专题14 利用导数研究函数的单调性备战高考数学理一轮复习考点通Word文档下载推荐.docx
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【答案】
(1)×
(2)√ (3)√
(二)选一选
1.函数f(x)=cosx-x在(0,π)上的单调性是( )
A.先增后减 B.先减后增
C.增函数D.减函数
【答案】D
【解析】∵f′(x)=-sinx-1<0,
∴f(x)在(0,π)上是减函数,故选D.
2.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为( )
A.(0,1)B.(0,+∞)
C.(1,+∞)D.(-∞,0),(1,+∞)
【答案】A
【解析】函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-=,令f′(x)<
0,得0<
x<
1,故f(x)的单调递减区间为(0,1).
3.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]
C.[2,+∞)D.[1,+∞)
【解析】因为f(x)=kx-lnx,所以f′(x)=k-.因为f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x>
1时,f′(x)=k-≥0恒成立,即k≥在区间(1,+∞)上恒成立.因为x>
1,所以0<
<
1,所以k≥1.
(三)填一填
4.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间为________.
【答案】
(2,+∞)
【解析】f′(x)=[(x-3)ex]′=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.令f′(x)>
0,解得x>
2.故所求单调递增区间为(2,+∞).
5.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上单调递减,则实数a的取值范围是________.
【答案】[-,]
【解析】由题意知f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,所以Δ=4a2-12≤0,解得-≤a≤.
核心素养要做实
[典例] 已知函数f(x)=lnx+-(a∈R且a≠0),讨论函数f(x)的单调性.
【解析】 f′(x)=(x>
0),
①当a<
0时,f′(x)>
0恒成立,
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当a>
0时,由f′(x)=>
0,得x>
;
由f′(x)=<
,
∴函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当a<
0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>
0时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.
[解题技法] 讨论函数f(x)单调性的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f′(x),并求方程f′(x)=0的根;
(3)利用f′(x)=0的根将函数的定义域分成若干个子区间,在这些子区间上讨论f′(x)的正负,由符号确定f(x)在该区间上的单调性.
[提醒] 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
[题组训练]
1.函数f(x)=ex-在定义域内为________函数(填“增”或“减”).
【答案】增
【解析】由已知得函数f(x)的定义域为{x|x≠-1}.
∵f(x)=ex-,∴f′(x)=ex+>
0.
∴f(x)在定义域内为增函数.
2.已知函数f(x)=alnx+x2(a∈R且a≠0),讨论函数f(x)的单调性.
【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞).
因为f(x)=alnx+x2,所以f′(x)=+2x=.
①当a>
0,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当a<
0时,令f′(x)=0,解得x=(负值舍去),
当0<
时,f′(x)<
所以函数f(x)在上单调递减;
当x>
时,f′(x)>
所以函数f(x)在上单调递增.
综上所述,当a>
当a<
0时,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增.
[典例] (2020·
湘东五校联考节选)已知函数f(x)=(lnx-k-1)x(k∈R).当x>
1时,求f(x)的单调区间.
【解析】f′(x)=·
x+lnx-k-1=lnx-k,
①当k≤0时,因为x>
1,所以f′(x)=lnx-k>
所以函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),无单调递减区间.
②当k>
0时,令lnx-k=0,解得x=ek,
当1<
ek时,f′(x)<
0;
ek时,f′(x)>
所以函数f(x)的单调递减区间是(1,ek),单调递增区间是(ek,+∞).
综上所述,当k≤0时,函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),无单调递减区间;
当k>
0时,函数f(x)的单调递减区间是(1,ek),单调递增区间是(ek,+∞).
[解题技法] 利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时,解不等式f′(x)>
0或f′(x)<
0求出单调区间.
(2)当方程f′(x)=0可解时,解出方程的实根,依照实根把函数的定义域划分为几个区间,确定各区间f′(x)的符号,从而确定单调区间.
(3)若导函数的方程、不等式都不可解,根据f′(x)结构特征,利用图象与性质确定f′(x)的符号,从而确定单调区间.
[提醒] 若所求函数的单调区间不止一个,这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接,只能用“,”“和”字隔开.
