江苏省南京淮安市届高三模拟考试数学试题WORD解析版Word下载.docx
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点评:
本题考查集合的并集运算,注意要考虑集合元素的互异性.
2.(5分)(2013•南京二模)函数f(x)=sinxcosx的最小正周期是 π .
二倍角的正弦;
三角函数的周期性及其求法.3930094
专题:
计算题;
三角函数的图像与性质.
根据二倍角的正弦公式,化简可得f(x)=sin2x,再由三角函数的周期公式即可算出函数f(x)的最小正周期.
∵sin2x=2sinxcosx
∴f(x)=sinxcosx=sin2x,
因此,函数f(x)的最小正周期T==π
π
本题给出三角函数式,求函数的周期,着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识,属于基础题.
3.(5分)(2013•南京二模)若复数(i是虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为 2 .
复数的基本概念.3930094
计算题.
利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出.
∵复数===是纯虚数,
∴,解得m=2.
因此实数m的值为2.
故答案为2.
熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键.
4.(5分)(2013•南京二模)盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球,若从中随机地摸出两只球,则两只球颜色相同的概率是 .
古典概型及其概率计算公式.3930094
概率与统计.
因为只是从盒子中摸出求,对3只白球和2只黑球标记后无需思考排序问题,用列举法写出从中随机地摸出两只球的所有摸法种数,查出两只球颜色相同的摸法种数,则两只球颜色相同的概率可求.
记3只白球分别为白1,白2,白3,2只黑球分别记为黑1,黑2.
从中随机地摸出两只球,所有不同的摸法为(白1白2)(白1白3)(白1黑1)(白1黑2)(白2白3)(白2黑1)
(白2黑2)(白3黑1)(白3黑2)(黑1黑2)共10种,
其中两只球颜色相同的摸法有(白1白2)(白1白3)(白2白3)(黑1黑2)共4种,
所以两只球颜色相同的概率是p=.
故答案为.
本题考查了古典概型及其概率计算公式,考查了列举法列举随机事件的个数,是基础题.
5.(5分)(2013•南京二模)根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI技术规定(试行)》,AQI共分为六级:
(0,50]为优,(50,100]为良,(100,150]为轻度污染,(150,200]为中度污染,(200,300]为重度污染,300以上为严重污染.2012年12月1日出版的《A市早报》对A市2012年11月份中30天的AQI进行了统计,频率分布直方图如图所示,根据频率分布直方图,可以看出A市该月环境空气质量优、良的总天数为 12 .
频率分布直方图.3930094
图表型.
根据频率分布直方图,估计该月环境空气质量优、良的频率和,进而根据频数=频率×
样本容量可得答案.
由频率分布直方图得:
样本中“环境空气质量优、良”的频率为(0.002+0.006)×
50=0.04…4分
由样本估计总体,A市该月环境空气质量优、良的总天数为0.04×
30=12天…8分
12.
本题考查的知识点是频率分布直方图,熟练掌握频率分布直方图中频率=矩形的高×
组距是解答的关键.
6.(5分)(2013•南京二模)如图是一个算法流程图,其输出的n的值是 5 .
程序框图.3930094
本题是一个循环结构,由图可以看出此循环体执行5次,由于每次执行都是对S加上3n,由此规律计算出结果.
此图,此循环体共执行了5次,
第一次执行S=1+3=4,n=2;
第二次执行后TS=1+3+6=10,n=3;
第三次执行后,S=1+3+6+9=19,n=4;
第四次执行后,S=1+3+6+9+12=31,n=5;
此时S=31>20,
故退出循环体,输出n=5.
5.
本题考查循环结构,解题的关键是根据框图得出算法以及运行的过程,从而计算出所要的结果.
7.(5分)(2013•南京二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm,圆心角为的扇形,则此圆锥的高为 cm.
点、线、面间的距离计算;
弧长公式;
旋转体(圆柱、圆锥、圆台).3930094
空间位置关系与距离.
设此圆的底面半径为r,高为h,母线为l,根据底面圆周长等于展开扇形的弧长,建立关系式解出r=1,再根据勾股定理得h==2cm,即得此圆锥高的值.
设此圆的底面半径为r,高为h,母线为l,则
∵圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm,圆心角为的扇形,
∴l=3,得2πr=×
l=2π,解之得r=1
因此,此圆锥的高h===2cm
2
本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径为和圆心角,求圆锥高的大小.着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识,属于基础题.
8.(5分)(2013•南京二模)在平面直角坐标系xOy中,设过原点的直线l与圆C:
(x﹣3)2+(y﹣1)2=4交于M、N两点,若MN,则直线l的斜率k的取值范围是 [0,] .
直线与圆的位置关系.3930094
直线与圆.
如图所示,过点C作OE⊥MN,垂足为E,连接CM.由|MN|,则可得|CE|≤,利用点到直线的距离公式求出|CE|即可.
