中考数学压轴题Word文件下载.docx
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∴BP=10﹣x,AQ=14﹣2x,∵△AQH′∽△ABC,
∴,即:
,解得:
QH′=(14﹣x),
∴y=PB•QH′=(10﹣x)•(14﹣x)=x2﹣x+42(3<x<7);
∴y与x的函数关系式为:
y=;
(3)∵AP=x,AQ=14﹣x,
∵PQ⊥AB,∴△APQ∽△ACB,∴,即:
,
解得:
x=,PQ=,∴PB=10﹣x=,∴,
∴当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似;
(4)存在.
理由:
∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4,AP=x=5,∵AC=8,AB=10,
∴PQ是△ABC的中位线,∴PQ∥AB,∴PQ⊥AC,
∴PQ是AC的垂直平分线,∴PC=AP=5,∴当点M与P重合时,△BCM的周长最小,
∴△BCM的周长为:
MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16.∴△BCM的周长最小值为16.
2、(12分)如图,矩形ABCD中,点P在边CD上,且与点C、D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连接PQ,PQ的中点为M.
(1)求证:
△ADP∽△ABQ;
(2)若AD=10,AB=20,点P在边CD上运动,设DP=x,BM2=y,求y与x的函数关系式,并求线段BM长的最小值;
(3)若AD=10,AB=a,DP=8,随着a的大小的变化,点M的位置也在变化,当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围。
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90°
∵∠ABC+∠ABQ=180°
∴∠ABQ=∠ADP=90°
∵AQ⊥AP∴∠PAQ=90°
∴∠QAB+∠BAP=90°
又∵∠PAD+∠BAP=90°
∴∠PAD=∠QAB
在△ADP与△ABQ中
∵
∴△ADP∽△ABQ
(2)如图,作MN⊥QC,则∠QNM=∠QCD=90°
又∵∠MQN=∠PQC
∴△MQN∽△PQC∴
∵点M是PQ的中点∴
∴
又∵
∴
∵△ADP∽△ABQ
∴∴
在Rt△MBN中,由勾股定理得:
当即时,线段BM长的最小值.
(3)如图,当点PQ中点M落在AB上时,此时QB=BC=10
由△ADP∽△ABQ得解得:
∴随着a的大小的变化,点M的位置也在变化,
当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围为:
3、如图,抛物线关于直线对称,与坐标轴交于三点,且,点在抛物线上,直线是一次函数的图象,点是坐标原点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线平分四边形的面积,求的值.
(3)把抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线与直线交于两点,问在轴正半轴上是否存在一定点,使得不论取何值,直线与总是关于轴对称?
若存在,求出点坐标;
若不存在,请说明理由.
答案:
(1)因为抛物线关于直线x=1对称,AB=4,所以A(-1,0),B(3,0),
由点D(2,1.5)在抛物线上,所以,所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,
又,即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.
24.(14分)(2013•温州)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于点A(6,0),B(0.8),点C的坐标为(0,m),过点C作CE⊥AB于点E,点D为x轴上的一动点,连接CD,DE,以CD,DE为边作▱CDEF.
(1)当0<m<8时,求CE的长(用含m的代数式表示);
(2)当m=3时,是否存在点D,使▱CDEF的顶点F恰好落在y轴上?
若存在,求出点D的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)点D在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得▱CDEF为矩形,请求出所有满足条件的m的值.
解答:
(1)∵A(6,0),B(0,8).
∴OA=6,OB=8.
∴AB=10,
∵∠CEB=∠AOB=90°
又∵∠OBA=∠EBC,
∴△BCE∽△BAO,
∴=,即=,
∴CE=﹣m;
(2)∵m=3,
∴BC=8﹣m=5,CE=﹣m=3.
∴BE=4,
∴AE=AB﹣BE=6.
∵点F落在y轴上(如图2).
∴DE∥BO,
∴△EDA∽△BOA,
∴=即=.
∴OD=,
∴点D的坐标为(,0).
(3)取CE的中点P,过P作PG⊥y轴于点G.
则CP=CE=﹣m.
(Ⅰ)当m>0时,
①当0<m<8时,如图3.易证∠GCP=∠BAO,
∴cos∠GCP=cos∠BAO=,
∴CG=CP•cos∠GCP=(﹣m)=﹣m.
∴OG=OC+OG=m+﹣m=m+.
根据题意得,得:
OG=CP,
∴m+=﹣m,
m=;
②当m≥8时,OG>CP,显然不存在满足条件的m的值.
(Ⅱ)当m=0时,即点C与原点O重合(如图4).
