一元二次方程根与系数的关系Word格式.docx

一元二次方程根与系数的关系Word格式.docx

《一元二次方程根与系数的关系Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元二次方程根与系数的关系Word格式.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。

如，方程2X2-3x+i=0的两根为Xi,X2,不解方程，求xi2+X22的值。

3£

3£

5

[JXi+X2=-,XiX2=亠，.•.Xi2+X22=（Xi+X2）2-2XiX2=（-）2-2哭=丨]

（4）验根、求根、确定根的符号。

（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。

（6）已知两数和与积，求这两个数。

（7）解特殊的方程或方程组。

考题评析

1•（北京市东城区）如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为X1,X2，那么X1+X2与XiX2的值

分别为（

）

（A）

3,2（B）-3,-2（C）3,-2

（D）-3,2

考点：

一元二次方程的根与系数关系。

—

评析：

由一一元-二次方程ax+bx+c=0（a疋的两根

X1,X2,满足X1+X2=■-,X1X2=-可直接计算,

答案为B。

2.（杭州市）若汕匚是方程…J一：

-的两个根9；

「山J1的值为（）

（A）-（B）1（C）一「（D）'

'

皿

答案：

A

蛊］十K：

2=——K,■X.=—

评析思路：

由韦达定理知二，’=!

先求岀X1+X2,X1X2的值，然后将代

数式（X1+1）（X2+1）展开，最后将X1+X2,X1X2的值代入即可。

3•（辽宁省）下列方程中，两根分别为一"

的是（）

（A）二一二I-一（B）•〒一工I-一（C）「一二I--I（D）

x2-'

4=0

B

一元二次方程根与系数的关系

因给岀了二根，所以好求二根和二根积，再根据X1+X2=-pX1X2=q，即可确定正

确答案为B。

4•（辽宁省）已知aB是方程卫亠=°

的两个实数根，则口口的值为。

由根与系数的关系可知a+b=-2，ab=-5。

而所求式中有a2+2a部分，因a是方程

的根，所以有a2+2a-5=0,即卩a2+2a=5，再加ab，原式值为0。

5•（河南省）关于X的方程；

"

1'

+1'

-■'

-：

，是否存在负数k，使方程的两个

实数根的倒数和等于4?

若存在，求岀满足条件的k的值；

若不存在，说明理由。

又:

•••4k2-5k-9=0.

9

解这个方程，得k1=-1，k2=--（不合题意，舍去）当k=-1时，原方程的判别式

△=b2-4ac=[-（5k+1）]2-4（k2-2）

=（-4）2-4（1-2）=20>

0.

所以存在满足条件的负数k，k=-1.

一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。

此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下，按照给岀的条件进行讨论,

因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意厶>

0。

答案:

7•（广州市）已知2是关于X的方程x2+3mx-10=0的一个根，则m=

一元二次方程的根与系数关系

根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求岀m，或利用根与系数的关系解方程组

求出。

1

8

=2，贝Um=

•（贵阳市）若Xi,x2是方程x2-2x+m=0的两个根，且-

一元二次方程根与系数关系

、、一一、、口2、X】+幻=--朋•巧■£

由一兀二次方程ax2+bx+c=0（a^0的两根xi、X2与系数的关系-，丄

十

得x什X2=2xiX2=m，求r■■-的值，代入已知的等式求岀m

9.（河北省）在Rt△ABC中，/C=9O0,a、b、c分别是/A、/B、/C的对边，a、b是关于x的方程人丁T■--的两根，那么AB边上的中线长是（）

35

（A）二（B）二（C）5（D）2

直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系

因直角三角形两直角边a、b是方程的二根，.••有a+b=7①ab=c+7②，由勾股定

理知c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得c=5，•••斜边上的中线为斜边的一半，故选B。

10.（北京市海淀区）已知：

关于x的方程八豐-；

_-①的两个实数根的倒数和等于3,

关于x的方程n

A-1

=0②有实数根且k为正整数，求代数式氏一2的值。

根的判别式，根与系数的关系。

先根据根与系数的关系求得a值，再将a代入到第二个方程。

因第二个方程只证有实

根，所以k可以等于1,然后再根据△的范围再确定k值，分别代入所求代数式就可以了。

说明学生往往忽略k=1的这种情况：

认为一元二次方程有实根，必是两个，这是不全面的，也有的不考虑△的范围。

J_丄

11.（河北省）若X1、X2是一元二次方程3x2+x-仁0的两个根，则+亠的值是（）

（A）-1（B）0（C）1（D）2

1I人十心11

一「

石耳2变形为八■心，最后将Xl+X2=-'

X1X2=-：

代入即可，故选C。

12.（哈尔滨市）已知：

△ABC的两边AB、AC的长是关于X的一元二次方程

x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5.

