概率论与数理统计习题二答案Word文件下载.docx
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35
(2)当x<
0时,F(x)=P(XWx)=0
当0wx<
1时,
22F(x)=P(Xwx)=P(X=0)=——
34
当1wx<
2时,
F(x)=P(Xwx)=P(X=0)+P(X=1)=—
当x>
2时,F故X的分布函数
(X)=P(XWx)=1
0,
F(x)
35,
35,
1,
3.
2)
F(
122
-)亍
235
P(1
|)
F(|)
F
(1)竿
1)P(1X
F
(2)
F
(1)P(X
射手向目标独立地进行了
3次射击,
每次击中率为,
律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.
【解】
.341C
1——一0.
3535
求3次射击中击中目标的次数的分布
设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.
P(X0)(0.2)30.008
1)
C30.8(0.2)0.096c3(0.8)20.20.384(0.8)30.512
4.
(1)设随机变量X的分布律为
k
P[X=k}=a—,k!
a.
其中k=0,1,2,…,入>0为常数,试确定常数
(2)设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N,
k=1,
2,…,N,
试确定常数a.
(1)由分布律的性质知
(2)由分布律的性质知
N
k)—a
k1N
a1.
,今各投3次,求:
即
5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为
(1)两人投中次数相等的概率;
(2)甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X〜b(3,),Y〜b3,
222233
C3(0.6)0.4C3(0.7)0.3(0.6)(0.7)
0.32076
⑵P(XY)P(X1,Y0)P(X2,Y0)P(X
3,Y
0)
P(X2,Y1)P(X3,Y1)P(X
C;
0.6(0.4)2(0.3)3c3(0.6)20.4(0.3)3
(0.6)3(0.3)3c2(0.6)20.4C;
0.7(0.3)2
312322
(0.6)C30.7(0.3)(0.6)C3(0.7)0.3
6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为,且设各飞机
降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b(200,,设机场需配备N条跑道,则有
P(XN)0.01
200
Ck00(0.02)k(0.98)200k0.01
利用泊松近似
np2000.024.
查表得NA9.故机场至少应配备
7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为,在
某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松
定理)
【解】设X表示出事故的次数,则X~b(1000,)
Cd0.1
0.1e
X满足
P,则
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数
【解】设在每次试验中成功的概率为
P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}.
所以
c5p(1p)4
22
C5P(1
P(X4)
P)3
3c5
(1)42
5W3
A发生不少于3次时,进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;
进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率.
(1)设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X~6(5,)
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为,当
(1)
(2)
10
243.
指示灯发出信号,
k0.16308
5kk5
P(X3)C5(0.3)(0.7)
k3
k0.35293
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(
分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).
(1)求某一天中午12时至下午
(2)求某一天中午12时至下午
e2
3时没收到呼救的概率;
5时至少收到
1次呼救的概率.
1/2)t的泊松
(1)P(X0)
1)1P(X0)1
kk
11.设P{X=k}=C2pk(1
\2k
p)
k=0,1,2
P{Y=m=cmpm(1p)4m
m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X,
Y的概率分布,如果已知
P{X>
1}=-,试求RY》1}.
9
【解】因为P(X
5,故P(X1)4
99
P(X1)
P(X0)
(1p)2
故得
(1
P)2
9,
从而
P(Y1)1P(Y0)1
P)4
—0.8024781
2000册,因装订等原因造成错误的概率为,试求在这2000册书中恰有
12.某教科书出版了
5册错误的概率
【解】令X为2000册书中错误的册数,则X~b(2000,.利用泊松近似计算,
np20000.0012
P(X5)虫0.0018
5!
13.进行某种试验,成功的概率为
次数,试写出X的分布律,
,
并计算
失败的概率为一.以X表示试验首次成功所需试验的
X取偶数的概率.
【解】X1,2,L,k,L
k)
(1)k
13
2)P(X
LP(X2k)L
13
1g3
133
(1)33
L(亍弋L
4
41(4)2
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险的概率为,每个参加保险的人在公司领取2000元赔偿金.求:
【解】以
.在一年中每个人死亡
1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险
保险公司亏本的概率;
保险公司获利分别不少于
“年”为单位来考虑.
在1月1日,保险公司总收入为
10000元、20000元的概率.
设1年中死亡人数为X,则X~b(2500,
2500X12=30000元.
,则所求概率为
P(2000X30000)
P(X15)1P(X14)
由于n很大,p很小,入=np=5,故用泊松近似,有
15)1
14c5_k
e5
0.000069
k0k!
(2)R保险公司获利不少于
10000)
P(300002000X
P(X10)
0.986305
即保险公司获利不少于
10000元的概率在98%X上
P(保险公司获利不少于
20000)P(300002000X20000)P(X5)
5e55k
0.615961k0k!
20000元的概率约为
15.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae|x|
求:
(1)A值;
(2)P{0vXv1};
(3)
F(x).
62%
OOVxV+8,
f(x)dx1得
Ae
Ixdx
20
Aexdx2A
p(0X1)1
xdx
2.
1(1
e1)
当x<
0时,F(x)
X1X人1
-edx-e22
当x>
x1e|x|dx
1x
1一e
1x-e
dx
1x
2e'
-e
16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,
嘤x100,
x
x100.在开始150小时内没有电子管损坏的概率;
在这段时间内有一只电子管损坏的概率;
F(x).
电子管使用寿命
X的密度函数为
f(x)=
P(X150)
150100
—^dx
100x2
Pi[P(X
150)]3
8
27
⑶当x<
100时F(x)=0
⑵P2c33(|)2
当x>
100时F(X)
100
f(t)dt
100gdt
x100dt
100t
F(x)1
x100
X表示这质点的坐标,设这质点落在[0,a:
中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求
【解】由题意知X~U[0,a],密度函数为
17.在区间[0,a:
上任意投掷一个质点,以
X的分布函数.
故当x<
0时F(x)=0
f(t)dt
a
其他
Pdt
0a
a时,F(x)=1
即分布函数
18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布值大于3的概率.
【解】X~U[2,5],即
.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测
f(x)
3,12x5
5ldx
33
故所求概率为
—e
105
5dx
Y-b(5,e),即其分布律为
20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走
.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间服从N(40,102);
第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42).
(1)若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些
(2)又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些【解】
(1)若走第一条路,X〜N(40,102),则
6040
(2)0.97727
若走第二条路,X〜N(50,
42*),则
P(X60)P
X50
6050
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