(Ⅲ)当m<0时,
①当点E与点A重合时,(如图5),
易证△COA∽△AOB,
m=﹣.
②当点E与点A不重合时,(如图6).
OG=OC﹣OG=﹣m﹣(﹣m)
=﹣m﹣.
由题意得:
∴﹣m﹣=﹣m.
解得m=﹣.
综上所述,m的值是或0或﹣或﹣.
28、如图,过原点的直线l1:
y=3x,l2:
y=x.点P从原点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动.直线PQ交y轴正半轴于点Q,且分别交l1、l2于点A、B.设点P的运动时间为t秒时,直线PQ的解析式为y=﹣x+t.△AOB的面积为Sl(如图①).以AB为对角线作正方形ACBD,其面积为S2(如图②).连接PD并延长,交l1于点E,交l2于点F.设△PEA的面积为S3;
(如图③)
(1)Sl关于t的函数解析式为 _________ ;
(2)直线OC的函数解析式为 _________ ;
(3)S2关于t的函数解析式为 _________ ;
(4)S3关于t的函数解析式为 _________ .
(1)由,
得,
∴A点坐标为(,)
由
得
∴B点坐标为(,).
∴S1=S△AOP﹣S△BOP=t2
(2)由
(1)得,点C的坐标为(,).
设直线OC的解析式为y=kx,根据题意得=,
∴k=,
∴直线OC的解析式为y=x.
(3)由
(1)、
(2)知,正方形ABCD的边长CB=t﹣=,
∴S2=CB2=()2=.
(4)设直线PD的解析式为y=k1x+b,由
(1)知,点D的坐标为(t,),
将P(t,0)、D()代入得,
解得
∴直线PD的解析式为y=
由,
∴E点坐标为(,)
∴S3=S△EOP﹣S△AOP=t•t﹣t•t=t2.
25.(10分)(2013•天津)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),点B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠0BA.
(Ⅰ)如图①,求点E的坐标;
(Ⅱ)如图②,将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′,连接A′B、BE′.
①设AA′=m,其中0<m<2,试用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;
②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).
考点:
相似形综合题.
分析:
(Ⅰ)根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到=,则易求OE=1,所以E(0,1);
(Ⅱ)如图②,连接EE′.在Rt△A′BO中,勾股定理得到A′B2=(2﹣m)2+42=m2﹣4m+20,在Rt△BE′E中,利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9,则
A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2(m﹣1)2+27.所以由二次函数最值的求法知,当m=1即点E′的坐标是(1,1)时,A′B2+BE′2取得最小值.
(Ⅰ)如图①,∵点A(﹣2,0),点B(0,4),
∴OA=2,OB=4.
∵∠OAE=∠0BA,∠EOA=∠AOB=90°
∴△OAE∽△OBA,
解得,OE=1,
∴点E的坐标为(0,1);
(Ⅱ)①如图②,连接EE′.
由题设知AA′=m(0<m<2),则A′O=2﹣m.
在Rt△A′BO中,由A′B2=A′O2+BO2,得A′B2=(2﹣m)2+42=m2﹣4m+20.
∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的,
∴EE′∥AA′,且EE′=AA′.
∴∠BEE′=90°
,EE′=m.
又BE=OB﹣OE=3,
∴在Rt△BE′E中,BE′2=E′E2+BE2=m2+9,
∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2(m﹣1)2+27.
当m=1时,A′B2+BE′2可以取得最小值,此时,点E′的坐标是(1,1).
②如图②,过点A作AB′⊥x,并使AB′=BE=3.
易证△AB′A′≌△EBE′,
∴B′A=BE′,
∴A′B+BE′=A′B+B′A′.
当点B、A′、B′在同一条直线上时,A′B+B′A′最小,即此时A′B+BE′取得最小值.
易证△AB′A′∽△OBA′,
∴==,
∴AA′=×
2=,
∴EE′=AA′=,
∴点E′的坐标是(,1).
点评:
本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点.此题难度较大,需要学生对知识有一个系统的掌握.
17、(12分)(2013•雅安)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点,求△PBC周长的最小值;
(3)如图
(2),若E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,△ADF的面积为S.
①求S与m的函数关系式;
②S是否存在最大值?
若存在,求出最大值及此时点E的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)由题意可知:
∴抛物线的解析式为:
y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵△PBC的周长为:
PB+PC+BC
∵BC是定值,
∴当PB+PC最小时,△PBC的周长最小,
∵点A、点B关于对称轴I对称,
∴连接AC交l于点P,即点P为所求的点
∵AP=BP
∴△PBC的周长最小是:
PB+PC+BC=AC+BC
∵A(﹣3,0),B(1
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