三角函数应用题练习及答案文档格式.doc
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供边长的条件,所以要充分利用已知中的tg∠DAC的条件。
由于AD=DC,即∠C=∠DAC,这时也可
把正切值直接移到Rt△ABC中。
解答:
过D点作DE⊥AC于E,
且
设DE=k,则AE=4k
∵AD=DC,
∴∠DAC=∠C,AE=EC
∴AC=8k
∵
设AB=m,BC=4m
由勾股定理,有
AB2+BC2=AC2
∴
CD2=DE2+EC2
由正切定理,有
[例3]如图,四边形ABCD中,∠D=90°
,AD=3,DC=4,AB=13,BC=12,求sinB。
已知条件提供的图形是什么形?
其中∠D=90°
,AD=3,DC=4,可提供什么知识?
求sinB应放在什么图形中。
因已知是四边形所以不能求解,由于有∠D=90°
,AD=3,DC=4,这样可求AC=5,又因有AB=13,BC=12,
所以可证△ABC是Rt△,因此可求sinB。
连结AC
∵∠D=90°
AC2=CD2+CD2
∵AD=3,CD=4,
∴AC=5
∵AB=13,BC=12
∴132=122+52
∴∠ACB=90°
由正弦定义,有
第二阶梯
[例1]如图,在河的对岸有水塔AB,今在C处测得塔顶A的仰角为30°
,前进20米后到D处,又测得A的
仰角为45°
,求塔高AB。
在河对岸的塔能否直接测得它的高度?
为什么在C、D两处测得仰角的含义是什么?
怎样用CD的长?
要直接隔岸测得塔高是不可能的,也不可能直接过河去测量,这时只能考虑如何利用两个仰角及CD长,由于塔身与地面垂直,且C、D、B三点共线这时可以构成一个直角三角形,且有∠ACB=30°
,∠ADB=45°
,这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。
根据仰角的定义,有
∠ACB=30°
又AB⊥CB于B。
∴∠DAB=45°
∴DB=AB
设AB=x
由正切定义,有
解得
即塔高
答:
塔高AB为米。
第三阶梯
[例1]已知等腰三角形的顶点为A,底边为a,求它的周长及面积。
探索:
在现在的已知条件下能否求得周长与面积?
如果不能求解是因为什么原因造成的,这时底边为a,
能否确定腰长及各个内角呢?
首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办?
点拨:
由于没有相应的图形,所以应先确定图形,若是等腰三角形,应先假设这个三角形是斜三角形,
再根据条件先转化为直角三角形,再求相应的量。
设已知△ABC中,AB=AC,BC=a(如图)
过A点作:
AD⊥BC竽D点,设∠BAD=α
∵AB=AC
∴BD=CD=
根据正弦定义,有
∴AB+AC+BC=a+
由余切定义,有
∴AD=
∴
注意:
也可设∠BAC=α,则∠BAD=。
[例2]有一块矩形纸片ABCD,若把它对折,B点落在AD上F处,如果DC=6cm,且∠DFC=2θ,∠ECB=θ,
求折痕CE长。
根据已知条件图形对折,B点落在F点的含义是什么?
它会有怎样的结论?
这时又可以形成什么
图形关系?
另知DC的长能否求折痕呢?
又根据条件我们还可以确定什么?
这时又可形成怎样的问题?
由于F点的形成是因对折B点而形成的,因此可有△EBC≌△FEC,同时又可有△AEF∽△CDF。
根据已知条件∠DFC=2θ及∠ECB=θ,这时就可以形成与角有关的图形。
进而可求CE的长。
解:
根据已知条件,有
△EBC≌△FEC
∴EB=EF,BC=FC,∠ECB=∠ECF
∵∠CFD=2θ,且∠ECB=θ
∴∠ECF=θ
由余弦定义,有
∵∠ADC=90°
-2θ
[例3]如图6-5-5,某船向正东方向航行,在A处望见灯塔C在东北方向,前进到B处望见灯塔C在北偏西30°
,又航行了半小时,望见灯塔C恰在西北方向,若船速为每小时20海里,求A、D两点间的距离,(结果不取近似值)
图6-5-5
思路分析:
易知ΔACD是等腰直角三角形,要求AD,不能利用ΔACD直接求得,由于图形中再没有其他的直角
三角形,必须构造直角三角形,作CE⊥AD于E,只要求出CE,就可能以求出AD,借助两个直角三角形(ΔBCE和
ΔDCE)中,BE、DE与BD的关系以及BE与CE之间的关系就可求CE。
[解]
作CE⊥AD,垂足为E,设CE=x海里
∵∠CAD=∠CDA=90°
-45°
=45°
,
∴CE=AE=DE=x。
在RtΔBCE中,∠CBE=90°
-30°
=60°
由DE-BE=BD得,
解得。
∴。
答:
A、D两点间的距离为海里。
第四阶梯
[例1]有一段防洪大堤,其横断面为梯形ABCD,AB∥DC,斜坡AD的坡度i1=1:
1.2,斜坡BC的坡度i2=1:
0.8,大坝顶宽DC为6米,为了增强抗洪能力,现将大堤加高,加高部分的横断面为梯形DCFE,EF∥DC,点E、F分别在AD、BC的延长线上(如图6-5-6),当新大坝顶宽EF为3.8米时,大坝加高了几米?
