高考第二轮复习理数专题二十三不等式选讲Word文档格式.docx
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又|x-a|+|x-1|≥|x-a-(x-1)|=|a-1|,
所以|a-1|≤3,
【答案】 [-2,4]
3.(2016·
课标Ⅰ,24,10分,中)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>
1的解集.
3.解:
(1)f(x)=
y=f(x)的图象如图所示.
(2)由f(x)的表达式及图象,
当f(x)=1时,可得x=1或x=3;
当f(x)=-1时,可得x=或x=5,
故f(x)>
1的解集为{x|1<
x<
3};
f(x)<
-1的解集为.
所以|f(x)|>
1的解集为.
4.(2016·
课标Ⅲ,24,10分,中)已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
4.解:
(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a.
所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.
当a≤1时,上式等价于1-a+a≥3,无解.
当a>
1时,上式等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).
5.(2015·
江苏,21D,10分,易)解不等式x+|2x+3|≥2.
5.解:
原不等式可化为或
解得x≤-5或x≥-.
综上,原不等式的解集是{x|x≤-5或x≥-}.
6.(2014·
课标Ⅱ,24,10分,中)设函数f(x)=+|x-a|(a>
0).
(1)证明:
f(x)≥2;
(2)若f(3)<
5,求a的取值范围.
6.解:
由a>
0,得f(x)=+≥
=+a≥2,
所以f(x)≥2.
(2)f(3)=+|3-a|.
3时,f(3)=a+,
由f(3)<
5得3<
a<
.
当0<
a≤3时,f(3)=6-a+,
5得<
a≤3.
综上,a的取值范围是.
7.(2013·
福建,21(3),7分,中)设不等式|x-2|<
a(a∈N*)的解集为A,且∈A,∉A.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.
7.解:
(1)因为∈A,且∉A,
所以|-2|<
a,且|-2|≥a,
解得<
a≤.
又因为a∈N*,所以a=1.
(2)因为f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2时取到等号,所以f(x)的最小值为3.
8.(2012·
辽宁,24,10分,中)已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}.
(2)若≤k恒成立,求k的取值范围.
8.解:
(1)由|ax+1|≤3得,-4≤ax≤2.
又f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},
所以当a≤0时,不合题意.
0时,-≤x≤,得a=2.
(2)记h(x)=f(x)-2f=|2x+1|-2|x+1|,
则h(x)=
所以当x≤-1时,h(x)=1;
当-1<
-时,-1<
h(x)<
1;
当x≥-时,h(x)=-1.
所以|h(x)|≤1,因此k≥1.
绝对值不等式是对必修5中“不等式”的补充和深化,属选学选考内容,高考中以解答题形式出现,考查的重点是绝对值不等式的解法和性质的运用,属中等难度题目.
在复习中掌握绝对值的几何意义,把握好解绝对值不等式的指导思想,即去掉绝对值是复习的关键.
1(2013·
辽宁,24,10分)已知函数f(x)=|x-a|,其中a>
1.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.
【解析】
(1)当a=2时,
f(x)+|x-4|=|x-2|+|x-4|=
当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;
当2<
4时,f(x)≥4-|x-4|无解;
当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5,
所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.
(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x)=|2x|-2|x-a|,
由|h(x)|≤2,又a>
1,所以|4x-2a|≤2,解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},
所以解得a=3.
解绝对值不等式的关键是去掉绝对值,要注意分类讨论思想的运用.解题
(1)时将不等式转化为f(x)+|x-4|≥4后,利用零点分段法去绝对值,运用分类讨论的思想,确定不等式的解集;
解题
(2)的关键是构造辅助函数h(x)=f(2x+a)-2f(x)进行求解.
(2015·
课标Ⅰ,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>
0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>
1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
解:
(1)当a=1时,f(x)>
1化为|x+1|-2|x-1|-1>
当x≤-1时,不等式化为x-4>
0,
即x>4,无解;
1时,不等式化为3x-2>
0,解得<
当x≥1时,不等式化为-x+2>
0,解得1≤x<
2.
综上,f(x)>
(2)由题设可得,
f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.
由题设得(a+1)2>
6,故a>
所以a的取值范围为(2,+∞).
含绝对值不等式的常用解法
(1)基本性质法:
对a∈R+,|x|<a⇔-a<x<a,|x|>a⇔x<-a或x>a.
(2)平方法:
两边平方去掉绝对值符号.
(3)零点分区间法:
含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.
(4)几何法:
利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.
(5)数形结合法:
在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.
含参数的绝对值不等式问题多考查恒成立、存在性、参数范围问题.此类问题多可转化为最值问题,以解答题的形式考查.
2(2013·
课标Ⅰ,24,10分)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<
g(x)的解集;
(2)设a>
-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
【解析】
(1)当a=-2时,不等式f(x)<
g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<
设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
则y=
其图象如图所示.
从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<
所以原不等式的解集是{x|0<
2}.
(2)当x∈时,f(x)=1+a.
不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.
所以x≥a-2对x∈都成立.
故-≥a-2,即a≤.
从而a的取值范围是.
解题
(1)的关键是将f(x)<g(x)转化为分段函数,画出函数图象来求解;
解题
(2)时应注意x∈时,绝对值可以直接去掉.
(2016·
河南洛阳质检,23,10分)设函数f(x)=|x-a|+x.
(1)当a=2时,求函数f(x)的值域;
(2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>
x-f(x)恒成立时a的取值范围.
(1)由题意得,当a=2时,
∵f(x)在(2,+∞)上单调递增,
∴f(x)的值域为[2,+∞).
(2)由g(x)=|x+1|,不等式g(x)-2>
x-f(x)恒成立,
有|x+1|+|x-a|>
2恒成立,
即(|x+1|+|x-a|)min>
而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|,
∴|1+a|>
2,解得a>
1或a<
-3.
不等式恒成立时求参数范围问题的解法
(1)分离参数法:
运用“f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a,f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数取值范围问题.
(2)更换主元法:
对于不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.
(3)数形结合法:
在研究曲线交点的恒成立问题时数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维的优势,可直接解决问题.
1.(2016·
山西大同质检,24,10分)已知函数f(x)=|2x-1|+|x-2a|.
(1)当a=1时,求f(x)≤3的解集;
(2)当x∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立,求实数a的取值范围.
1.解:
(1)当a=1时,由f(x)≤3,可得|2x-1|+|x-2|≤3,
∴①或②或③
解①得0≤x<,解②得≤x<2,解③得x=2.
综上可得,0≤x≤2,即不等式的解集为[0,2].
(2)∵当x∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立,
即|x-2a|≤3-|2x-1|=4-2x,
故2x-4≤2a-x≤4-2x,
即3x-4≤2a≤4-x.
再根据3x-4在x∈[1,2]上的最大值为6-4=2,4-x的最小值为4-2=2,
∴2a=2,∴a=1,
即a的取值范围为{1}.
2.(2016·
河南开封二模,24,10分)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)<
|a-1|的解集不是空集,求实数a的取值范围.
2.解:
(1)原不等式等价于
或或
x≤2或-≤x≤或-1≤x<
-.
∴原不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.
(2)∵f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,
∴|a-1|>
4,∴a<
-3或a>
5,
∴实数a的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).
3.(2015·
福建泉州模拟,21(3),7分)已知函数f(x)=|x+3|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≥|a-4|有解,求a的取值范围.
(1)f(x)=|x+3|-|x-2|≥3,
当x≥2时,有x+3-(x-2)≥3,解得x≥2;
当x
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- 关 键 词:
- 高考 二轮 复习 专题 十三 不等式