行列式的计算技术与方式总结.docx
- 文档编号:1451294
- 上传时间:2022-10-22
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:308.48KB
行列式的计算技术与方式总结.docx
《行列式的计算技术与方式总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《行列式的计算技术与方式总结.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
行列式的计算技术与方式总结
计算技术及方式总结
一、一样来讲,关于二阶、三阶行列式,能够依照概念来做
一、二阶行列式
二、三阶行列式
=
例1计算三阶行列式
解
可是关于四阶或以上的行列式,不建议采纳概念,最常采纳的是行列式的性质和降价法来做。
但在此之前需要经历一些常见行列式形式。
以便计算。
计算上三角形行列式
下三角形行列式
对角行列式
二、用行列式的性质计算
一、记住性质,这是计算行列式的前提
将行列式的行与列互换后取得的行列式,称为的转置行列式,记为或,即若
则.
性质1行列式与它的转置行列式相等,即
注由性质1明白,行列式中的行与列具有相同的地位,行列式的行具有的性质,它的列也一样具有.
性质2互换行列式的两行(列),行列式变号.
推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.
性质3用数乘行列式的某一行(列),等于用数乘此行列式,即
第行(列)乘以,记为(或).
推论1行列式的某一行(列)中所有元素的公因子能够提到行列式符号的外面.
推论2行列式中如有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.
性质4若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如,
.
则
.
性质5将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式不变.
注:
以数乘第行加到第行上,记作;以数乘第列加到第列上,记作.
二、利用“三角化”计算行列式
计算行列式时,经常使用行列式的性质,把它化为三角形行列式来计算.例如化为上三角形行列式的步骤是:
若是第一列第一个元素为0,先将第一行与其它行互换使得第一列第一个元素不为0;然后把第一行别离乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;
再用一样的方式处置除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积确实是所求行列式的值.
例2若,则
例3
(1)(第一、二行互换).
(2)(第二、三列互换)
(3)(第一、二两行相等)
(4)(第二、三列相等)
例4
(1)因为第三行是第一行的倍.
(2)因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.
例5若,则
又.
例6设求
解利用行列式性质,有
例7
(1)
(2).
例8因为而.
因此.
注:
一样来讲下式是不成立的
.
例9
(1),上式表示第一行乘以-1后加第二行上去,其值不变.
(2),上式表示第一列乘以1后加到第三列上去,其值不变.
例10计算行列式.
解先将第一行的公因子3提出来:
再计算
例11计算
解
例12计算
解注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2,3,4行同时加到第1行,可提出公因子6,再由各行减去第一行化为上三角形行列式.
注:
仿照上述方式可取得更一样的结果:
例13计算
解依照行列式的特点,可将第1列加至第2列,然后将第2列加至第3列,再将第3列加至第4列,目的是使中的零元素增多.
例14计算
解从第4行开始,后一行减前一行:
三、行列式按行(列)展开(降阶法)
1、行列式按一行(列)展开
概念1在阶行列式中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的阶行列式,称为中元素的余子式,记为,再记
称为元素的代数余子式.
引理(经常使用)一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除外都为零,则该行列式等于与它的代数余子式的乘积,即
定理1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
或
推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
或
2、用降价法计算行列式(经常使用)
直接应用按行(列)展开法则计算行列式,运算量较大,尤其是高阶行列式.因此,计算行列式时,一样可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素,再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式,如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.
3、拉普拉斯定理(一样少用)
概念2在阶行列式中,任意选定行列,位于这些行和列交叉处的个元素,按原先顺序组成一个阶行列式,称为的一个阶子式,划去这行列,余下的元素按原先的顺序组成阶行列式,在其前面冠以符号,称为的代数余子式,其中为阶子式在中的行标,为在中的列标.
注:
行列式的阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行(列)展开的性质.
定理2(拉普拉斯定理)在阶行列式中,任意取定行(列),由这行(列)组成的所有阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式.
例15求下列行列式的值:
(1)
(2)
解
(1)
(2)
例16计算行列式
解
例17计算行列式
解
例18求证.
证
例19设D中元素的余子式和代数余子式依次记作和,求及.
解注意到等于用代替的第1行所得的行列式,即
又按概念知,
例20用拉普拉斯定理求行列式的值.
解按第一行和第二行展开
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 行列式 计算 技术 方式 总结