图6-5-6
本题实质上是梯形CDEF的有关计算问题,注意到大堤加高但坡度不变,即DE、CF的坡度公别为1:
1.2,1:
0.8,又DC=6
米,EF=3.8米,要求大坝加高的高度,分别作FH⊥DC于G,FH⊥DC于H,利用RtΔDEG,RtΔCFH和矩形EFHG可以求出新
大坝的高度.
作EG⊥DC,FH⊥DC,垂足分别为G,H,则四边形EFHG是矩形,GH=EF=3.8米.
设大坝加高x米,则EG=FH=x米。
∵i1=1:
1.2,i2=1:
0.8,
由DG+GH+CH=6,得1.2x+3.8+0.8=6.解得x=1.1
大坝加高了1.1米。
[例2]如图6-5-7,台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴,有极强的破坏力,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°
方向往C移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超过四级,则称为受台风影响。
(1)该城市是否会受到这次台风的影响?
请说明理由。
(2)若会受到台风的影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?
图6-5-7
(1)作AD⊥BC于D,达到或超过四级风力所影响的范围是距台风中心不超过(12-4)×
20=160千米的范围内,
比较AD与160的大小关系,就可以确定该城市是否受这次台风的影响。
(2)当A点距台风中心不超过160千米时,将受到台风的影响,如图6-5-7,AE=AF=160千米,当台风中心从E处移
到F处时,该城市都会受到这次台风的影响,利用勾股定理计算出EF的长度,就可以计算出这次台风影响该城
市的持续时间。
(3)显然当台风中心位于D处时,A市所受这次台风的风力最大。
(1)如图6-5-7,由点A作AD⊥BC,垂足为D。
∵AB=220,∠B=30°
,∴。
由题意,当A点距台风中心不超过160千米时,将会受到台风的影响,由于AD=110<
160,所以A市会受到这次台
风的影响.
(2)在BD及BD的延长线上分别取E,F两点,使AE=AF=160千米.
由于当A点距台风中心不超过160千米时,将会受到台风的影响.
所以当台风中心从E点移到F点时,该城市都会到这次台风的影响.
在RtΔADE中,由勾股定理,得
∴(千米).
∵该台风中心以15千米/时的速度移动,∴这次台风影响该城市的持续时间(小时).
(3)当台风中心位于D处时,A市所受这次台风的风力最大,其最大风马牛不相及力为
四、【课后练习】
A组
1.如图:
6-5-8,一铁路路基的横断面为等腰梯形,根据图示数据计算路基的下底宽AB=____。
2.如图6-5-9,在高2米,坡角为30°
的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要_______米(精确到0.1米)
图6-5-8图6-5-9
3.如图6-5-10,在高离铁塔150米的A处,用测角仪测得塔顶的仰角为30°
,已知测角仪高AD=1.52米,则塔高
BE=_______(精确到0.1米)
图6-5-10图6-5-11
4.某防洪堤坝的横断面是梯形,已知背水坡的坡长为60米,坡角为30°
,则坝高为_______米。
5.升国旗时,某同学站地离旗杆底部24米处行注目礼,当国旗升至旗杆顶端时,该同学视线的仰角恰为30°
,若双眼离地面1.5米,则旗杆高度为_______米,(用含根号的式子表示)
6.在地面上一点,测得一电视塔尖的仰角为45°
,沿水平方面再向塔底前进a米,又测得塔尖的仰角为60°
,那么电视塔高为_______。
7.若太阳光线与地面成37°
角,一棵树的影长为10m,则树高h的取值范围是()
A.3<
h≤5B、5<
h<
10C.10<
15D.h>
15
8.河堤的横断面如图6-5-11所示。
堤高BC是5米,迎水坡AB的长是13米。
那么斜坡AB的坡宽I是()
A.1:
3B、1:
26C.1:
2.4D.1:
2
9.某地夏季中午,当太阳移到屋顶上方偏南时,光线与地面成80°
角。
房屋朝南的窗子高AB=1.8m,要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC,使午间光线不能直接射入室内(如图:
6-5-12),那么挡光板AC的宽度至少应为()
图6-5-12
图6-5-13
A.1.8tan80°
mB.1.8cos80°
mC.mD.1.8cot80°
m
10.如图6-5-13,水库大坝的横断面为梯形,坝顶宽6米,坝高24米,斜坡AB的坡角为45°
,斜坡CD的坡度I=1:
2,则坝底AD的长为()
A.42米B、(30+24)米C、78米D、(30+8)米
11、如图6-5-14,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为a,则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为()
A.B.C.sinaD.1
图6-5-1
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