如图所示,过点C作OE⊥MN,垂足为E,连接CM.
设直线MN的方程为y=kx,则|CE|==,
∵|MN|,∴,
化为4k2﹣3k≤0,解得.
故直线l的斜率k的取值范围是.
熟练掌握直线与圆相交时弦长l、半径r及弦心距d三者之间的关系及点到直线的距离公式是解题的关键.
9.(5分)(2013•南京二模)设数列{an}是公差不为0的等差数列,Sn为其前n项和,若,S5=5,则a7的值为 9 .
等差数列的前n项和;
等差数列的通项公式.3930094
等差数列与等比数列.
设出等差数列的公差,由题意列关于首项和公差的二元一次方程组,求出首项和公差,则a7的值可求.
设等差数列{an}的公差为d(d≠0),由,S5=5,
得,
整理得,解得.
所以a7=a1+6d=﹣3+6×
2=9.
故答案为9.
本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式,考查了学生的计算能力,是基础题.
10.(5分)(2013•南京二模)若函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x﹣1﹣3,则不等式f(x)>1的解集为 (﹣2,0)∪(3,+∞) .
奇偶性与单调性的综合;
其他不等式的解法.3930094
函数的性质及应用;
不等式的解法及应用.
当x=0时根据奇函数的特性得f(x)=0,故原不等式不成立;
当x>0时,原不等式化成2x﹣1﹣3>1,解之可得x>3;
当x<0时,结合函数为奇函数将原不等式化为2﹣﹣x﹣1﹣3<﹣1,解之可得﹣2<x<0.最后综合即可得到原不等式的解集.
①当x=0时,f(x)=0,显然原不等式不能成立
②当x>0时,不等式f(x)>1即2x﹣1﹣3>1
化简得2x﹣1>4,解之得x>3;
③当x<0时,不等式f(x)>1可化成﹣f(﹣x)>1,即f(﹣x)<﹣1,
∵﹣x>0,可得f(﹣x)=2﹣x﹣1﹣3,
∴不等式f(﹣x)<﹣1化成2﹣x﹣1﹣3<﹣1,
得2﹣x﹣1<2,解之得﹣2<x<0
综上所述,可得原不等式的解集为(﹣2,0)∪(3,+∞)
本题给出奇函数在大于0时的不等式,求不等式f(x)>1的解集.着重考查了函数的奇偶性、函数解析式的求法和指数不等式的解法等知识,属于基础题.
11.(5分)(2013•南京二模)在△ABC中,已知AB=2,BC=3,∠ABC=60°
,BD⊥AC,D为垂足,则的值为 .
向量在几何中的应用.3930094
平面向量及应用.
因为BD是AC边上的高,所以BD丄CC,•=0,故有=•(+)=2+•=.由△ABC的面积=AB×
BCsin60°
=AC×
BD结合余弦定理能求出BD的长,从而得出结果.
∵BD是AC边上的高,∴BD丄AC,
∴•=0,
∴=•(+)=2+•=.
又△ABC的面积=AB×
或△ABC的面积=AC×
BD
∴AB×
∴×
2×
3sin60°
=×
∴BD=
∴=.
.
本题考查平面向量的数量积的运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意向量垂直的合理运用.
12.(5分)(2013•南京二模)关于x的不等式(2ax﹣1)lnx≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的值为 .
函数恒成立问题.3930094
综合题;
依题意,对x∈(0,1],x∈[1,+∞)分类讨论,构造f(x)=,利用函数的单调性即可求得实数a的值.
∵(2ax﹣1)lnx≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,
∴当x∈(0,1]时,lnx≤0,
∴2ax﹣1≤0,
∴a≤(0<x≤1),
令f(x)=,则f(x)在(0,1]上单调递减,
∴f(x)min=f
(1)=
∴a≤.①
当x∈[1,+∞)时,lnx≥0,
∴(2ax﹣1)lnx≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立⇔2ax﹣1≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,
同理可求a≥f(x)max=f
(1)=.②
由①②得:
a=.
本题考查函数恒成立问题,考查构造函数与分类讨论思想,考查函数的单调性,属于难题.
13.(5分)(2013•南京二模)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:
.设过点M(0,1)的直线l与双曲线C交于A、B两点,若,则直线l的斜率为 .
双曲线的简单性质;
直线的斜率.3930094
圆锥曲线的定义、性质与方程.
设直线AB方程为y=kx+1,与双曲线方程联解得(3﹣4k2)x2﹣8kx﹣16=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可得x1+x2=且x1x2=,根据得x1=﹣2x2,将三个式子联解,即可得到直线l的斜率.
设直线AB方程为y=kx+1,与双曲线消去y,
得(3﹣4k2)x2﹣8kx﹣16=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由根与系数的关系,得…
(1)
∵,可得x1=﹣2x2,∴代入
(1)
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