届河北省沧州市高三普通高等学校招生全国统一模拟考试数学理试题解析版Word格式.docx
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由复数模的运算法则可得:
.
本题选择A选项.
本题主要考查复数的模的运算法则及其应用,属于基础题.
3.随着时代的发展,移动通讯技术的进步,各种智能手机不断更新换代,给人们的生活带来了巨大的便利,但与此同时,长时间低头看手机,对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害,“低头族”由此而来.为了了解某群体中“低头族”的比例,现从该群体包括老、中、青三个年龄段的人中采取分层抽样的方法抽取人进行调查,已知这人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示,则这个群体里老年人人数为()
【解析】由题意可知老年人所占的比例为,据此求解老年人的人数即可.
由题意结合分层抽样的定义可知,
这个群体里老年人人数为.
本题主要考查统计图表的识别与应用,属于基础题.
4.已知直线和平面,则是与异面的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】由题意,若直线b不在平面内,则b与相交或,充分性不成立,反之,若与异面,一定有直线b不在平面内,据此即可得到正确的结论.
由题意,若直线b不在平面内,则b与相交或,不一定有与异面,
反之,若与异面,一定有直线b不在平面内,即是与异面的必要不充分条件.
本题主要考查线面关系有关命题及其应用,充分必要条件的判定等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5.若变量满足则使取得最小值的最优解为()
【答案】C
【解析】首先绘制不等式组表示的平面区域如图所示,然后结合目标函数的几何意义确定使取得最小值的最优解即可
绘制不等式组表示的平面区域如图所示,
目标函数即:
,其中z取得最小值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小,
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值,
联立直线方程:
,可得点的坐标为:
本题选择C选项.
求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;
当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.
6.在中,为的重心.若,则()
【答案】D
【解析】由题意可得:
,据此确定的值,然后求解的值即可.
由题意可得:
,.
本题选择D选项.
本题主要考查平面向量基本定理及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.已知函数,且满足,把的图像上各点向左平移个单位长度得到函数,则的一条对称轴为()
【解析】由题意可得函数的最小正周期为,结合最小正周期公式可得,据此可得函数的解析式为,结合正弦函数的性质和所给的选项确定函数的一条对称轴即可.
由可得,
则函数的最小正周期为,即,
故函数的解析式为,
函数的解析式为,
函数的对称轴满足:
,即,
令,,,,
只有方程存在整数解,
故函数的一条对称轴为.
本题主要考查三角函数解析式的求解,三角函数的对称轴的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.已知函数,且满足,则的取值范围为()
A.或B.
【解析】由函数的解析式易知函数为偶函数,且函数在区间上单调递减,据此脱去f符号求解不等式的解集即可.
由函数的解析式易知函数为偶函数,
且当时,,故函数在区间上单调递减,
结合函数为偶函数可知不等式即,
结合偶函数的单调性可得不等式,
求解绝对值不等式可得的取值范围为.
对于求值或范围的问题,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性,再利用其单调性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题,若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).
9.为双曲线的左焦点,圆与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于两点,若,则双曲线的离心率为()
【解析】不妨设,其中,由斜率公式可得,由直线垂直的充分必要条件可知:
,据此可得,然后结合双曲线的离心率公式求解离心率即可.
不妨设,其中,
由于,故,
由于双曲线的渐近线方程为,
结合直线垂直的充分必要条件可知:
,
据此可得:
,整理可得,
据此可知:
,,
双曲线的离心率.
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出a,c,代入公式;
②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
10.中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡,即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列,最里面的一圆叫内一衡,外面的圆依次叫次二衡,次三衡,….设内一衡直径为,衡间距为,则次二衡直径为,次三衡直径为,…,执行如下程序框图,则输出的中最大的一个数为()
【解析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值,结合等差数列的通项公式可得,由均值不等式的结论即可确定输出的中最大的一个数.
由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值,
由等差数列通项公式有:
,且易知恒成立,则:
当且仅当,即时等号成立.
综上可得,输出的中最大的一个数为.
识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.
(2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题.
(3)按照题目的要求完成解答并验证.
11.在锐角三角形中,,则()
【解析】由同角三角函数基本关系可得,结合两角和差正余弦公式可知,利用余弦定理可得,最后利用平面向量数量积的定义求解数量积即可.
由同角三角函数基本关系可得,
则,
由余弦定理可得,
则,
结合平面向量数量积的定义可得:
求两个向量的数量积有三种方法:
利用定义;
利用向量的坐标运算;
利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.
12.某棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的外接球的表面积为()
【解析】由三视图可知,其对应的几何体为三棱锥,建立空间直角坐标系,结合球的几何性质确定球心坐标,然后求解球的表面积即可.
如图所示,在长方体中,,
点分别为其所在棱的中点,
则三视图对应的几何体为三棱锥,
很明显是以为斜边的直角三角形,且当平面,
故外接球的球心在直线上,
以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则,设,由有:
,解得:
设外接球半径为,则:
外接球的表面积.
与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;
球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
二、填空题
13.体育课上定点投篮项目测试规则:
每位同学有次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,视为合格,否则一直投次为止.每次投中与否相互独立,某同学一次投篮投中的概率为,若该同学本次测试合格的概率为,则_______.
【答案】
,据此求解关于实数p的方程确定实数p的值即可.
整理可得:
,即,
该方程存在唯一的实数根.
故答案为:
0.4
本题主要考查独立事件概率公式及其应用,属于基础题.
14.在的展开式中的系数为______.
【解析】由二项式展开式的通项公式可知的展开式的通项为:
,据此确定展开式中的系数即可.
由二项式展开式的通项公式可知的展开式的通项为:
令可得,
故展开式中的系数为.
.
二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:
第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);
第二步是根据所求的指数,再求所求解的项.
15.点为抛物线的焦点,为其准线上一点,且.若过焦点且与垂直的直线交抛物线于两点,且,则______.
【解析】由焦半径公式可得:
,则,据此可得AB的方程为:
,EF的方程为,结合题意由EF的长度得到关于p的方程,解方程即可求得实数p的值.
由题意结合焦半径公式可得:
据此整理可得:
据此可知直线AB的方程为:
直线EF的方程为,
则EF的长度为:
解得:
1.
本题主要考查抛物线的焦半径公式,方程思想的应用,直线方程及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16.已知函数满足:
①当时,方程无解;
②当时,至少存在一个整数使.则实数的取值范围为___.
【解析】首先绘制函数f(x)的图像,然后结合题意分类讨论和两种情况分别得到关于a的取值范围,最后求解所得取值范围的公共部分即可确定实数的取值范围.
绘制函数的图像如图所示,函数恒过点,
当时,方程无解,考查临界情况,
当时,,,
设切点坐标为,切线斜率为,
故切线方程为,切线过点,
则:
,故切线的斜率,
据此可得,
时,点两点连线的斜率,
时,,点两点连线的斜率,
综上可得,实数的取值范围为.
本题主要考查分段函数的应用,导函数研究函数的切线方程,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
17.已知数列满足,且成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,数列的前项和为,求的取值范围.
(1)
(2)
【解析】
(1)由题意可得数列是等比数列,且公比为.结合成等差数列求得数列的首项即可确定数列的通项公式;
(2)裂项求和可得,结合前n项和表达式的单调性确定的取值范围即可.
(1)由知数列是等比数列,且公比为.
成等差数列,
(2)
易知单调递减,
当时,
的取值范围为
本题主要考查数列通项公式的求解,列项求和的方法
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