人教版九年级数学上244《弧长和扇形面积2》名师教案.docx
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人教版九年级数学上244《弧长和扇形面积2》名师教案
24.4弧长和扇形面积(肖莲琴)
第二课时
一、教学目标
(一)学习目标
1.了解圆锥母线的概念,探索并理解圆锥侧面和全面积计算公式;
2.会灵活应用圆锥侧面积和全面积计算公式解决问题.
(二)学习重点
探究圆锥侧面积和全面积的计算公式.
(三)学习难点
应用圆锥侧面积和全面积计算公式解决问题
二、教学设计
(一)课前设计
1.预习任务
阅读教材P113~114,再填空:
(1)圆锥是由一个底面和一个侧面围成的;
(2)连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线;
(3)如图圆锥的侧面展开图的形状,圆锥的侧面展开图是一个扇形;
(4)如上图,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为,根据上节课学习的扇形面积公式(其中l表示扇形的弧长,R表示扇形半径)可知:
该圆锥的侧面展开图的面积是;
(5)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积,表示为:
2.预习自测
(1)圆锥的母线长为3cm,底面半径为1cm,则此圆锥的侧面积为________
【知识点】圆锥侧面积的计算
【思路点拨】已知母线长和底面半径,可以直接套用圆锥侧面积计算公式求得.
【解题过程】解:
∵母线l=3cm,底面半径r=1cm
∴由圆锥侧面积计算公式得:
=
【答案】
(2)已知圆锥的母线长是5cm,圆锥侧面积为,则这个圆锥的底面半径是________
【知识点】圆锥侧面积的计算的逆用
【思路点拨】已知圆锥的母线、圆锥侧面积,可以逆用圆锥侧面积的计算公式求得圆锥底面半径,实际上圆锥母线、圆锥底面半径、圆锥侧面积三者中可以“知二求一”.
【解题过程】解:
∵母线长l=5cm,圆锥侧面积
∴圆锥侧面积计算公式:
解得:
∴底面半径为3cm
【答案】3cm
(3)圆锥的底面直径是80cm,母线长90cm,则该圆锥的全面积是________
【知识点】圆锥全面积的计算
【思路点拨】已知底面直径(半径)、母线长,可以直接套用圆锥全面积的计算公式求得圆锥全面积.
【解题过程】解:
∵底面直径是80cm,
∴底面半径是40cm
又∵母线长90cm
∴由圆锥全面积计算公式:
【答案】
(4)圆锥的底面半径为6cm,高为8cm,那么这个圆锥的全面积是_______
【知识点】圆锥全面积的计算、勾股定理
【思路点拨】本题由于母线长度未知,所以先要根据勾股定理求出母线长度,再直接套用圆锥全面积的计算公式求得圆锥全面积.
【解题过程】解:
∵底面半径为6cm,高为8cm
∴由勾股定理,圆锥的母线长为:
∴根据圆锥全面积计算公式:
【答案】
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)弧长计算公式和扇形面积计算公式回顾
师问:
上节课我们学习了弧长计算公式和扇形面积计算公式,你们还记得它们是怎样的吗?
生答:
弧长l==,(其中n表示弧所对的圆心角的度数,R表示弧所在圆的半径)
生答:
扇形面积S=,(其中n表示扇形圆心角的度数,R表示扇形所在圆的半径)
(2)圆锥的再认识
(教师出示一组生活中含圆锥形物体的图片)
师问:
上面的物体中,有你熟悉的立体图形吗?
生答:
圆锥体
师问:
非常好,它们都含有圆锥体(如下图),那么什么是圆锥体呢?
生答:
圆锥是由一个底面和一个侧面组成的,它的底面是一个圆,它的侧面是一个曲面.
师问:
我们将圆锥顶点和底面圆周上任意一点连接的线段称作圆锥的母线,那么一个圆锥有多少条母线呢?
它们在数量上有什么关系?
生答:
有无数条,它们是相等的.
师问:
为什么是相等的呢?
生答:
由勾股定理,每条母线l=,h表示圆锥的高,r表示底面半径,对于同一个圆锥体,h和r的长是固定的,因此母线的长也是固定的.
