九年级数学第2讲二次函数探究二次函数与等腰三角形的综合问题教案.docx
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九年级数学第2讲二次函数探究二次函数与等腰三角形的综合问题教案
二次函数与等腰三角形的综合问题
知识点
二次函数综合;等腰三角形的性质与判定;相似三角形的性质;
教学目标
1.熟练运用所学知识解决二次函数综合问题
2.灵活运用数形结合思想
教学重点
巧妙运用数形结合思想解决综合问题;
教学难点
灵活运用技巧及方法解决综合问题;
知识讲解
考点1二次函数的基础知识
1.一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a≠0),那么y叫做x的二次函数,它是关于自变量的二次式,二次项系数必须是非零实数时才是二次函数,这也是判断函数是不是二次函数的重要依据.当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的三种表达形式分别为:
一般式:
y=ax2+bx+c,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式;顶点式:
y=a(x-h)2+k,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式;交点式:
y=a(x-x1)(x-x2),通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1,x2才能求出此解析式;对于y=ax2+bx+c而言,其顶点坐标为(-,).对于y=a(x-h)2+k而言其顶点坐标为(h,k),由于二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素:
开口方向,对称轴,顶点.
考点2等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一性质”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,(不是等边三角形的情况下)只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形的腰与它的高的直接的关系是:
腰大于高。
间接的关系是:
腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
考点3探究等腰三角形的一般思路
探究等腰三角形的存在性问题时,具体方法如下:
(1)假设结论成立;
(2)找点:
当所给定长未说明是等腰的底还是腰时,需分情况讨论,具体方法如下:
①当定长为腰时,找已知直线上满足条件的点时,以定长的某一端点为圆心,以定长为半径画弧,若所画弧与数轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时,交点即为所求的点;若所画弧与数轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时,满足条件的点不存在;
②当定长为底边时,根据尺规作图作出定长的垂直平分线,若作出的垂直平分线与数轴或抛物线有交点,则交点即为所求的点,若作出的垂直平分线与数轴或抛物线无交点,则满足条件的点不存在。
以上方法即可找出所有符合条件的点;
(3)计算:
在求点坐标时,大多时候利用相似三角形求解,如果图形中没有相似三角形,可以通过添加辅助线构造相似三角形,有时也可利用直角三角形的性质进行求解。
例题精析
例1如图,抛物线y=-x2+x-4与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点M。
P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)。
分别过点A、B 作直线CP的垂线,垂足分别为D、E,连接MD、ME。
(1)求点A、B的坐标(直接写出结果),并证明△MDE是等腰三角形;
(2)△MDE能否为等腰直角三角形?
若能,求此时点P的坐标,若不能,说明理由;
(3)若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”,其他条件不变,△MDE能否为等腰直角三角形?
若能,求此时点P的坐标(直接写出结果),若不能,说明理由。
例2如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程;
(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;
(3)试判断△AOC与△COB是否相似?
并说明理由;
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?
若不存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
例3如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标;
(3)将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到另一个三角形,将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S,用m的代数式表示S.
例4在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣(m+n)x+mn(m>n)与x轴相交于A、B两点(点A位于点B的右侧),与y轴相交于点C.
(1)若m=2,n=1,求A、B两点的坐标;
(2)若A、B两点分别位于y轴的两侧,C点坐标是(0,﹣1),求∠ACB的大小;
(3)若m=2,△ABC是等腰三角形,求n的值.
例5如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点M(﹣2,),顶点坐标为N(﹣1,),且与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线对称轴上的动点,当△PBC为等腰三角形时,求点P的坐标;
(3)在直线AC上是否存在一点Q,使△QBM的周长最小?
若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.
课程小结
有针对性的对等腰三角形的性质、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习,有助于为研究二次函数与等腰三角形的综合问题提供有利的依据。
在探究二次函数与等腰三角形的综合问题时,抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出等腰三角形,并能运用等腰三角形的性质解决问题,掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。
例1【规范解答】
(1)抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4,令y=0,即﹣x2+x﹣4=0,解得x=1或x=5,
∴A(1,0),B(5,0).