1.若幂函数f(x)的图象过点,则函数g(x)=exf(x)的单调递减区间为( )
A.(-∞,0) B.(-∞,-2)
C.(-2,-1)D.(-2,0)
【解析】设幂函数f(x)=xα,因为图象过点,所以=α,α=2,所以f(x)=x2,故g(x)=exx2,令g′(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x)<
0,得-2<
0,故函数g(x)的单调递减区间为(-2,0).
2.已知函数f(x)=-lnx-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于直线y=x.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
【解析】
(1)对f(x)求导得f′(x)=--,
由f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于直线y=x,
知f′
(1)=--a=-2,解得a=.
(2)由
(1)知f(x)=-lnx-(x>
则f′(x)=,令f′(x)=0,
解得x=-1或x=5,
因为x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,所以舍去.
当x∈(0,5)时,f′(x)<
0,故f(x)在(0,5)内单调递减;
当x∈(5,+∞)时,f′(x)>
0,故f(x)在(5,+∞)内单调递增.
故f(x)的单调递减区间是(0,5),单调递增区间是(5,+∞).
[典例] 设函数f(x)=x3-x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(1)求b,c的值;
(2)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
(1)f′(x)=x2-ax+b,
由题意得即
(2)由
(1)知f(x)=x3-x2+1,
则g′(x)=x2-ax+2,依题意,存在x∈(-2,-1),
使不等式g′(x)=x2-ax+2<
0成立,
即x∈(-2,-1)时,a<
max=-2,
当且仅当x=,即x=-时等号成立.
所以满足要求的a的取值范围是(-∞,-2).
[变透练清]
1.本例
(2)变为:
若g(x)在(-2,-1)内为减函数,其他条件不变,求实数a的取值范围.
【解析】∵g′(x)=x2-ax+2,且g(x)在(-2,-1)内为减函数,
∴x2-ax+2≤0在(-2,-1)内恒成立,
∴即解得a≤-3.
即实数a的取值范围是(-∞,-3].
2.本例
(2)变为:
若g(x)的单调递减区间为(-2,-1),其他条件不变,求实数a的值.
【解析】∵g(x)的单调递减区间为(-2,-1),
∴x1=-2,x2=-1是g′(x)=0的两个根,
∴(-2)+(-1)=a,即a=-3.
3.本例
(2)变为:
若g(x)在(-2,-1)内不单调,其他条件不变,求实数a的取值范围.
【解析】由1知g(x)在(-2,-1)内为减函数时,实数a的取值范围是(-∞,-3].
若g(x)在(-2,-1)内为增函数,则a≥x+在(-2,-1)内恒成立,
又∵y=x+在(-2,-)内单调递增,在(-,-1)内单调递减,
∴y=x+的值域为(-3,-2),
∴实数a的取值范围是[-2,+∞),
∴函数g(x)在(-2,-1)内单调时,a的取值范围是(-∞,-3]∪[-2,+∞),
故g(x)在(-2,-1)上不单调时,实数a的取值范围是(-3,-2).
[解题技法]由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题,可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意“=”是否取到.
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f′(x)>
0(或f′(x)<
0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题.
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.
达标检测要扎实
1.函数f(x)=3+xlnx的单调递减区间是( )
A. B.
C.D.
【答案】B
【解析】因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=lnx+x·
=lnx+1,令f′(x)<0,解得0<x<,所以f(x)的单调递减区间是.
2.已知函数f(x)=x2(x-m),m∈R,若f′(-1)=-1,则函数f(x)的单调递增区间是( )
A.B.C.,(0,+∞)D.∪(0,+∞)
【答案】C
【解析】∵f′(x)=3x2-2mx,
∴f′(-1)=3+2m=-1,解得m=-2,
由f′(x)=3x2+4x>0,解得x<-或x>0,
即f(x)的单调递增区间是,(0,+∞).
3.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )
A.f(x)=sin2xB.f(x)=xex
C.f(x)=x3-xD.f(x)=-x+lnx
【解析】对于A,f(x)=sin2x的单调递增区间是(k∈Z);
对于B,f′(x)=ex(x+1),当x∈(0,+∞)时,f′(x)>
0,∴函数f(x)=xex在(0,+∞)上
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