师:
非常好!
我们不仅知道母线长度是相同的,而且还了解了有关母线的一条非常重要的性质:
母线l、圆锥高h、底面半径r之间满足:
l
【设计意图】本节课探究的圆锥的侧面积和全面积,因此有必要重新认识圆锥,另外,本节课必须使用到上节课学习的弧长计算公式和扇形面积计算公式,因此也有必要回顾这两个公式,为本节课教学内容顺利进行做铺垫.
2.问题探究
探究一圆锥的侧面积和全面积计算公式(★)
●活动①创设情景,感受新知
如图,玩具厂生产一种圣诞老人的帽子,其帽身是圆锥形,母线SB=15cm,底面半径OB=5cm,要生产这种帽身10000个,你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗?
师问:
要想算出所需材料的数量,我们先要想想:
组成帽子的是圆锥体的那个部分?
生答:
圆锥体的侧面.
师问:
由于圆锥的侧面是一个曲面,我们不太方便计算其面积,有没有办法将其转化为平面图形呢?
生答:
沿着圆锥的一条母线,将圆锥侧面剪开并展平,就会得到一个扇形.
师问:
非常好!
要想求出所需材料的数量,我们只需要求出这个扇形的面积就可以了,这个问题和我们上节课学习的扇形面积的计算一样了.但是求这个扇形的面积需要哪些条件呢?
它们是已知的吗?
生1答:
需要知道扇形半径、圆心角度数,其中扇形半径就是圆锥的母线,是已知的,但圆心角度数是未知的;
生2答:
也可以通过扇形弧长和扇形半径来求,其中扇形半径就是圆锥的母线,是已知的,扇形弧长其实就是圆锥底面圆的周长,是可以求出来的,因此也相当于是已知的.
●活动②小组合作,探究新知
师:
大家分析得非常好,接下来请大家以小组为单位,完成下列问题串:
如图,沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平,容易得到,圆锥的侧面展开图是一个扇形,
(1)设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,如图所示,那么这个扇形的半径为________;
(2)扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的,所以扇形弧长为________;
(3)因此圆锥的侧面积为________,圆锥的全面积为________
(学生先独立思考,再小组合作完成,并展示)
归纳:
①如上图,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为,根据上节课学习的扇形面积公式(其中l表示扇形的弧长,R表示扇形半径)可知:
该圆锥的侧面展开图的面积是;
②圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积,表示为:
③通过上面两个公式,我们可以看到,只要知道母线、底面半径就可以求圆锥的侧面积的全面积.
探究二应用圆锥侧面积计算公式和全面积计算公式解决问题(▲)
●活动①基础性例题
例1已知圆锥的底面半径为3,母线为4,则它的侧面积是_______,全面积是________.
【知识点】圆锥侧面积的计算
【解题过程】解:
∵母线l=4,底面半径r=3
∴由圆锥侧面积计算公式得:
=
由圆锥全面积计算公式得:
=
【思路点拨】已知底面半径和母线长,可以直接套用圆锥侧面积和全面积计算公式求得.
【答案】
练习已知圆锥的底面半径为4,母线为8,则它的侧面积是_______,全面积是_________.
【知识点】圆锥侧面积的计算
【解题过程】解:
∵母线l=8,底面半径r=4
∴由圆锥侧面积计算公式得:
=
由圆锥全面积计算公式得:
=
【思路点拨】已知底面半径和母线长,可以直接套用圆锥侧面积和全面积计算公式求得.
【答案】
例2已知圆锥的底面半径为3,高为4,则它的侧面积是_______,全面积是_______.
【知识点】圆锥侧面积的计算
【解题过程】解:
∵底面半径为3,高为4,
∴由勾股定理,母线=5
∴由圆锥侧面积计算公式得:
=
由圆锥全面积计算公式得:
=
【思路点拨】本题求圆锥的侧面积和全面积时,并没有直接告诉圆锥的母线,需要先用勾股定理求出圆锥的母线.
【答案】,
练习如图,在中,,,将绕所在的直线旋转一周得到一个旋转体,则该旋转体的侧面积为()
A.B.C.D.
