计量经济学习题集第二章Word格式文档下载.docx
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(1)随机扰动项包含什么样的因素?
它们可能与教育水平相关吗?
(2)上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗?
请解释。
解答:
(1)收入、年龄、家庭状况、政府的相关政策等也是影响生育率的重要的因素,在上述简单回归模型中,它们被包含在了随机扰动项之中。
有些因素可能与增长率水平相关,如收入水平与教育水平往往呈正相关、年龄大小与教育水平呈负相关等。
(2)当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平educ相关时,上述回归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响,因为这时出现解释变量与随机扰动项相关的情形,基本假设4不满足。
例2.已知回归模型,式中E为某类公司一名新员工的起始薪金(元),N为所受教育水平(年)。
随机扰动项的分布未知,其他所有假设都满足。
(1)从直观及经济角度解释和。
(2)OLS估计量和满足线性性、无偏性及有效性吗?
简单陈述理由。
(3)对参数的假设检验还能进行吗?
(1)为接受过N年教育的员工的总体平均起始薪金。
当N为零时,平均薪金为,因此表示没有接受过教育员工的平均起始薪金。
是每单位N变化所引起的E的变化,即表示每多接受一年学校教育所对应的薪金增加值。
(2)OLS估计量和仍满足线性性、无偏性及有效性,因为这些性质的的成立无需随机扰动项的正态分布假设。
(3)如果的分布未知,则所有的假设检验都是无效的。
因为t检验与F检验是建立在的正态分布假设之上的。
例3、在例2中,如果被解释变量新员工起始薪金的计量单位由元改为100元,估计的截距项与斜率项有无变化?
如果解释变量所受教育水平的度量单位由年改为月,估计的截距项与斜率项有无变化?
首先考察被解释变量度量单位变化的情形。
以E*表示以百元为度量单位的薪金,则
由此有如下新模型
或
这里,。
所以新的回归系数将为原始模型回归系数的1/100。
再考虑解释变量度量单位变化的情形。
设N*为用月份表示的新员工受教育的时间长度,则N*=12N,于是
可见,估计的截距项不变,而斜率项将为原回归系数的1/12。
例4、对没有截距项的一元回归模型
称之为过原点回归(regrissionthroughtheorigin)。
试证明
(1)如果通过相应的样本回归模型可得到通常的的正规方程组
则可以得到的两个不同的估计值:
,。
(2)在基本假设下,与均为无偏估计量。
(3)拟合线通常不会经过均值点,但拟合线则相反。
(4)只有是的OLS估计量。
(1)由第一个正规方程得
求解得
由第2个下规方程得
(2)对于,求期望
这里用到了的非随机性。
对于,求期望
(3)要想拟合值通过点,必须等于。
但,通常不等于。
这就意味着点不太可能位于直线上。
相反地,由于,所以直线经过点。
(4)OLS方法要求残差平方和最小
Min
关于求偏导得
即
可见是OLS估计量。
例5.假设模型为。
给定个观察值,,…,,按如下步骤建立的一个估计量:
在散点图上把第1个点和第2个点连接起来并计算该直线的斜率;
同理继续,最终将第1个点和最后一个点连接起来并计算该条线的斜率;
最后对这些斜率取平均值,称之为,即的估计值。
(1)画出散点图,给出的几何表示并推出代数表达式。
(2)计算的期望值并对所做假设进行陈述。
这个估计值是有偏的还是无偏的?
解释理由。
(3)证明为什么该估计值不如我们以前用OLS方法所获得的估计值,并做具体解释。
(1)散点图如下图所示。
(X2,Y2)
(Xn,Yn)
(X1,Y1)
首先计算每条直线的斜率并求平均斜率。
连接和的直线斜率为。
由于共有-1条这样的直线,因此
(2)因为X非随机且,因此
这意味着求和中的每一项都有期望值,所以平均值也会有同样的期望值,则表明是无偏的。
(3)根据高斯-马尔可夫定理,只有的OLS估计量是最付佳线性无偏估计量,因此,这里得到的的有效性不如的OLS估计量,所以较差。
例6.对于人均存款与人均收入之间的关系式使用美国36年的年度数据得如下估计模型,括号内为标准差:
=0.538
(1)的经济解释是什么?
(2)和的符号是什么?
为什么?
实际的符号与你的直觉一致吗?
如果有冲突的话,你可以给出可能的原因吗?
(3)对于拟合优度你有什么看法吗?
(4)检验是否每一个回归系数都与零显著不同(在1%水平下)。
同时对零假设和备择假设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。
你的结论是什么?
