名师精品高中数学北师大版选修23同步导学案231 条件概率Word下载.docx
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0时,有P(B|A)=________________.
2.条件概率的性质
(1)P(B|A)∈________.
(2)如果B与C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
【答案】 1.
(1)P(A|B)
(2)① AB
② 2.
(1)[0,1]
设A,B为两个事件,且P(A)>
0,若P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)=________.
【解析】 由P(B|A)===.
【答案】
[质疑·
手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
解惑:
疑问2:
疑问3:
[小组合作型]
利用定义求条件概率
一个袋中有2个黑球和3个白球,如果不放回地抽取两个球,记事件“第一次抽到黑球”为A;
事件“第二次抽到黑球”为B.
(1)分别求事件A,B,AB发生的概率;
(2)求P(B|A).
【精彩点拨】 首先弄清“这次试验”指的是什么,然后判断该问题是否属于古典概型,最后利用相应公式求解.
【自主解答】 由古典概型的概率公式可知
(1)P(A)=,
P(B)===,
P(AB)==.
(2)P(B|A)===.
1.用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意,弄清概率模型;
(2)计算P(A),P(AB);
(3)代入公式求P(B|A)=.
2.在
(2)题中,首先结合古典概型分别求出了事件A、B的概率,从而求出P(B|A),揭示出P(A),P(B)和P(B|A)三者之间的关系.
[再练一题]
1.(2016·
烟台高二检测)有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.
【解析】 设“种子发芽”为事件A,“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽,又成活为幼苗),出芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8,
又P(A)=0.9,P(B|A)=,
得P(AB)=P(B|A)·
P(A)=0.8×
0.9=0.72.
【答案】 0.72
利用基本事件个数求条件概率
现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.
【精彩点拨】 第
(1)、
(2)问属古典概型问题,可直接代入公式;
第(3)问为条件概率,可以借用前两问的结论,也可以直接利用基本事件个数求解.
【自主解答】 设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)=A=30,
根据分步计数原理n(A)=AA=20,于是P(A)===.
(2)因为n(AB)=A=12,于是P(AB)===.
(3)法一:
由
(1)
(2)可得,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)===.
法二:
因为n(AB)=12,n(A)=20,
所以P(B|A)===.
1.本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法,法一为定义法,法二利用基本事件个数直接作商,是一种重要的求条件概率的方法.
2.计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率,即P(B|A).
(2)在原样本空间Ω中,先计算P(AB),P(A),再利用公式P(B|A)=计算求得P(B|A).
(3)条件概率的算法:
已知事件A发生,在此条件下事件B发生,即事件AB发生,要求P(B|A),相当于把A看作新的基本事件空间计算事件AB发生的概率,即
2.一盒子中装有4只产品,其中3只一等品,1只二等品,从中取产品两次,每次任取1只,做不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A).
【解】 将产品编号,设1,2,3号产品为一等品,4号产品为二等品,以(i,j)表示第一次,第二次分别取到第i号,第j号产品,则试验的基本事件空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},事件A有9个基本事件,AB有6个基本事件,所以P(B|A)===.
[探究共研型]
利用条件概率的性质求概率
探究1 掷一枚质地均匀的骰子,有多少个基本事件?
它们之间有什么关系?
随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件?
【提示】 掷一枚质地均匀的骰子,可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”,共6个,它们彼此互斥.“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件.
探究2 “先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中,已知第一枚出现4点,则第二枚出现“大于4”的事件,包含哪些基本事件?
【提示】 “第一枚4点,第二枚5点”“第一枚4点,第二枚6点”.
探究3 先后抛出两枚质地均匀的骰子,已知第一枚出现4点,如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率?
【提示】 设第一枚出现4点为事件A,第二枚出现5点为事件B,第二枚出现6点为事件C.则所求事件为B∪C|A.
