数学拉灯问题Word文档下载推荐.doc
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C
B
F
D
2
G
3
5
有2000盏亮着的电灯,各有一个拉线开关控制着,现按其顺序号编号为1,2,3,…,2000,然后将编号为2的倍数的灯线拉一下,再将编号为3的倍数的灯线拉一下,最后将编号为5的倍数的灯线拉一下,三次拉完之后,亮着的灯有盏。
分析与解:
先考虑什么样的灯的亮着的,分两类,一类是动都没动过的,一类是动过两次的。
画三个集合圈的韦恩图来表示。
也就是我们最终要求框内圈外部分的数据是一动不动的。
D,E,F三小部分是动过两次的。
你可以把图中每一小块填出来,再相加,也可以用下面的方法做。
如右图所示,拉了3次的灯(即能同时被2,3,5整除的数)有G=
题目2.六
(2)班同学47名,一天上体育课时,排成一列横队,都面向老师,然后按1,2,3,4,……46,47报数,老师要求学生按照如下的步骤进行操作:
先让报数是3的倍数的同学向后转;
再让报数是5的倍数的同学向后转。
经过这两步骤以后,还有多少名同学面向老师?
与上题形式一样换个说法,是一个关于两个元素的集合问题。
把面向老师理解为灯亮着,背向理解为灯灭了。
试试看是多少,极为典型,小升初必备知识。
答案:
29名。
47÷
3=15……2
5=9……2,
(3×
5)=3……2
两次向后转的共15+9=24(人次),其中有3人两次都向后转了,所以面向老师的同学还有47-(24-3×
2)=29名。
.
题目3.在1997*1997的正方形棋盘上的每一格都装有一盏灯和一个按钮。
按钮每按一次,与它同一行和同一列的灯泡改变一次状态,即由亮变为不亮,或由不亮变为亮。
如果原来每盏灯都是不亮的,请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?
题目分析:
每按一次按钮,同行、同列的灯泡都改变一次状态,对角线上的灯泡都是既不同行、也不同列的,所以,对角线上有多少个,最少就必须要有多少次。
这样,剩下的关键是对角线上的个数次能否实现。
题中1997*1997的正方形棋盘对角线上有1997个灯泡,1997是奇数,可以实现。
解答:
一方面,原来每盏灯都是不亮的,要使得灯全部变亮,每个灯泡必须被改变状态奇数次;
另一方面,按钮每按一次,与它同一行和同一列的灯泡改变一次状态,对角线上的灯泡既不同行、也不同列,所以,要使得灯全部变亮,即至少改变状态一次,则至少需要1997次;
同时,1997次可以实现使全部灯变亮。
实现方法:
依次将第一排中的1997个按钮各按一遍。
题目4.设标有A、B、C、D、E、F、G记号的7盏顺次排成一行,每盏灯安装一个开关。
现在A、C、E、G4盏灯开着,其余3盏灯是关的。
小刚从灯A开始,顺次拉动开关,即从A到G,再从A开始依次拉动开尖,即又从A到G,….他这样拉动了1999次开关后。
问:
哪几盏灯是开着的?
A、C、F开着。
分析:
一盏灯被拉动奇数次后,改变原来的状态,即开的变成关的,关的变成开的,而一盏灯的开关被拉动偶数次后,不改变原来的状态,即开的仍为开的关的仍为关的。
因此本题的关键是计算各盏灯被拉次数的奇偶性。
由于1999=7×
285+4,再由灯的开关的拉法,我们知A,B,C,D4盏灯的开关各被拉支了286次,而E,F,G3盏灯的开关各被拉动了285闪。
所以小刚拉动1999次开关后,A,B,C,D4盏灯不改变原来的状态,E,F,G3盏灯将改变原来的状态。
由于开始时A,C,E,G,4盏灯是开着的。
因此最后A、C、F3盏灯是开着。
题目5.四盏灯如图所示组成舞台彩灯,且每30秒钟灯的颜色改变一次,第一次上下两灯互换颜色,第二次左右两灯互换颜色,第三次又上下两灯互换颜色,…,这样一直进行下去,问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列?
红
黄
蓝
白
经观察发现,每经过4次互换,四盏灯的颜色排列重复一次,而1小时=60分钟=120×
30秒,所以此题实质是求120除以4的余数,因为120≡0(mod4),所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。
题目6.走廊里有10盏电灯,从1到10编号,开始时电灯全部关闭。
有10个学生依次通过走廊,第1个学生把所有的灯绳都拉了一下,第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下,第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下……第10个学生把第10号灯的灯绳拉了一下。
假定每拉动一次灯绳,该灯的亮与不亮就改变一次。
试判定:
当这10个学生通过走廊后,走廊里哪些号数的灯是亮的?
1,4,9号灯。
提示:
灯绳被拉动奇数次的灯亮着。
可从最简单的情况考虑,把拉过某号的学生号码写出来寻找规律,如1号是第1个学生拉过,4是1,2,4号拉过,6是1,2,3,4号学生拉过,10是1,2,5,10号学生拉过,也就是第i号灯的灯绳被拉的次数就是i的所有约数的个数。
由自然数因数分解的性质知,只有当i是平方数时,i的约数的个数才是奇数,所以只有1,4,9号灯亮着。
题目7.将上题数据改成2006:
走廊里有2006盏电灯,从1到2006编号,开始时电灯全部亮着。
有2006个学生依次通过走廊,第1个学生把所有的灯绳都拉了一下,第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下,第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下……第2006个学生把第2006号灯的灯绳拉了一下。
当这2006个学生通过走廊后,走廊里还有多少灯是亮的?
可把小于2006的平方数的个数找出来,44的平方=1936,45的平方=2025大于2006,所以小于2006的平方数有44个。
亮着的灯有2006-44=1962盏。
解题在于实践:
题目8.设标有A,B,C,D,E,F,G的7盏灯顺次排成一行,每盏灯安装一个开关。
现在A,C,D,G这4盏灯亮着,其余3盏灯没亮。
小华从灯A开始顺次拉动开关,即从A到G,再从A开始顺次拉动开关,他这样拉动了999次开关后,哪些灯亮着,哪些灯没亮?
解:
一盏灯的开关被拉动奇数次后,将改变原来的状态,即亮的变成熄的,熄的变成亮的;
而一盏灯的开关被拉动偶数次后,不改变原来的状态。
由于999=7×
142+5,
因此,灯A,B,C,D,E各被拉动143次开关,灯F,G各被拉动142次开关。
所以,当小华拉动999次后B,E,G亮,而A,C,D,F熄。
题目9.有2009盏亮着的电灯,各有一个拉线开关控制着,现按其顺序号编号为1,2,3,…,2006,然后将编号为2的倍数的灯线拉一下,再将编号为3的倍数的灯线拉一下,最后将编号为5的倍数的灯线拉一下,三次拉完之后,亮着的灯有盏。
本题模仿例题做一下。
不提供答案。
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