高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明114直接证明与间接证明学案理Word文件下载.docx
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D.a,b,c都是偶数
答案 B
解析 a,b,c中恰有一个偶数说明有且仅有一个是偶数,其否定有a,b,c均为奇数或a,b,c中至少有两个偶数.故选B.
(2)(选修A2-2P89T2)设a>
b>
0,m=-,n=,则m,n的大小关系是________.
答案 m<
n
解析 解法一:
(取特殊值法)取a=2,b=1,得m<
n.
解法二:
(作差法)由已知得m>
0,n>
0,则m2-n2=a+b-2-a+b=2b-2=2-2<
0,∴m2<
n2,∴m<
3.小题热身
(1)若a>
0,b>
0,且a+b=4,则下列不等式中恒成立的是( )
A.>
B.+≤1
C.≥2D.≤
答案 D
解析 ∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥(a+b)2=16.
∴a2+b2≥8,∴≤.故选D.
(2)设a,b是两个实数,给出下列条件:
①a+b>
2;
②a2+b2>
2.其中能推出:
“a,b中至少有一个大于1”的条件是________.(填序号)
答案 ①
解析 取a=-2,b=-1,则a2+b2>
2,从而②推不出.①能够推出,即若a+b>
2,则a,b中至少有一个大于1.
用反证法证明如下:
假设a≤1,且b≤1,则a+b≤2与a+b>
2矛盾.
因此假设不成立,所以a,b中至少有一个大于1.
题型1 分析法的应用
已知a>
0,证明:
-≥a+-2.
本题证明时需要用分析法,在推导过程中用到平方法.
证明 要证-≥a+-2,
只需证≥-(2-).
因为a>
0,所以-(2-)>
0,
所以只需证2≥2,
即2(2-)≥8-4,
只需证a+≥2.
0,a+≥2显然成立,所以要证的不等式成立.
方法技巧
1.分析法证明问题的策略
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想.
(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法证明这个中间结论,从而使原命题得证.
2.分析法的适用范围及证题关键
(1)适用范围
①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接.
②证明过程中所需要用的知识不太明确、具体.
③含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导.
(2)证题关键:
保证分析过程的每一步都是可逆的.
冲关针对训练
(xx·
天津期末)已知x>
y>
0,m>
0.用分析法证明:
(2-)≤1.
证明 要用分析法证明:
(2-)≤1,
只需2-()2≤1,
只需()2-2+1≥0,
即(-1)2≥0,
因为x,y>
0,且(-1)2≥0成立,
所以(2-)≤1.
题型2 综合法的应用
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(1)ab+bc+ca≤;
(2)++≥1.
证明
(1)由a2+b2≥2ab,
b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得
a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,
即ab+bc+ca≤.
当且仅当“a=b=c”时等号成立.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
当且仅当“a2=b2=c2”时等号成立,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
所以++≥1.
1.利用综合法证题的策略
用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围:
(1)定义明确的问题;
(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.
2.综合法证明问题的常见类型及方法
(1)与不等式有关的证明:
充分利用函数、方程、不等式间的关系,同时注意函数单调性、最值的应用,尤其注意导数思想的应用.见典例.
(2)与数列有关的证明:
充分利用等差、等比数列的定义通项及前n项和公式证明.
黄冈模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N).其中m为常数,且m≠-3.
(1)求证:
{an}是等比数列;
(2)若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn=f(bn-1)(n∈N,n≥2),求证:
为等差数列.
证明
(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得
(3-m)Sn+1+2man+1=m+3.
两式相减,得(3+m)an+1=2man,m≠-3,
∴=,∴{an}是等比数列.
(2)∵(3-m)Sn+2man=m+3,
∴(3-m)a1+2ma1=m+3,∴a1=1.
b1=a1=1,q=f(m)=,∴当n∈N且n≥2时,
bn=f(bn-1)=·
⇒bnbn-1+3bn=3bn-1⇒-=.
∴是首项为1,公差为的等差数列.
题型3 反证法的应用
直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:
+y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点.
(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;
(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:
四边形OABC不可能为菱形.
因菱形的对角线垂直且相互平分,所以由对角线的中点,求对角线的斜率,研究其是否垂直.
