第四章答案概率论与数理统计试题答案讲课稿Word格式文档下载.docx
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1x>1
则:
E(X)=()
(a)x4dx(b)3x3dx
(c)x4dx+xdx(d)3x3dx
b
因为
2.设X为随机变量,则E(3X-5)=
(a)3E(X)+5(b)9E(X)-5(c)3E(X)-5(d)3E(X)
c
3.设随机变量X~B(n,0.3),则DX满足()
(a)DX>EX2(b)DX<EX2
(c)DX=EX2(d)DX=0
4.设随机变量X的密度函数为
20<x<
f(x)=
0其他
则E(2X2+1)=()
(a)0(b)(c)2(d)
三、计算题
1.罐中有5颗围棋子,2颗白子,3颗黑子,如果有放回地每次任取一子,共取3次,则3次中取到的白子次数是一个离散型随机变量,试写出这个随机变量的概率函数,并计算它的期望
解:
设X表示取到的白子次数,X的概率函数为:
X~B(3,)
EX=np=3×
==1.2DX=npq=3×
×
==0.72
2.设随机变量X的概率分布为如下表所示
X-2012
P
求①E(X)②E(2X2+1)
(1)E(X)=-
(2)E(2X2+1)=
3.设连续型随机变量X的概率密度为:
f(x)=0<x<
0其它
已知P(X>1)=,试确定常数θ的值,并计算E(X)。
所以θ=2,
EX=1.5;
4.二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为:
x+y0≤x≤10≤y≤1
f(x,y)=
0其他
求E(X)
E(X)
习题4-2方差
1.设连续型随机变量X的概率密度为:
f(x)=(-∞<x<+∞)
则X的数学期望E(X)=,方差D(X)=
EX=1,DX=
2.设X为一随机变量,若E(X)=1,D()=1,则E(X-1)2=。
4
3.设随机变量X的期望为u,均方差δ>0,则当a=,b=时,E(a+bX)=0,D(a+bX)=1
a=±
,b=±
4.设连续型随机变量X的概率密度为:
ax+b0≤x≤1
且D(X)=,则a=b=E(X)=
a=2or-2,b=2orb=0EX=or
5.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量
1X>0
Y=0X=0
-1X<0
则方差D(Y)=_________
1.设随机变量X的期望EX存在,且EX=a,EX2=b,c为一常数,则D(cX)=()
(a)c(a-b2)(b)c(b-a2)(c)c2(b-a2)(d)c2(a-b2)
2.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为6和3,则随机变量2X-3Y的方差是()
(a)51(b)21(c)-3(d)36
a
1.对上节计算题的第一小题中的随机变量,计算其方差。
2.某公共汽车站每隔10分钟有一辆车经过,某一乘客到车站的时间是任意的,该乘客的候车时间(单位:
分钟)是一个随机变量X,已知X的概率密度为:
0<x<10
求X的数学期望与均方差
因为是均匀分布,故EX=5
DX=
2(1-x)0<x<1
求Y1=X3及Y2=e-X的期望与方差。
解EY1==0.1,
故DY1=0.026,
EY2==0.736,
故DY2=0.026
4.证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4。
随机变量X是0-1分布
习题4-3协方差与相关系数
1.设X、Y是两个随机变量,已知EX=2,EX2=20,EY=3,EY2=34,XY=0.5则E(3X+2Y)=,D(3X+2Y)=
E(3X+2Y)=12D(3X+2Y)=364
2.若随机变量X与Y相互独立,则一定有XY=。
XY=0
1.如果随机变量X与Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则下列式子正确的是()
(a)X与Y相互独立(b)X与Y不相关
(c)DY=0(d)DX·
DY=0
2.若随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)>0,则XY满足()
(a)XY<0(b)XY>0(c)XY≥0(d)XY=0
3.对任意随机变量X、Y,有D(X+Y)=()
(a)D(X)+D(Y)(b)DX+DY-2Cov(X,Y)
(c)D(X)+DY+2Cov(X,Y)(d)DX+DY+Cov(X、Y)
三、计算题
1.设随机变量(X,Y)只能取(-1,0),(-1,1)和(0,1)三组数,且取这三组数的概率分别为、和,计算X、Y的相关系数,并问X、Y是否不相关?
是否独立?