∴P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
将外形相同的球分装三个盒子,每盒10个.其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;
第二个盒子中有红球和白球各5个;
第三个盒子中有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:
先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;
若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则试验成功.求试验成功的概率.
【精彩点拨】 设出基本事件,求出相应的概率,再用基本事件表示出“试验成功”这件事,求出其概率.
【自主解答】 设A={从第一个盒子中取得标有字母A的球},
B={从第一个盒子中取得标有字母B的球},
R={第二次取出的球是红球},
W={第二次取出的球是白球},
则容易求得P(A)=,P(B)=,
P(R|A)=,P(W|A)=,P(R|B)=,P(W|B)=.
事件“试验成功”表示为RA∪RB,又事件RA与事件RB互斥,
所以由概率的加法公式得
P(RA∪RB)=P(RA)+P(RB)
=P(R|A)·
P(A)+P(R|B)·
P(B)
=×
+×
=.
1.若事件B,C互斥,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
2.为了求复杂事件的概率,往往可以先把该事件分解成两个或多个互斥事件,求出简单事件概率后,相加即可得到复杂事件的概率.
3.已知男人中有5%患色盲,女人中有0.25%患色盲,从100个男人和100个女人中任选一人.
(1)求此人患色盲的概率;
(2)如果此人是色盲,求此人是男人的概率.
【解】 设“任选一人是男人”为事件A,“任选一人是女人”为事件B,“任选一人是色盲”为事件C.
(1)此人患色盲的概率P(C)=P(A∩C)+P(B∩C)
=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)
(2)P(A|C)===.
[构建·
体系]
1.把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A,“第二次出现反面”为事件B,则P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意,P(A)==,P(AB)=,
由条件概率公式得P(B|A)===.
【答案】 A
2.4张奖券中只有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券,则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A.B.
C.D.1
【解析】 因为第一名同学没有抽到中奖券,所以问题变为3张奖券,1张能中奖,最后一名同学抽到中奖券的概率,显然是.
【答案】 B
3.如图231,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)=________.
图231
【解析】 如图,连结OF,OG得四个全等的三角形,正方形EFGH包含4个小三角形,满足AB的有1个小三角形.故P(B|A)=.
4.抛掷骰子2次,每次结果用(x1,x2)表示,其中x1,x2分别表示第一次、第二次骰子的点数.若设A={(x1,x2)|x1+x2=10},B={(x1,x2)|x1>
x2}.则P(B|A)=________.【导学号:
62690034】
【解析】 ∵P(A)==,P(AB)=,
∴P(B|A)===.
5.一个口袋内装有2个白球和2个黑球,那么
(1)先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率是多少?
(2)先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率是多少?
【解】
(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A,“再摸出1个白球”为事件B,则“先后两次摸出白球”为事件AB,“先摸一球不放回,再摸一球”共有4×
3种结果,所以P(A)=,P(AB)==,所以P(B|A)==.所以先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率为.
(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1,“再摸出1个白球”为事件B1,“两次都摸出白球”为事件A1B1,P(A1)=,P(A1B1)==,所以P(B1|A1)===.所以先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率为.
我还有这些不足:
(1)
(2)
我的课下提升方案:
学业分层测评
(建议用时:
45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 由P(B|A)=得P(AB)=P(B|A)·
P(A)=×
【答案】 C
2.下列说法正确的是( )
A.P(B|A)<P(AB)
B.P(B|A)=是可能的
C.0<P(B|A)<1
D.P(A|A)=0
【解析】 由条件概率公式P(B|A)=及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB),故A选项错误;
当事件A包含事件B时,有P(AB)=P(B),此时P(B|A)=,故B选项正确,由于0≤P(B|A)≤1,P(A|A)=1,故C,D选项错误.故选B.
3.(2014·
全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8B.0.75
C.0.6D.0.45
【解析】 已知连续两天为优良的概率是0.6,那么在前一天空气质量为优良的前提下,要求随后一天的空
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