解
(1)因为四边形OABC为菱形,
AC与OB相互垂直平分.
可设A,代入椭圆方程得+=1,
即t=±
,所以|AC|=2.
(2)证明:
假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是W的顶点,且AC⊥OB,所以k≠0.
由消y并整理得
(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.
设A(x1,y1),C(x2,y2),则=-,
=k·
+m=.
AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点,且m≠0,k≠0,
所以直线OB的斜率为-.
因为k·
≠-1,所以AC与OB不垂直.
所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能为菱形.
反证法的适用范围
(1)否定性命题;
(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的;
(3)当命题成立非常明显,而要直接证明所用的理论太少,且不容易说明,而其逆否命题又是非常容易证明的;
(4)要讨论的情况很复杂,而反面情况很少.
济南质检)若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<
b),则称函数f(x)是[a,b]上的“四维光军”函数.
是否存在常数a,b(a>
-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数?
若存在,求出a,b的值;
若不存在,请说明理由.
解 假设函数h(x)=在区间[a,b](a>
-2)上是“四维光军”函数,因为h(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,
所以有即
解得a=b,这与已知矛盾.故不存在.
1.(xx·
山东高考)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要作的假设是( )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
答案 A
解析 因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要作的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.故选A.
2.(xx·
郑州模拟)设x>
0,P=2x+2-x,Q=(sinx+cosx)2,则( )
A.P>
QB.P<
QC.P≤QD.P≥Q
解析 因为2x+2-x≥2=2(当且仅当x=0时等号成立),而x>
0,所以P>
又(sinx+cosx)2=1+sin2x,而sin2x≤1,所以Q≤2.于是P>
Q.故选A.
3.(xx·
邹平期中)若a>
c,则使+≥恒成立的最大的正整数k为( )
A.2B.3C.4D.5
答案 C
解析 ∵a>
c,∴a-b>
0,b-c>
0,a-c>
0,且a-c=a-b+b-c.
又+=+=2++≥2+2=4,当且仅当a-b=b-c时等号成立.
∴k≤+,k≤4,故k的最大整数为4.故选C.
4.(xx·
海淀区二模)一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确,第五次输入密码正确,手机解锁,事后发现前四次输入的密码中,每次都有两个数字正确,但它们各自的位置均不正确.已知前四次输入密码分别为3406,1630,7364,6173,则正确的密码中一定含有数字( )
A.4,6B.3,6C.3,7D.1,7
解析 若正确的密码中一定含有数字3,6,而3,6在第1,2,3,4的位置都有,与它们各自的位置均不正确矛盾.同理正确的密码中一定含有数字4,6或3,7不正确.若正确的密码中一定含有数字1,7,而3,6在第1,2,3,4的位置都有,根据它们各自的位置均不正确,可得1在第三位置,7在第四位置.故选D.
[基础送分提速狂刷练]
一、选择题
无锡质检)已知m>
1,a=-,b=-,则以下结论正确的是( )
A.a>
bB.a<
b
C.a=bD.a,b大小不定
解析 ∵a=-=,b=-=.而+>
+>
0(m>
1),
∴<
,即a<
b.故选B.
2.设x,y,z>
0,则三个数+,+,+( )
A.都大于2B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2
解析 由于+++++=++≥2+2+2=6,
∴+,+,+中至少有一个不小于2.故选C.
3.若用分析法证明:
“设a>
c,且a+b+c=0,求证:
<
a”索的“因”应是( )
A.a-b>
0B.a-c>
C.(a-b)(a-c)>
0D.(a-b)(a-c)<
解析 <
a⇔b2-ac<
3a2⇔(a+c)2-ac<
3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a2<
0⇔-2a2+ac+c2<
0⇔2a2-ac-c2>
0⇔(a-c)(2a+c)>
0⇔(a-c)(a-b)>
0.故选C.
4.已知a>
0,如果不等式+≥恒成立,那么m的最大值等于( )
A.10B.9C.8D.7
0,∴2a+b>
0.
∴不等式可化为m≤(2a+b)=5+2.
∵5+2≥5+4=9,即其最小值为9
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