届一轮复习人教A版绝对值不等式学案Word格式文档下载.docx

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|x|>

（－∞，－a）∪（a，＋∞）

（－∞，0）∪（0，＋∞）

R

（2）|ax＋b|≤c（c>

0）和|ax＋b|≥c（c>

0）型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；

（3）|x－a|＋|x－b|≥c（c＞0）和|x－a|＋|x－b|≤c（c＞0）型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

2．含有绝对值的不等式的性质

（1）如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；

（2）|a|－|b|≤|a±

b|≤|a|＋|b|；

（3）如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当（a－b）（b－c）≥0时，等号成立．

[常用结论与微点提醒]

1．绝对值不等式的三种常用解法：

零点分段法，数形结合法，构造函数法．

2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．

3．可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±

b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．

诊断自测

1．思考辨析（在括号内打“√”或“×

”）

（1）若|x|＞c的解集为R，则c≤0.（　　）

（2）不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.（　　）

（3）对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．（　　）

（4）对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．（　　）

（5）对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．（　　）

答案　

（1）×

（2）√　（3）×

　（4）×

　（5）√

2．若函数f（x）＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为（　　）

A．5或8B．－1或5

C．－1或－4D．－4或8

解析　分类讨论：

当a≤2时，f（x）＝

显然，x＝－时，f（x）min＝＋1－a＝3，∴a＝－4，

当a>

2时，f（x）＝

显然x＝－时，f（x）min＝－－1＋a＝3，∴a＝8.

答案　D

3．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________．

解析　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.

∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.

答案　2

4．不等式|x－1|－|x－5|<

2的解集为________．

解析　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－（5－x）<

2，

∴－4<

2，不等式恒成立，∴x≤1.

②当1<

x<

5时，原不等式可化为x－1－（5－x）<

∴x<

4，∴1<

4，

③当x≥5时，原不等式可化为x－1－（x－5）<

2，该不等式不成立．

综上，原不等式的解集为（－∞，4）．

答案　（－∞，4）

5．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．

解析　设y＝|2x－1|＋|x＋2|

＝

当x＜－2时，y＝－3x－1＞5；

当－2≤x＜时，5≥y＝－x＋3＞；

当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.

因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.

解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故实数a的取值范围为.

答案　

6．（2017·

杭州调研）设函数f（x）＝|x－a|＋3x，其中a>

0.

（1）当a＝1时，则不等式f（x）≥3x＋2的解集为________．

（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤－1}，则a的值为________．

解析　

（1）当a＝1时，f（x）≥3x＋2可化为|x－1|≥2.

由此可得x≥3或x≤－1.

故当a＝1时，不等式f（x）≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．

（2）由f（x）≤0得|x－a|＋3x≤0.

此不等式化为不等式组或

即或

因为a>

0，所以不等式组的解集为.

由题设可得－＝－1，故a＝2.

答案　

（1）{x|x≥3或x≤－1}　

（2）2

考点一　含绝对值不等式的解法

【例1】（一题多解）解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.

解　法一　如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2，1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．

法二　原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔

或

或解得x≥2或x≤－3，

∴原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．

法三　将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.

令f（x）＝|x－1|＋|x＋2|－5，则

f（x）＝作出函数的图象，如图所示．

由图象可知，当x∈（－∞，－3]∪[2，＋∞）时，y≥0，

规律方法　形如|x－a|＋|x－b|≥c（或≤c）型的不等式主要有三种解法：

（1）分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为（－∞，a]，（a，b]，（b，＋∞）（此处设a＜b）三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；

（2）几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c（c＞0）的几何意义：

数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；

（3）图象法：

作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．

【训练1】（2017·

全国Ⅲ卷改编）已知函数f（x）＝|x＋1|－

|x－2|，则：

（1）不等式f（x）≥1的解集为________；

（2）若不等式f（x）≥x2－x＋m的解集非空，则m的取值范围为________．

解析　

（1）f（x）＝

当x<

－1时，f（x）＝－3≥1无解；

当－1≤x≤2时，由2x－1≥1，得1≤x≤2；

当x>

2时，f（x）＝3≥1恒成立．

故f（x）≥1的解集为[1，＋∞）．

（2）不等式f（x）≥x2－x＋m等价于f（x）－x2＋x≥m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x有解．

又|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－＋≤，当且仅当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.故m的取值范围是.