X
Y
-1
1/2
1
1/3
1/6
5/6
XY==
即X,Y相关,所以X、Y不独立
2.设(X、Y)的联合概率密度为:
0≤x≤10≤y≤2
f(x,y)=
求X、Y的期望与方差,协方差与相关系数。
EX==0.56
DX=0.080
EY=1.22
DY=0.284
Cov(X、Y)=-0.012
XY≈-0.08
3.设随机变量Y服从区间[0,2π]上的均匀分布。
令X1=sinY,X2=cosY,求XX
习题4-4大数定律与中心极限定理
1.星期一上午来到某画展陈列室的顾客人数是一个随机变量,其分布未知。
已知(人),(人),试用车贝谢夫不等式估计顾客数在8到28人之间的概率是多少?
2.设是相互独立的随机变量,且都服从参数的泊松分布,记,试用中心极限定理求.
3.已知某品种小麦麦穗粒数的数学期望是20,标准差是15,求在该品种100个麦穗中,麦粒总数在1800到2200粒之间的概率.
4.每次投篮命中率为0.4,求600次投篮中命中次数大于250次的概率.
5.一食品厂有三种蛋糕出售,由于售出哪一种蛋糕是随机的,因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量,它取1,1.2,1.5(元)各个值的概率分别为0.3,0.2,0.5。
某天售出300只蛋糕。
1)求这天的收入至少400元的概率;
2)求这天售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。
(1)
1.2
1.5
P
0.3
0.2
0.5
(2)
6.某大型商场每天接待顾客10000人,设每位顾客的消费额(元)服从均匀分布,且顾客的消费额是相互独立的。
试求1)该商场的日消费额(元)与平均日消费额之差的绝对值不超过2万(元)的概率;
2)如果以95%的概率保证该商场的日消费额在400万元以上,那么光顾该商场的顾客数至少为多少?
故
第四章复习题
1.已知离散型随机变量X的概率函数为:
X
-2
-1
P(X=xk)
则E(X)E()
EX=-EX2=
2.对球直径作测量,设其直径X服从[a,b]上的均匀分布,则球的体积Y的数学期望E(Y)=。
EY=(+b)(2+b2)
3.已知X服从均匀分布,密度函数为:
0<x<2π
0其他;
则E(sinX)=
4.若有D(X)=25,D(Y)=36,XY=0.4,则D(X+Y)=,D(X-Y)=。
85,37
1.设随机变量X的期望EX为一非负值,且E(-1)=2,D(-1)=,则EX=()。
(a)2(b)1(c)0(d)
2.设随机变量X的期望EX,方差DX及EX2都存在,则一定有()
(a)EX>0(b)EX2>EX(c)(EX)2≥EX2(d)DX≥0
d
3.若随机变量X的期望EX存在,则E[E(EX)]=()
(a)0(b)X(c)EX(d)3EX
4.设X为一随机变量,若D(10X)=10,则DX=()
(a)(b)1(c)10(d)100
5.对任意随机变量X、Y,有E(XY)=()
(a)EX·
EY(b)EX·
EY+Cov(X,Y)
(c)EX·
EY-Cov(X,Y)(d)EX·
EY-2Cov(X,Y)
6.设X、Y为随机变量,则Cov(3X、2Y)=()
(a)Cov3X+Cov2Y(b)Cov3X-Cov2Y
(c)36Cov(X,Y)(d)6Cov(X,Y)
1.设随机变量X的概率密度为
ax2+bx+c0<x<10
f(x)=
0其它
已知EX=0.5DX=0.15求a、b、c的值
解因为
解之得.
2.某保险公司设置某一险种,规定每一保单有效期为一年,有效理赔一次,每个保单收取保费500元,理赔额为10000元,据估计每个保单索赔概率为0.05,设公司共卖出这种保单800个,求该公司在该险种上获得的期望利润。
解:
设随机变量
一年索赔的保险单数
公司在该险种上获得的利润
公司在该险种上获得的平均利润
(元)
3.一个螺丝钉的重量是随机变量,期望值为10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少(假设每个螺丝钉的重量都不受其他螺丝钉重量的影响)?
4.一批零件中有9个合格品与3个废品,在安装机器时,从这批零件中任取1个,如果取出的是废品就不再放回去。
求在取得合格品以前,已经取出的废品数的数学期望和方差。
3
3/4
9/44
9/220
1/220
5.设随机变量X的分布函数为
0x<-1
F(x)=a+barc(sinx)-1≤x<1
1x≥1
试确定常数a,b,并求EX及DX。
a=,b=,
EX=0,DX=
6.证明对于任何常数c,随机变量X有DX=E(X-c)2-(EX-c)2
证明:
7.设随机变量X服从参数λ=1的泊松分布,Y~b(
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