如答图1所示,
分别延长AD与EM,交于点F;∵AD⊥PC,BE⊥PC,∴AD∥BE,∴∠MAF=∠MBE;
在△AMF与△BME中,∠MAF=∠MBE,MA=MB,∠AMF=∠BME;∴△AMF≌△BME(ASA),
∴ME=MF,即点M为Rt△EDF斜边EF的中点,∴MD=ME,即△MDE是等腰三角形
(2)能;抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4=﹣(x﹣3)2+,∴对称轴是直线x=3,M(3,0);
令x=0,得y=﹣4,∴C(0,﹣4)△MDE为等腰直角三角形,有3种可能的情形;
①若DE⊥EM,由DE⊥BE,可知点E、M、B在一条直线上,而点B、M在x轴上,因此点E必然在x轴上,
由DE⊥BE,可知点E只能与点O重合,即直线PC与y轴重合,不符合题意,故此种情况不存在;
②若DE⊥DM,与①同理可知,此种情况不存在;
③若EM⊥DM,如答图2所示
设直线PC与对称轴交于点N,∵EM⊥DM,MN⊥AM,∴∠EMN=∠DMA在△ADM与△NEM中,∠EMN=∠DMA,EM=DM,∠ADM=∠NEM=135°;∴△ADM≌△NEM(ASA),∴MN=MA
抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4=﹣(x﹣3)2+,故对称轴是直线x=3,∴M(3,0),MN=MA=2,
∴N(3,2)设直线PC解析式为y=kx+b,∵点N(3,2),C(0,﹣4)在抛物线上,
∴,解得k=2,b=﹣4,∴y=2x﹣4,将y=2x﹣4代入抛物线解析式得2x﹣4=﹣x2+x﹣4
解得x=0或x=,当x=0时,交点为点C;当x=时,y=2x﹣4=3
∴P(,3)综上所述,△MDE能成为等腰直角三角形,此时点P坐标为(,3)
(3)能;如答题3所示,设对称轴与直线PC交于点N;
与
(2)同理,可知若△MDE为等腰直角三角形,直角顶点只能是点M;∵MD⊥ME,MA⊥MN,∴∠DMN=∠EMB
在△DMN与△EMB中,∠DMN=∠EMB,MD=MB,∠MDN=∠MEB=45°;∴△DMN≌△EMB(ASA),
∴MN=MB;∴N(3,﹣2)
设直线PC解析式为y=kx+b,∵点N(3,﹣2),C(0,﹣4)在抛物线上,
∴,解得k=,b=﹣4,∴y=x﹣4,
将y=x﹣4代入抛物线解析式得x﹣4=﹣x2+x﹣4,
解得x=0或x=,
当x=0时,交点为点C;
当x=时,y=x﹣4=,∴P(,)
综上所述,△MDE能成为等腰直角三角形,此时点P坐标为(,)
【总结与反思】
(1)在抛物线解析式中,令y=0,解一元二次方程,可求得点A、点B的坐标;
如答图1所示,作辅助线,构造全等三角形△AMF≌△BME,得到点M为为Rt△EDF斜边EF的中点,从而得到MD=ME,问题得证;
(2)首先分析,若△MDE为等腰直角三角形,直角顶点只能是点M;如答图2所示,设直线PC与对称轴交于点N,首先证明△ADM≌△NEM,得到MN=AM,从而求得点N坐标为(3,2);其次利用点N、点C坐标,求出直线PC的解析式;最后联立直线PC与抛物线的解析式,求出点P的坐标;
(3)当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时,解题思路与
(2)完全相同;
例2【规范解答】
(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A(﹣2,0),
∴﹣×(﹣2)2+b×(﹣2)+4=0,解得:
b=,∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4,
又∵y=﹣x2+x+4=﹣(x﹣3)2+,∴对称轴方程为:
x=3.
(2)在y=﹣x2+x+4中,令x=0,得y=4,∴C(0,4);令y=0,即﹣x2+x+4=0,整理得x2﹣6x﹣16=0,解得:
x=8或x=﹣2,∴A(﹣2,0),B(8,0).
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(8,0),C(0,4)的坐标分别代入解析式,得:
,解得k=,b=4,∴直线BC的解析式为:
y=x+4.
(3)可判定△AOC∽△COB成立.理由如下:
在△AOC与△COB中,
∵OA=2,OC=4,OB=8,∴,又∵∠AOC=∠BOC=90°,∴△AOC∽△COB.
(4)∵抛物线的对称轴方程为:
x=3,可设点Q(3,t),则可求得:
AC===,AQ==,CQ==.
①当AQ=CQ时,有=,25+t2=t2﹣8t+16+9,解得t=0,
∴Q1(3,0);
②当AC=AQ时,有=,t2=﹣5,此方程无实数根,∴此时△ACQ不能构成等腰三角形;
③当AC=CQ时,有=,整理得:
t2﹣8t+5=0,解得:
t=4±,
∴点Q坐标为:
Q2(3,4+),Q3(3,4﹣).
综上所述,存在点Q,使△ACQ为等腰三角形,点Q的坐标为:
Q1(3,0),Q2(3,4+),Q3(3,4﹣).
【总结与反思】
(1)利用待定系数法求出抛物线解析式,利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程;
(2)在抛物线解析式中,令x=0,可求出点C坐标;令y=0,可求出点B坐标.再利用待定系数法求出直线BD的解析式;
(3)根据,∠AOC=∠BOC=90°,可以判定△AOC∽△COB;
(4)本问为存在型问题.若△ACQ为等腰三角形,则有三种可能的情形,需要分类讨论,逐一计算,避免漏解.
例3【规范解答】解:
(1)由题意可知,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为(﹣1,0),则
,解得.故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)①当MA=MB时,M(
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