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开课系部:
数学与信息技术学院
先修课程:
数学分析,高等代数,解析几何
二、课程性质与教学目的
复变函数是数学、物理及电子类各专业必修的一门基础课,其理论随着它的应用领域不断扩大而发展成为一门庞大的数学分支。
一方面讲述复变函数的基本理论与方法,另一方面渗透复分析领域内的相关内容。
教学目的使学生掌握复变函数的基本内容和方法,为进一步学习复分析,从事工程和电子应用、科研及其它工作打好坚实基础。
三、课程教学基本要求
第一讲复数及其运算(2学时)
1、复数的基本概念和表示方法
内容:
复数相关的基本概念,复数的6种表示方法
要求:
理解复数的相关基本概念,会用复数的6种表示方法互相变换,会准确计算刘种表示方法中复数的实部、虚部、模、辐角等。
2、复数的运算
代数形式的四则运算,三角形式的乘除运算和幂运算,开方运算。
掌握复数的代数运算,理解复数的三角形式乘除运算,掌握三角形式的幂运算和开方运算。
3、复数的几何意义
复数的坐标表示和向量表示的运算,复数几何意义,复数乘除幂和开方的几何意义。
理解复数的几何表示和几何意义,掌握复数乘法除法的几何意义,会应用复数乘除的几何意义证明一些几何问题,了解复数幂和开方的几何意义。
第二讲复变函数的极限与连续(2学时)
1、复数列的极限
复数列极限的定义,复数列极限的充要条件,复数列极限的计算
理解复数极限的定义,掌握复数列极限的充要条件,会计算复数列的极限。
2、复变函数的定义和极限
复变函数的定义,复变函数的定义域和值域,复变函数的分类,复变函数的极限,复变函数极限与实二元函数二重极限关系,计算复变函数的极限。
理解复变函数的定义,理解复变函数定义域和值域的关系,了解复变函数的分类,理解复变函数极限的定义和充要条件,掌握复变函数极限与实二元函数二重极限关系,会计算复变函数的极限
3、复变函数的连续性
连续性的定义,复变函数连续的性质,复变函数连续的充要条件,初等函数连续性。
理解连续性的定义,掌握复变函数连续的性质,理解复变函数连续的充要条件。
掌握初等函数连续性。
第三讲复变函数的导数与微分(2学时)
1、复函数导数的定义
复函数导数的定义,复函数实部和虚部可导定义,导数的四则运算,导数的复合函数运算,导数的反函数运算,初等函数可导性
理解复函数导数的定义,掌握复函数实部和虚部的导数定义,掌握导数的四则运算,掌握导数的复合函数运算,理解导数的反函数运算,理解初等函数的可导性
2、复函数的微分
复变函数微分的定义,复变函数的可导、微分和连续的关系,复变函数导数和实二元函数导数的关系。
理解复变函数微分的定义,理解复变函数的可导、微分和连续的关系,理解复变函数导数和实二元函数导数的关系。
3、复函数可微分的条件
柯西黎曼方程,可微分的必要条件可微分的充要条件,可微分的必要条件
掌握柯西黎曼方程,理解可微分的必要条件,理解可微分的充要条件,理解可微分的必要条件。
第四讲解析函数(2学时)
1、解析函数
函数在一点的定义、函数在区域内解析的定义,函数在闭区域上解析的定义,解析和可导的关系,奇点的定义,解析函数的条件概括,判断函数的解析性。
深刻理解解析函数定义,会用解析函数的条件判断函数的解析性。
2、初等解析函数
指数函数定义,指数函数的性质、三角函数与双曲函数性质,三角函数和双曲函数的性质。
熟悉指数函数、三角函数与双曲函数的基本性质以及和实函数的区别,理解三类基本初等函数的映照性质。
3、初等多值函数
根式函数、对数函数、幂函数与反三角函数。
了解初等多值函数。
能将初等多值函数分解为若干个单值函数。
掌握对数函数的计算和反三角函数的计算。
