21版高考数学人教A版浙江专用大一轮复习 47 应 用 举 例Word格式文档下载.docx
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,若此小船不改变航行的方向继续前行2(-1)海里,则离小岛C的距离为( )
世纪金榜导学号
A.8(+2)海里 B.2(-1)海里
C.2(+1)海里D.4(+1)海里
【解析】1.选C.记气球在地面的投影为D,在Rt△ABD中,cos15°
=,又
cos15°
=cos(60°
-45°
)=,所以AB=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以BC==AB=120(-1)(m).
2.选A.画出图形如图所示,在△ABC中,∠BAC=30°
AC=4×
15=60,∠B=
45°
由正弦定理得=,
所以BC===60,
所以船与灯塔的距离为60km.
3.选A.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·
BCcosB,即AC2=25+64-2×
5×
8cosB=89-80cosB.在△ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·
DCcosD,即AC2=25+9-2×
3cosD=34-30cosD.因为∠B与∠D互补,
所以cosB=-cosD,
所以-=,解得AC=7(km).
4.选C.BC===4
所以离小岛C的距离为
=
=2(+1)(海里).
距离问题的常见类型及解法
(1)类型:
测量距离问题常分为三种类型:
山两侧、河两岸、河对岸.
(2)解法:
选择合适的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.
秒杀绝招
直角三角形解T1,记气球在地面的投影为D,在Rt△ACD中,tan60°
=,所以CD=60,在Rt△ABD中,因为tan15°
=,tan15°
=tan(60°
)=
=2-,所以BD=120-60,所以BC=CD-BD=120(-1)(m).
考点二 测量高度问题
【典例】1.一架直升飞机在200m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°
和60°
则塔高为( )
A.m B.m
C.mD.m
2.如图,在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________;
塔BB1的高为________m.世纪金榜导学号
【解题导思】
序号
联想解题
1
由“测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°
”,想到作图,建立数学模型
2
由“60m”“从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍”“从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角”,想到△A1AC∽△CBB1
【解析】1.选A.如图所示.
在Rt△ACD中,CD==BE,
在△ABE中,由正弦定理得=,所以AB=,DE=BC=200-=(m).
2.设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α,则AA1=60tanαm,BB1=
60tan2αm.因为从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,所以△A1AC∽△CBB1,所以=,所以AA1·
BB1=900,所以3600tanαtan2α=900,所以tanα=(负值舍去),所以tan2α=,BB1=60tan2α=45(m).
答案:
45
求解高度问题的关注点
1.在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键.
2.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.
1.某工厂实施煤改电工程防治雾霾,欲拆除高为AB的烟囱,测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=75°
∠BDC=60°
CD=40米,并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°
且CE=1米,则烟囱高AB=________米.
【解析】∠CBD=180°
-∠BCD-∠BDC=45°
在△CBD中,由正弦定理得BC==20,所以AB=1+tan30°
·
CB=1+
20(米).
(1+20)
2.在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡角为15°
的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°
和30°
且第一排和最后一排的距离为10m,则旗杆的高度为________m.
【解析】如图,设旗杆高为hm,最后一排为点A,第一排为点B,旗杆顶端为点C,则BC==h.
在△ABC中,AB=10m,∠CAB=45°
∠ABC=105°
所以∠ACB=30°
由正弦定理得=,故h=30.
30
考点三 测量角度问题
命
题
精
解
读
考什么:
航行方向问题,航行时间、速度问题等等.
怎么考:
考查运用正弦定理、余弦定理解决航向,时间,速度等实际问题.
新趋势:
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题.
学
霸
好
方
法
1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时可以画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样将空间几何问题转化为平面几何问题,处理起来既清楚又不容易出现错误.
方向问题
【典例】如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°
灯塔B在观察站南偏东60°
则灯塔A在灯塔B的世纪金榜导学号( )
A.北偏东10°
B.北偏西10°
C.南偏东80°
D.南偏西80°
【解析】选D.由条件及题干图知,∠CAB=∠CBA=40°
又∠BCD=60°
所以∠CBD=
30°
所以∠DBA=10°
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°
.
解决测量角度问题时有哪些注意事项?
提示:
1.测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义.
2.求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值.
3.在解应用题时,要由已知正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理使用的优点.
时间、速度问题
【典例】如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°
方向600kmA处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为世纪金榜导学号( )
A.14h B.15h C.16h D.17h
【解析】选B.记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达点B位置,在△OAB中,OA=600km,AB=20tkm,∠OAB=45°
由余弦定理得OB2=
6002+400t2-2×
20t×
600×
令OB2≤4502,即4t2-120t+1575≤0,解得≤t≤,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为-
=15(h).
如何求解码头将受到热带风暴影响的时间?
已知热带风暴速度,所以将时间问题转化为路程问题,即求出码头受到热带风暴影响时的风暴路线长度.运用解三角形知识求解即可.
1.如图所示,已知两座花坛A和B与教学楼C的距离相等,花坛A在教学楼C的北偏东40°
的方向上,花坛B在教学楼C的南偏东60°
的方向上,则花坛A在花坛B的________的方向上.
【解析】由已知,∠ABC=(180°
-80°
)=50°
所以花坛A在花坛B的北偏西10°
的方向上.
北偏西10°
2.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°
风速是20km/h;
水的流向是正东,流速是20km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________,大小为________km/h.
【解析】如图
∠AOB=60°
由余弦定理知OC2=202+202-800cos120°
=1200,故OC=20,
∠COY=30°
+30°
=60°
60°
20
如图,在海岸A处发现北偏东45°
方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°
方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°
方向逃窜.问:
缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?
并求出所需时间.
【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,则CD=10t海里,BD=10t海里,在△ABC中,由余弦定理得,
BC2=AB2+AC2-2AB·
AC·
cos∠BAC=(-1)2+22-2(-1)×
2×
cos120°
=6,解得BC=,
又因为=,
所以sin∠ABC===,
所以∠ABC=45°
B点在C点的正东方向上,
所以∠CBD=90°
=120°
在△BCD中,由正弦定理,得=,
所以sin∠BCD===.
所以∠BCD=30°
缉私船沿北偏东60°
的方向行驶.
又在△BCD中,∠CBD=120°
∠BCD=30°
所以∠D=30°
所以BD=BC,即10t=,
解得t=(小时)≈15(分钟).
所以缉私船应沿北偏东60°
的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.
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