高中数学第三章三角恒等变换312两角和与差的正弦余弦正切公式二导学案新人教A版必修4.docx
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高中数学第三章三角恒等变换312两角和与差的正弦余弦正切公式二导学案新人教A版必修4
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(二)
学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.
知识点一 两角和与差的正切公式
思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式?
答案 tan(α+β)==,
分子分母同除以cosαcosβ,便可得到.
思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式?
答案 用-β替换tan(α+β)中的β即可得到.
梳理
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α+β)
tan(α+β)=
α,β,α+β均不等于kπ+(k∈Z)
两角差的正切
T(α-β)
tan(α-β)=
α,β,α-β均不等于kπ+(k∈Z)
知识点二 两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α+β)的变形:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).
tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β).
tanαtanβ=1-.
(2)T(α-β)的变形:
tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).
tanα-tanβ-tanαtanβtan(α-β)=tan(α-β).
tanαtanβ=-1.
类型一 正切公式的正用
例1
(1)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为.
答案 3
解析 tanβ=tan[(α+β)-α]
=
==3.
(2)已知α,β均为锐角,tanα=,tanβ=,则α+β=.
答案
解析 因为tanα=,tanβ=,
所以tan(α+β)===1.
因为α,β均为锐角,
所以α+β∈(0,π),
所以α+β=.
反思与感悟
(1)注意用已知角来表示未知角.
(2)利用公式T(α+β)求角的步骤:
①计算待求角的正切值.
②缩小待求角的范围,特别注意隐含的信息.
③根据角的范围及三角函数值确定角.
跟踪训练1 已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=.
答案 -
解析 由题意,得cos=,∴tan=.∴tan=tan=-
=-.
类型二 正切公式的逆用
例2
(1)=;
(2)=.
答案
(1)
(2)-1
解析
(1)原式==tan(45°+15°)
=tan60°=.
(2)原式==
=tan(30°-75°)=-tan45°=-1.
反思与感悟 注意正切公式的结构特征,遇到两角正切的和与差,构造成与公式一致的形式,当式子出现,1,这些特殊角的三角函数值时,往往是“由值变角”的提示.
跟踪训练2 求下列各式的值:
(1);
(2).
解
(1)原式==
=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=-.
(2)原式===.
类型三 正切公式的变形使用
例3
(1)化简:
tan23°+tan37°+tan23°tan37°;
(2)若锐角α,β满足(1+tanα)(1+tanβ)=4,求α+β的值.
解
(1)方法一 tan23°+tan37°+tan23°tan37°
=tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+tan23°tan37°
=tan60°(1-tan23°tan37°)+tan23°tan37°=.
方法二 ∵tan(23°+37°)=,
∴=,
∴-tan23°tan37°=tan23°+tan37°,
∴tan23°+tan37°+tan23°tan37°=.
(2)∵(1+tanα)(1+tanβ)
=1+(tanα+tanβ)+3tanαtanβ=4,
∴tanα+tanβ=(1-tanαtanβ),
∴tan(α+β)==.
又∵α,β均为锐角,∴0°<α+β<180°,
∴α+β=60°.
反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式:
①tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ)或②1∓tanα·tanβ=.当α±β为特殊角时,常考虑使用变形形式①,遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.
跟踪训练3 在△ABC中,A+B≠,且tanA+tanB+=tanAtanB,则角C的值为( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 ∵tanA+tanB+=tanAtanB⇔tan(A+B)·(1-tanAtanB)=(tanAtanB-1).①
若1-tanAtanB=0,
则cosAcosB-sinAsinB=0,即cos(A+B)=0.
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