第五讲复变函数的积分(2学时)
1、复变函数积分的概念
有向曲线的参数方程,复变函数积分的定义、复变函数在曲线上的积分和实二元函数的第二型曲线积分的关系。
理解并掌握复变函数积分的概念,掌握复变函数和实二元函数在曲线上积分的关系。
2、复变函数积分的计算
利用定义计算复变函数的积分,利用第二型曲线积分计算复变函数的积分,利用曲线的复参数方程计算复变函数的积分。
熟练掌握复变函数的积分计算并能灵活应用各种方法。
3、复变函数积分的性质
复变函数积分的基本性质,复变函数积分的估值
灵活运用复函数积分的基本性质,理解复变函数的估值性质。
第六、七讲柯西积分定理与柯西积分公式(4学时)
1、柯西积分定理
柯西积分定理、任意闭曲线上的柯西积分定理,解析函数的积分与路径无关性质,不定积分和原函数、牛顿-莱布尼茨公式,柯西积分定理的推广。
熟练掌握柯西积分定理,并能灵活应用,掌握柯西积分定理的推广形式,掌握不定积分和原函数的性质。
3、柯西积分公式及其推论
柯西积分公式、柯西积分的定义,平均值定理,解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、代数学基本定理,摩勒拉定理。
灵活运用柯西积分公式,深刻理解解析函数的无穷可微性,掌握柯西不等式与刘维尔定理,掌握代数学基本定理,掌握摩勒拉定理。
第八讲解析函数与调和函数关系(2学时)
1、调和函数的概念及其性质
调和函数的定义、调和函数的性质、调和函数的应用。
理解并掌握调和函数的定义和性质,了解调和函数的应用。
2、调和函数与解析函数的关系
解析函数实部虚部的调和性质,调和函数作为实部虚部构成的解析函数条件。
熟练掌握柯调和函数与解析函数的关系。
3、拉普拉斯方程的解答
拉普拉斯方程的定义,拉普拉斯方程的应用,拉普拉斯方程的复变函数解答。
理解并掌握拉普拉斯方程定义,了解拉普拉斯方程的应用,会求拉普拉斯方程的复变函数解法。
4、复数边界积分方程
特殊边界围成区域的拉普拉斯方程边界积分方程介绍。
了解复数边界积分方程的一般理论。
第九讲复势理论及其应用(2学时)
1、复变函数表示复势
复势的定义、向量和复数、解析函数实部和虚部与向量函数,平面向量场。
理解并掌握复势的定义,会用解析函数实部和虚部表示向量函数,熟悉平面向量场的解析函数表示法。
2、流体中的复势应用
不可压缩流体中的流速函数的解析函数表示,无源场解析函数表示,无旋场解析函数表示,既无源又无旋场解析函数表示,有源点场的解析函数表示,有涡点场的解析函数表示
熟练掌握流体中各种场的解析函数表示。
3、静电场中的复势应用
电场强度的向量表示,电场线和等势线,静电场的复势表示。
理解并掌握电场中的复势理论,会用解析函数表示静电场中的电场线和等势线。
第10讲复数项级数和复函数项级数(2学时)
1、复数项级数收敛的定义
复数项级数定义、复数项级数的收敛定义,复数项级数绝对收敛和条件收敛,复数项级数收敛的性质,复数项级数的求和,复数项级数和实数项级数的关系。
一致收敛的复函数项级数、解析函数项级数。
理解复数项级数定义和复数项级数的收敛定义,掌握复数项级数绝对收敛和条件收敛,掌握复数项级数收敛的性质,会计算复数项级数的求和,理解复数项级数和实数项级数的关系。
2、复函数项级数收敛和一致收敛的定义
复函数项级数定义,和函数定义,复函数项级数收敛和一致收敛的定义,复函数项级数一致收敛的柯西收敛准准和优级数判别法,内闭一致收敛定义
理解复函数项级数定义,和函数定义,理解复函数项级数收敛和一致收敛的定义,掌握复函数项级数一致收敛的柯西收敛准准和优级数判别法,理解内闭一致收敛定义。
3、解析函数项级数的导数性质
解析函数可导性质
掌握解析函数可导性质。
