上海初二八年级上数学知识点详细总结Word下载.docx
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几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式是同类二次根式。
、、。
(判断是不是同类二次根式:
首先,要看它们是不是最简二次根式;
其次,看这些最简二次根式的被开方数是否相同)
6、二次根式的加法、减法:
⑴化简,化成最简二次根式;
⑵合并同类二次根(即将被开方数相同的二次根式的系数进行合并)
7、二次根式的乘法、除法:
⑴先完成根号内乘除,再化简二次根式;
⑵小数化分数,带分数化假分数;
⑶字母需考虑取值范围(不要忽视隐含条件)。
8、分母有理化:
把分子和分母都乘以一个适当的代数式,使分母不含根号,这种计算叫做分母有理化。
第一章一元二次方程
1、定义:
只含有一个未知数,且未知数最高次数是二次的整式方程。
2、一般式:
3、一元二次方程的解法:
1、开平方法:
一般来说,形如、的一元二次方程可以用开平方法。
(三种情况:
有两个不相等的实数根,等于0,没有实数根)
2、因式分解法:
提取公因式、公式法(平方差、完全平方公式)、十字相乘法、分组分解法。
3、配方法:
⑴移常数项;
⑵化二次项系数为1;
⑶配方,在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;
⑷用开平方法求解;
⑸结论。
4、公式法:
⑴先把方程化为一般形式;
⑵写出方程各项的系数a、b、c的值(要注意它们的符号);
⑶计算;
⑷当时,将a、b、c的值代入求根公式,求出方程的两个根;
⑸当<
0时,方程没有实数根,就不必解了。
(开平方法、因式分解法一般适用于特殊形式的方程,而配方法、公式法是使用最普遍的方法,适用任意方程,其中:
公式法计算较繁琐。
)
4、一元二次议程根的判别式
叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“△”来表示,即△=。
2、一元二次方程的根的情况与△的关系:
⑴△=方程有两个不相等的实数根。
⑵△=方程有两个相等的实数根。
⑶△=方程没有实数根。
3、由方程的情况求字母系数的值或取值范围
⑴如果说方程有实数根,那么;
⑵注意:
因为是一元二次方程,不要遗漏隐含条件。
5、一元二次议程的应用
1、二次三项式的概念:
形如(a、b、c都不为0)的多项式称为二次三项式。
2、二次三项式的因式分解:
⑴首先考虑能否提取公因式;
⑵能否运用十字相乘法;
⑶最后考虑用公式法。
3、列一元二次方程解应用题的一般步骤:
⑴审题⑵设元⑶列方程⑷解方程⑸检验⑹写答案
4、根据题意列方程时,必须同时满足以下四个条件:
⑴方程两边意义相同;
⑵方程两边单位一致;
⑶方程两边数值相等;
⑷方程全面地反映了题中所有数量之间的关系。
5、列一元二次方程解题的类型:
⑴几何类问题(利用几何定理、面积公式等作解题依据,列出一元两次方程,解题);
⑵增长(降低)率问题:
如设基数为a,平均增长率为x,则第一次增长后为a(1+x),第二次增长后为a(1+x)2;
⑶利润(销售)问题:
常用等量关系有:
利润=售价-进价(成本)、总利润=每件的利润×
总件数、利润率=、售价=标价×
打折数等;
注意:
解应用题时一定不要忘记检验所求的根是否符合实际问题的要求。
第二章一次函数
一、函数:
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。
二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
一般从整式(取全体实数),分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。
(1).用整式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。
(2)用分式表示的函数,自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
(3)用奇次根式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数,自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。
(4)若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再求其公共范围,即为自变量的取值范围。
(5)对于与实际问题有关系的,自变量的取值范围应使实际问题有意义。
三、函数的三种表示法及其优缺点
(1)关系式(解析)法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
4、函数图像
函数图象的定义:
一般的,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
用描点法画函数的图象的一般步骤:
1、列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
)注意:
列表时自变量由小到大,相差一样,有时需对称。
2、描点:
(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。
3、连线:
(按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来)。
五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,若两个变量x,y间的关系可以表示成(k,b为常数,k0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。
