
40
130
170
根据列联表中的数据得到K2=≈2.158<2.706
因此没有充分的证据显示“性别与态度有关”.
例4 打鼾不仅影响别人休息,而且可能与患某种病症有关.下表是一次调查所得的数据,试问:
每一晚都打鼾与患心脏病有关吗?
患心脏病
未患心脏病
每一晚都打鼾
30
224
254
不打鼾
24
1355
1379
54
1579
1633
根据列联表中数据,得到,
K2==68.033.
因为68.033>6.635,所以有99%的把握说,每一晚都打鼾与患心脏病有关
课后练习与提高
为了研究某种细菌随时间x变化,繁殖的个数,收集数据如下:
天数x/天
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y/个
6
12
25
49
95
190
(1)用天数作解释变量,繁殖个数作预报变量,作出这些数据的散点图;
(2)试求出预报变量对解释变量的回归方程.(答案:
所求非线性回归方程为.)
2019-2020年高中数学独立性检验的基本思想及其初步应用教学案新人教A版选修2-2
教学目标
(1)通过对典型案例的探究,了解独立性检验(只要求列联表)的基本思想、方法及初步应用;
(2)经历由实际问题建立数学模型的过程,体会其基本方法。
教学重点:
独立性检验的基本方法
教学难点:
基本思想的领会及方法应用
教学过程
一、问题情境
5月31日是世界无烟日。
有关医学研究表明,许多疾病,例如:
心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关,吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。
这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢?
我们看一下问题:
某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关,进行了一次抽样调查,共调查了9965个人,其中吸烟者2148人,不吸烟者7817人。
调查结果是:
吸烟的2148人中有49人患肺癌,2099人未患肺癌;
不吸烟的7817人中有42人患肺癌,7775人未患肺癌。
问题:
根据这些数据能否断定“患肺癌与吸烟有关”?
二、学生活动
(1)引导学生将上述数据用下表
(一)来表示:
(即列联表)
(2)估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异:
在不吸烟者中,有≈0.54%的人患肺癌;
在吸烟的人中,有≈2.28%的人患肺癌。
由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关?
把握有多大?
三、建构数学
1、从问题“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题,借助样本数据的列联表,柱形图和条形图的展示,使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系。
但这种结论能否推广到总体呢?
要回答这个问题,就必须借助于统计理论来分析。
2、独立性检验:
(1)假设:
患肺癌与吸烟没有关系。
即:
“吸烟与患肺癌相互独立”。
用A表示不吸烟,B表示不患肺癌,则有P(AB)=P(A)P(B)
若将表中“观测值”用字母代替,则得下表
(二):
未患肺癌
合计
学生活动:
让学生利用上述字母来表示对应概率,并化简整理。
思考交流:
越小,说明患肺癌与吸烟之间的关系越(强、弱)?
(2)构造随机变量(其中)
由此若成立,即患肺癌与吸烟没有关系,则K2的值应该很小。
把表中的数据代入计算得K2的观测值k约为56.632,统计学中有明确的结论,在成立的情况下,随机事件P(K2≥6.635)≈0.01。
由此,我们有99%的把握认为不成立,即有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关系”。
上面这种利用随机变量K2来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法,称为两个分类变量的独立性检验。
估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异是用频率估计概率,利用K2进行独立性检验,可以对推断的正确性的概率作出估计,观测数据取值越大,效果越好。
在实际应用中,当均不小于5,近似的效果才可接受。
(2)这里所说的“患肺癌与吸烟有关系”是一种统计关系,这种关系是指“抽烟的人患肺癌的可能性(风险)更大”,而不是说“抽烟的人一定患肺癌”。
(3)在假设成立的情况下,统计量K2应该很小,如果由观测数据计算得到K2的观测值很大,则在一定程度上说明假设不合理(即统计量K2越大,“两个分类变量有关系”的可能性就越大)。
3、对于两个分类变量A和B,推断“A和B有关系”的方法和步骤为:
①利用三维柱形图和二维条形图;
②独立性检验的一般步骤:
第一步,提出假设:
两个分类变量A和B没有关系;
第二步,根据2×
2列联表和公式计算K2统计量;
第三步,查对课本中临界值表,作出判断。
4、独立性检验与反证法:
反证法原理:
在一个已知假设下,如果推出一个矛盾,就证明了这个假设不成立;
独立性检验原理:
在一个已知假设下,如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生,就推断这个假设不成立。
四、数学运用
例1在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶;
而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶.分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系?
你所得的结论在什么范围内有效?
①第一步:
教师引导学生作出列联表,并分析列联表,引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论;
第二步:
教师演示三维柱形图和二维条形图,进一步向学生解释所得到的统计结果;
第三步:
由学生计算出的值;
第四步:
解释结果的含义.
②通过第2个问题,向学生强调“样本只能代表相应总体”,这里的数据来自于医院的住院病人,因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体,而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误,除非有其它的证据表明可以进行这种推广.
变式练习:
课本P97练习
【板书设计】:
【作业布置】:
课本P97习题3.2第1题
3.2.1独立性检验的基本思想及其初步应用
课前预习
阅读教材P91-P95,了解相关概念,如:
分类变量、列联表、独立性检验。
学习目标
基本思想的领会
学习过程
一、情境引入
心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关,吸烟已成为继高血压之后的第二号
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