【知识点】旋转、勾股定理、圆锥侧面积
【数学思想】数形结合
【解题过程】解:
将绕所在的直线旋转一周得到的是一个圆锥体
∴由勾股定理,AB=10
∴由圆锥侧面积计算公式得:
=
故选D.
【思路点拨】本题求圆锥的侧面积时,并没有直接告诉圆锥的母线,需要先用勾股定理求出母线的长度.
【设计意图】本节课的重点和难点内容之一就是圆锥侧面积和全面积计算公式理解和应用,因此本环节用例1和例2及变式练习,使学生熟练掌握圆锥侧面积和全面积计算公式最基本的应用,为接下来生活实际应用问题做铺垫.
●活动②提升型例题
例1已知圆锥的母线长是5cm,侧面积是cm²,则这个圆锥的底面半径是________.
【知识点】圆锥侧面积计算公式的逆用
【思路点拨】已知圆锥的母线、圆锥侧面积,可以逆用圆锥侧面积的计算公式求得圆锥底面半径,实际上圆锥母线、圆锥底面半径、圆锥侧面积三者中可以“知二求一”.
【解题过程】解:
∵母线长l=5cm,圆锥侧面积
∴圆锥侧面积计算公式:
解得:
∴底面半径为4cm
【答案】4cm
练习用直径为80cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计接缝部分),则该圆锥的底面半径是________.
【知识点】扇形面积的计算、圆锥侧面积计算公式的逆用
【解题过程】解:
∵围成圆锥侧面的半圆形的直径为80cm
∴圆锥的侧面积为
而圆锥侧面积=
解得:
∴该圆锥的底面半径是20cm
【思路点拨】圆锥侧面积是一个扇形,因此它的面积还可以用扇形的另一个计算公式计算,用两种计算方式可以得到一个等量关系.
【答案】20cm
例2圆锥的底面半径是4,母线长是12,则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______.
【知识点】圆锥侧面积的计算,扇形面积的计算
【解题过程】解法一:
∵圆锥的底面半径是4,母线长是12
∴圆锥侧面积=
设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n
所以展开图的面积还可以表示为:
∴=解得:
n=120
∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°.
解法二:
∵圆锥的底面半径是4
∴底面周长=
设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n
∵圆锥的母线长是12
∴侧面展开图的弧长=
∴=解得:
n=120
∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°.
【思路点拨】圆锥侧面展开图的面积一方面可以通过母线和底面半径来求,即;另一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求,即,这样就得到=,解这个方程即可得到圆锥侧面展开图的圆心角,其中r表示圆锥底面半径,l表示圆锥母线.还可以根据圆锥侧面展开图的弧长来建立等量关系,一方面圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长;另一方面圆锥侧面展开图的弧长等于,这样就得到=,同样可以得到圆锥侧面展开图的圆心角.
【答案】120°
练习用半径为30cm,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面,则该圆锥的底面半径是_______.
【知识点】圆锥侧面积的计算,扇形面积的计算
解法一:
∵扇形的半径为30cm,圆心角为120°
∴扇形面积=
设底面半径为r
由题意,圆锥的母线为30cm
∴圆锥的侧面积=
∴解得:
∴该圆锥的底面半径是10cm.
解法二:
∵扇形的半径为30cm,圆心角为120°
∴扇形弧长=
设底面半径为r
∴底面圆的周长为
∴=解得:
∴该圆锥的底面半径是10cm.
【思路点拨】本题可以根据圆锥侧面积的两种不同方法来建立方程:
一方面可以通过母线和底面半径来求,即;一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求,即.还可以根据圆锥底面圆周长的两种不同方法来建立方程:
一方面可以通过底面半径来求,即;一方面也可以通过扇形的弧长计算公式来求,即.
【答案】10cm
【设计意图】例1及变式练习通过圆锥侧面积公式的逆用,帮助学生进一步熟练圆锥侧面积和全面积计算公式.例2及变式练习综合了扇形面积的计算公式、弧长的计算公式:
由于圆锥的侧面积是扇形,因此它的面积由两种求法:
一是通过母线和底面半
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