第11讲解析函数的幂级数展开(2学时)
1、幂级数
幂级数的定义,幂级数的敛散性、收敛半径R的求法、幂级数和的解析性判断。
掌握幂级数的收敛半径求法及其性质,判断幂级数和函数的解析性。
2、解析函数的泰勒(Taylor)展式
泰勒定理、幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况、一些初等函数的泰勒展式
要求:
掌握解析函数的泰勒展式,会求初等函数的泰勒展式。
第12讲解析函数的唯一性定理和零点孤立性(含最大模原理)(2学时)
1、解析函数零点的孤立性
解析函数零点的孤立性、解析函数零点的阶数判断,解析函数恒为零的判断条件
明确解析函数零点的孤立性,会判断解析函数零点的阶数,会证明解析函数恒为零的命题。
2、解析函数的唯一性定理
解析函数唯一性定理,解析函数唯一性定理的推论及其应用,解析函数局部和整体关系的分析。
掌握解析函数唯一性定理,会应用解析函数唯一性定理及其推论,了解解析函数局部和整体关系的分析
3、最大模原理
最大模原理,解析函数恒为常数的定理,反证法的应用最大模原理证明复变函数命题,最大模原理与实函数最大值的关系。
理解最大模原理,会用最大模原理证明解析函数恒为常数,会用反证法和最大模原理证明复变函数命题,了解最大模原理与实函数最大值的关系。
第十三讲解析函数在圆环上的洛朗级数展开(2学时)
1、解析函数的洛朗展式
双边幂级数、解析函数的洛朗展式、洛朗级数与泰勒级数的关系、解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式。
会求解析函数的洛朗展式,理解洛朗展式和泰勒展式的关系。
第十四讲孤立奇点分类(2学时)
1、解析函数的孤立奇点
孤立奇点的三种类型、可去奇点、施瓦茨(Schwarz)引理、极点、本性奇点、皮卡(Picard)定理。
切实掌握孤立奇点的三种类型及其判断方法和性质,了解皮卡(Picard)定理。
第十五讲无穷远点孤立奇点的性质与整函数(2学时)
1、解析函数在无穷远点的性质
解析函数在无穷远点的性质。
了解解析函数在无穷远点的性质,会判断无穷远点孤立奇点类型。
2、整函数与亚纯函数的概念
整函数、亚纯函数
了解整函数与亚纯函数的概念及其性质
第十六讲孤立奇点留数的定义与计算(2学时)
1、留数
留数的定义及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的留数
掌握留数定理及其留数求法,理解无穷远点留数和有限点留数的关系,理解留数和复变函数积分的关系。
第十七、十八讲用留数计算定积分和辐角原理(4学时)
1、用留数定理计算实积分
计算型积分、计算型积分、计算型积分、积分路径上有奇点的积分、应用多值函数的积分。
会用用留数定理计算实积分,了解积分路径上有奇点的积分和应用多值函数的积分。
2、辐角原理及其应用
对数留数、辐角原理、儒歇定理。
理解辐角原理,掌握儒歇定理。
第19讲共性映射定义、存在性和边界对应性质(2学时)
1、解析变换的特性
解析变换的保域性、解析变换的保角性---导数的几何意义、单叶解析变换的共形性。
掌握解析变换的特性,深刻理解导数的几何意义,明确共形映射的概念。
2、关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理
黎曼存在定理、边界对应定理。
了解黎曼存在定理和边界对应定理。
第二十讲分式线性变换的性质和特点(2学时)
1、分式线性变换
分式线性变换及其分解、分式线性变换的共形性、分式线性变换的保交比性。
掌握分式
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