答案　

（1）[1，＋∞）　

（2）

考点二　绝对值不等式性质的应用

【例2】

（1）对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；

（2）对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．

解　

（1）∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|（x－1）－x|＝1，

∴|y－1|＋|y＋1|≥|（y－1）－（y＋1）|＝2，

∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.

∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.

（2）|x－2y＋1|＝|（x－1）－2（y－1）|≤|x－1|＋|2（y－2）＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.

规律方法　求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：

（1）利用绝对值的几何意义；

（2）利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±

b|≥|a|－|b|；

（3）利用零点分区间法．

【训练2】

（1）若关于x的不等式|2014－x|＋|2015－x|≤d有解，求实数d的取值范围；

（2）不等式≥|a－2|＋siny对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围．

解　

（1）∵|2014－x|＋|2015－x|≥|2014－x－2015＋x|＝1，

∴关于x的不等式|2014－x|＋|2015－x|≤d有解时，d≥1.

（2）∵x＋∈（－∞，－2]∪[2，＋∞），

∴∈[2，＋∞），其最小值为2.

又∵siny的最大值为1，

故不等式≥|a－2|＋siny恒成立时，

有|a－2|≤1，解得a∈[1，3]．

考点三　含绝对值的不等式的应用

【例3】（2016·

浙江卷）已知a≥3，函数F（x）＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝

（1）求使得等式F（x）＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；

（2）①求F（x）的最小值m（a）；

②求F（x）在区间[0，6]上的最大值M（a）．

解　

（1）由于a≥3，故当x≤1时，（x2－2ax＋4a－2）－2|x－1|＝x2＋2（a－1）（2－x）＞0，

当x＞1时，（x2－2ax＋4a－2）－2|x－1|

＝（x－2）（x－2a）．

所以使得等式F（x）＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围是[2，2a]．

（2）①设函数f（x）＝2|x－1|，g（x）＝x2－2ax＋4a－2，则f（x）min＝f

（1）＝0，g（x）min＝g（a）＝－a2＋4a－2，

所以，由F（x）的定义知m（a）＝min，

即m（a）＝

②当0≤x≤2时，F（x）＝f（x）≤max＝2＝F

（2）．

当2≤x≤6时，F（x）＝g（x）≤max

＝max＝max.

所以M（a）＝

规律方法　

（1）解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．

（2）数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．

【训练3】已知函数f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a>

（1）当a＝1时，求不等式f（x）>

1的解集；

（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求实数a的取值范围．

解　

（1）当a＝1时，f（x）>

1化为|x＋1|－2|x－1|－1>

当x≤－1时，不等式化为x－4>

0，无解；

当－1<

1时，不等式化为3x－2>

0，解得<

1；

当x≥1时，不等式化为－x＋2>

0，解得1≤x<

2.

所以f（x）>

1的解集为.

（2）由题设可得，f（x）＝

所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B（2a＋1，0），C（a，a＋1），

△ABC的面积为（a＋1）2.

由题设得（a＋1）2>

6，故a>

所以实数a的取值范围为（2，＋∞）．

基础巩固题组

一、选择题

1．已知全集U＝R，集合M＝{x||x－1|≤2}，则∁UM＝（　　）

A．{x|－1<

3}B．{x|－1≤x≤3}

C．{x|x<

－1或x>

3}D．{x|x≤－1或x≥3}

解析　M＝{x|－1≤x≤3}，又知全集是R，所以其补集为∁UM＝{x|x<

3}．

答案　C

2．不等式|x－2|－|x－1|>

0的解集为（　　）

A.B.

C.D.

解析　不等式可化为|x－2|>

|x－1|，两边平方化简得2x<

3，∴x<

.

答案　A

3．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10