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求岀厶ABC的周长.

Rt△三边关系，等腰三角形底与腰的关系，一元二次方程根与系数关系

（1）已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系达到目的，又根据Rt△三边的关系AB2+AC2=BC2可知，通过AB2+AC2=（AB+AC）2-2AB-AC可实现。

k=2或k=-5

注：

如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。

（2）首先利用判断式判断AB与AC是否相等，再考虑其它情况，即AB=BC或AC=BC，

当AB=BC或AC=BC时，BC=5是一元二次方程的一个根，故可求k的值，也就可求另一个根，三角形的周长可求。

14或16.

在求周长时，应判断是否能构成三角形。

13•（安徽）已知方程x2+（1--f）X^■=0的两根为X1、X2,求X-+X；

的值。

X1+X2、X1X2的值然后将X12+X22=（X1+X2）2-2X1X2变为以

解：

由根与系数关系,

X-+X±

=（X1+X2）2-2X1X2

=（J--1）2+2「'

：

=3-2】+2

=3.

说明：

如果先解岀根X1、X2,再求岀X-+X=的正确值可以。

14•（北京市东城区）已知关于x的方程x2-（k-1）x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4,

求实数k的值。

先设方程二根为X1、X2，分别求岀X1+X2,X1X2的值，再根据两根的平方和是4,求

岀k值，但必须保证方程有两个实根，所以还必须保证△才能确定k的值，此题一些考生忽

略厶的隐含条件的。

设方程X2-（k-1）X+k+1=0的两个实数根是X1,X2，那么

X1+X2=k-1,X1X2=k+1.

22

由xl+x」=4,

得（X1+X2）2-2X1X2=4.

即（k-1）2-2（k+1）=4

k-4k-5=0

解这个方程，得

k=5或k=-1.

当k=5时,△=（51）2-4（5+1）<

0,

原方程无实数根，故x=5舍去.

当k=-1时,△=（1-1）2-4（-1+1）>

因此，k=-1为所求。

真题实战

1•（常州市）已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根是2，则另一个根是，m=

-3;

1

2•（天门市）若方程-2-:

「一［的两根是X1、X2，则代数式■'

■-〔的值

6

3•已知Xi、X2是方程X2—x—1=0的两个根，则-；

1一一的值是（）

A、1B、一1C、±

D、0

丄丄2

4•（石家庄市）设方程二】一丄亠--的两根为Xi和X2,且b-，则m等于（）

A•—8B•—4

C

5•（潍坊市）下列方程中，两实数根的和等于2的方程是（）

A•2x2—4x+3=0

B•2x2—2x—3=0

C•2x+4X—3=0

D•2x2—4x—3=0

D

6•（山西省）若方程

x"

的二根为X1,X2,则代数式/:

:

的值是（）

A•6B•4

C•2D•-2

设方程的另一根为X1，那么-2x1=-5，

5

^=—

12

--k=-1o

答：

方程的另一根是-，k的值是-1

丄

8•（苏州市）已知关于x的方程x2+（m—2）x+'

m—3=0。

（1）求证：

无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根;

（2）若这个方程的两个实数根X1,X2满足2x1+X2=m+1,求m的值。

1

A=（pm-2）3-4（—阳_J）

（1）证明：

•••二

二地'

一6牌+16

=（酬-3/+7》0

•••无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根

⑵解TX1,X2是这个方程的两个实数根

又2xi+x2=m+1,（3）

（3）-

（1）,得Xi=2m-1⑷

把⑷代入

（1）,得

x2=3-3m（5）

把⑷、（5）

代入

（2）,得（2m-1）（3-3m）=-

hl=OFirL.=—

s12

9•（南通市）设X1、X2是关于X的方程X2-（k+2）+2k+1=0的两个实数根，且X12+X22=11.

（1）求k的值；