(1)为收入的边际储蓄倾向,表示人均收入每增加1美元时人均储蓄的预期平均变化量。
(2)由于收入为零时,家庭仍会有支出,可预期零收入时的平均储蓄为负,因此符号应为负。
储蓄是收入的一部分,且会随着收入的增加而增加,因此预期的符号为正。
实际的回归式中,的符号为正,与预期的一致。
但截距项为负,与预期不符。
这可能与由于模型的错误设定形造成的。
如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为,省略该变量将对截距项的估计产生影响;
另一种可能就是线性设定可能不正确。
(3)拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。
模型中53.8%的拟合优度,表明收入的变化可以解释储蓄中53.8%的变动。
(4)检验单个参数采用t检验,零假设为参数为零,备择假设为参数不为零。
双变量情形下在零假设下t分布的自由度为n-2=36-2=34。
由t分布表知,双侧1%下的临界值位于2.750与2.704之间。
斜率项计算的t值为0.067/0.011=6.09,截距项计算的t值为384.105/151.105=2.54。
可见斜率项计算的t值大于临界值,截距项小于临界值,因此拒绝斜率项为零的假设,但不拒绝截距项为零的假设。
三、习题
(一)基本知识类题型
2-1.解释下列概念:
1)总体回归函数
2)样本回归函数
3)随机的总体回归函数
4)线性回归模型
5)随机误差项(ui)和残差项(ei)
6)条件期望
7)非条件期望
8)回归系数或回归参数
9)回归系数的估计量
10)最小平方法
11)最大似然法
12)估计量的标准差
13)总离差平方和
14)回归平方和
15)残差平方和
16)协方差
17)拟合优度检验
18)t检验
19)F检验
2-2.判断正误并说明理由:
1)随机误差项ui和残差项ei是一回事
2)总体回归函数给出了对应于每一个自变量的因变量的值
3)线性回归模型意味着变量是线性的
4)在线性回归模型中,解释变量是原因,被解释变量是结果
5)随机变量的条件均值与非条件均值是一回事
2-3.回答下列问题:
1)线性回归模型有哪些基本假设?
违背基本假设的计量经济学模型是否就不可估计?
2)总体方差与参数估计误差的区别与联系。
3)随机误差项ui和残差项ei的区别与联系。
4)根据最小二乘原理,所估计的模型已经使得拟合误差达到最小,为什么还要讨论模型的拟合优度问题?
5)为什么用决定系数R2评价拟合优度,而不用残差平方和作为评价标准?
6)R2检验与F检验的区别与联系。
7)回归分析与相关分析的区别与联系。
8)最小二乘法和最大似然法的基本原理各是什么?
说明它们有何区别?
9)为什么要进行解释变量的显著性检验?
10)是否任何两个变量之间的关系,都可以用两变量线性回归模型进行分析?
2-2.下列方程哪些是正确的?
哪些是错误的?
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
其中带“^”者表示“估计值”。
2-3.下表列出若干对自变量与因变量。
对每一对变量,你认为它们之间的关系如何?
是正的、负的、还是无法确定?
并说明理由。
因变量
自变量
GNP
利率
个人储蓄
小麦产出
降雨量
美国国防开支
前苏联国防开支
棒球明星本垒打的次数
其年薪
总统声誉
任职时间
学生计量经济学成绩
其统计学成绩
日本汽车的进口量
美国人均国民收入
(二)基本证明与问答类题型
2-4.对于一元线性回归模型,试证明:
(1)
(2)
(3)
2-5.参数估计量的无偏性和有效性的含义是什么?
从参数估计量的无偏性和有效性证明过程说明,为什么说满足基本假设的计量经济学模型的普通最小二乘参数估计量才具有无偏性和有效性?
2-6.对于过原点回归模型,试证明
2-7.试证明:
(1),从而:
(3);
即残差与的估计值之积的和为零。
2-8.为什么在一元线性方程中,最小二乘估计量与极大似然估计量的表达式是一致的?
证明:
σ2的ML估计量为,并且是有偏的。
2-9.熟悉t统计量的计算方法和查表判断。
2-10.证明:
;
其中R2是一元线性回归模型的判定系数,是y与x的相关系数。
2-11.试根据置信区间的概念解释t检验的概率意义,即证明:
对于显著性水平α,当时,bi的100(1-α)%的置信区间不包含0。
2-12.线性回归模型
的0均值假设是否可以表示为?
2-13.现代投资分析的特征线涉及如下回归方程:
;
其中:
r表示股票或债券的收益率;
rm表示有价证券的收益率(用市场指数表示,如标准普尔500指数);
t表示时间。
在投资分析中,β1被称为债券的安全系数β,是用来度量市场的风险程度的,即市场的发展对公司的财产有何影响。
依据1956~1976年间240个月的数据,Fogler和Ganpathy得到IBM股票的回归方程;
市场指数是在芝加哥大学建立的市场有价证券指数:
(0.3001)(0.0728)
要求:
(1)解释回归参数的意义;
(2)如何解释r2?
(3)安全系数β>
1的证券称为不稳定证券,建立适当的零假设及备选假设,并用t检验进行检验(α=5%)。
2-14.已知模型,证
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