特别地,当一次函数中的b=0时(即)(k为常数,k0),称y是x的正比例函数,是一次函数的特例。
2、一次函数的图像:
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数的图像是经过点(0,b)的直线;
正比例函数的图像是经过原点(0,0)的直线。
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>
b>
y
0x
图像经过一、二、三象限,y随x的增大而增大。
b<
图像经过一、三、四象限,y随x的增大而增大。
K<
图像经过一、二、四象限,y随x的增大而减小
图像经过二、三、四象限,y随x的增大而减小。
注:
当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地,正比例函数有下列性质:
(1)当k>
0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k<
0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地,一次函数有下列性质:
0时,y随x的增大而增大
0时,y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。
确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法。
待定系数法:
先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法。
(1)一次函数与一元一次方程:
从“数”的角度看x为何值时函数y=ax+b的值为0。
(2)求ax+b=0(a,b是常数,a≠0)的解,从“形”的角度看,求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标。
(3)一次函数与一元一次不等式:
解不等式ax+b>0(a,b是常数,a≠0)。
从“数”的角度看,x为何值时函数y=ax+b的值大于0。
(4)解不等式ax+b>0(a,b是常数,a≠0)。
从“形”的角度看,求直线y=ax+b在x轴上方的部分(射线)所对应的的横坐标的取值范围。
7、一次函数与一元一次方程的关系:
任何一个一元一次方程都可转化为:
kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.而一次函数解析式形式正是y=kx+b(k、b为常数,k≠0).当函数值为0时,即kx+b=0就与一元一次方程完全相同.
结论:
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.所以解一元一次方程可以转化为:
当一次函数值为0时,求相应的自变量的值.
从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.
7、反比例函数
定义:
一般地,形如(为常数,)的函数称为反比例函数。
还可以写成
反比例函数解析式的特征:
⑴等号左边是函数,等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数(也叫做比例系数),分母中含有自变量,且指数为1.
⑵比例系数
⑶自变量的取值为一切非零实数。
⑷函数的取值是一切非零实数。
反比例函数的图像
⑴图像的画法:
描点法
1列表(应以O为中心,沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数)
2描点(有小到大的顺序)
3连线(从左到右光滑的曲线)
⑵反比例函数的图像是双曲线,(为常数,)中自变量,函数值,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是或)。
⑷反比例函数()中比例系数的几何意义是:
过双曲线()上任意引轴轴的垂线,所得矩形面积为。
反比例函数性质如下表:
的取值
图像所在象限
函数的增减性
一、三象限
在每个象限内,值随的增大而减小
二、四象限
在每个象限内,值随的增大而增大
反比例函数解析式的确定:
利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出)
“反比例关系”与“反比例函数”:
成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。
第三章几何证明
一、几何证明中常用的证明方法:
1、证明两直线平行——利用平行线的性质和判定,利用平行线的判断定理及其推论来证明,这是证明两直线平行最基本的方法,关键是找出同位角、内错角的相等关系或同旁内角的互补关系。
2、证明两线段相等——利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定
(1)如果两线段分别在两个三角形中,那么可证这两个三角形全等,有时可能缺少直接条件,要证明两次全等;
(2)有时两线段分别在两个三角形中,但这两个三角形不全等,那么可添辅助线构造全等三角形来证。
常添的辅助线有:
平行线、垂线、中线、连结线段等。
(3)如果两线段是一个三角形的两边,可证它们所对的角相等、等角对等边;
(4)证明两条线段都等于第三条线段,即以第三条线段为媒介。
3、证明两角相等——利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定。
4、证明两直线互相垂直——利用垂直的定义、利用等腰三角形三线合一的性质。
*5、证一线段等于另一线段的2倍或一半——利用加倍法或拆分法常常要作辅助线。
添辅助线:
由于证明的需要,可以在原来的图上添画一些线,即添加辅助线来完成一些几何证明,辅助线通常画成虚线。
三角形证明题中常见在辅助线做法:
利
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