勾股定理的证明方法Word格式文档下载.docx
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∵∠HGD+∠GHD=90º
∴∠EHA+∠GHD=90º
又∵∠GHE=90º
∴∠DHA=90º
+90º
=180º
∴ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于.
∴.∴.
【证法3】
(赵爽证明)
以a、b为直角边(b>
a),以c为斜
边作四个全等的直角三角形,则每个直角
三角形的面积等于.把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵RtΔDAH≌RtΔABE,
∴∠HDA=∠EAB.
∵∠HAD+∠HAD=90º
,
∴∠EAB+∠HAD=90º
∴ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2.
∵EF=FG=GH=HE=b―a,
∠HEF=90º
∴EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于.
∴.
【证法4】
(1876年美国总统Garfield证明)
以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.
∵RtΔEAD≌RtΔCBE,
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠AED+∠ADE=90º
∴∠AED+∠BEC=90º
.
∴∠DEC=180º
∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,
它的面积等于.
又∵∠DAE=90º
∠EBC=90º
∴AD∥BC.
∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于.
【证法5】
(梅文鼎证明)
做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.
∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,
∴∠EGF=∠BED,
∵∠EGF+∠GEF=90°
∴∠BED+∠GEF=90°
∴∠BEG=180º
又∵AB=BE=EG=GA=c,
∴ABEG是一个边长为c的正方形.
∴∠ABC+∠CBE=90º
∵RtΔABC≌RtΔEBD,
∴∠ABC=∠EBD.
∴∠EBD+∠CBE=90º
即∠CBD=90º
又∵∠BDE=90º
,∠BCP=90º
BC=BD=a.
∴BDPC是一个边长为a的正方形.
同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S,则
∴.
【证法6】
(项明达证明)
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>
a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC,交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ,垂足为M;
再过点
F作FN⊥PQ,垂足为N.
∵∠BCA=90º
,QP∥BC,
∴∠MPC=90º
∵BM⊥PQ,
∴∠BMP=90º
∴BCPM是一个矩形,即∠MBC=90º
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º
∴∠QBM=∠ABC,
又∵∠BMP=90º
,∠BCA=90º
,BQ=BA=c,
∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.
从而将问题转化为【证法4】
(梅文鼎证明).
【证法7】
(欧几里得证明)
做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
BF、CD.过C作CL⊥DE,
交AB于点M,交DE于点
L.
∵AF=AC,AB=AD,
∠FAB=∠GAD,
∴ΔFAB≌ΔGAD,
∵ΔFAB的面积等于,
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半,
∴矩形ADLM的面积=.
同理可证,矩形MLEB的面积=.
∵正方形ADEB的面积
=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积
∴,即.
【证法8】
(利用相似三角形性质证明)
如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中,
∵∠ADC=∠ACB=90º
∠CAD=∠BAC,
∴ΔADC∽ΔACB.
AD∶AC=AC∶AB,
即.
同理可证,ΔCDB∽ΔACB,从而有.
∴,即.
【证法9】
(杨作玫证明)
a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC,AF交GT于F,AF交DT于R.过B作BP⊥AF,垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直,垂足为E,DE交AF于H.
∵∠BAD=90º
,∠PAC=90º
∴∠DAH=∠BAC.
又∵∠DHA=90º
AD=AB=c,
∴RtΔDHA≌RtΔBCA.
∴DH=BC=a,AH=AC=b.
由作法可知,PBCA是一个矩形,
所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=
CA=b,AP=a,从而PH=b―a.
∵RtΔDGT≌RtΔBCA,
RtΔDHA≌RtΔBCA.
∴RtΔDGT≌RtΔDHA.
∴DH=DG=a,∠GDT=∠HDA.
又∵∠DGT=90º
,∠DHF=90º
∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º
∴DGFH是一个边长为a的正方形.
∴GF=FH=a.TF⊥AF,TF=GT―GF=b―a.
∴TFPB是一个直角梯形,上底TF=b―a,下底BP=b,高FP=a+(b―a).
用数字表示面积的编号(如图),则以c为边长的正方形的面积为
①
∵=,
∴=.②
把②代入①,得
==.
∴.
【证法10】
(李锐证明)
设直角三角形两直角边的长分别为a、b(b>
a),斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号(如图).
∵∠TBE=∠ABH=90º
∴∠TBH=∠ABE.
又∵∠BTH=∠BEA=90º
BT=BE=b,
∴RtΔHBT≌RtΔABE.
∴HT=AE=a.
∴GH=GT―HT=b―a.
又∵∠GHF+∠BHT=90º
∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90º
∴∠GHF=∠DBC.
∵DB=EB―ED=b―a,
∠HGF=∠BDC=90º
∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即.
过Q作QM⊥AG,垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º
,可知∠ABE
=∠QAM,而AB=AQ=c,所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌
RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即.
由RtΔABE≌RtΔQAM,又得QM=AE=a,∠AQM=∠BAE.
∵∠AQM+∠FQM=90º
,∠BAE+∠CAR=90º
,∠AQM=∠BAE,
∴∠FQM=∠CAR.
又∵∠QMF=∠ARC=90º
,QM=AR=a,
∴RtΔQMF≌RtΔARC.即.
∵,,,
又∵,,,
∴
=
=,
【证法11】
(利用切割线定理证明)
在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90º
,点C在⊙B上,所以AC是⊙B的切线.由切割线定理,得
=,
即,
【证法12】
(利用多列米定理证明)
在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c(如图).过点A作AD∥CB,过点B作BD∥CA,则ACBD为矩形,矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有
∵AB=DC=c,AD=BC=a,
AC=BD=b,
∴,即,
【证法13】
(作直角三角形的内切圆证明)
在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O,切点分别为D、E、F(如图),设⊙O的半径为r.
∵AE=AF,BF=BD,CD=CE,
==r+r=2r,
即,
∴,
∵,
又∵==
==,
∴,∴.
【证法14】
(利用反证法证明)
假设,即假设,则由
==
可知,或者.即AD:
AC≠AC:
AB,或者BD:
BC≠BC:
AB.
∵∠A=∠A,
∴若AD:
AB,则
∠ADC≠∠ACB.
在ΔCDB和ΔACB中,
∵∠B=∠B,
∴若BD:
∠CDB≠∠ACB.
又∵∠ACB=90º
∴∠ADC≠90º
,∠CDB≠90º
这与作法CD⊥AB矛盾.所以,的假设不能成立.
【证法15】
(辛卜松证明)
设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分,则正方形
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