近世代数10套试题文档格式.docx
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2.设群G是24阶群,G中元素a的阶是6,则元素a2的阶为,子群H=<
a3>
的在G中的指数是。
3.设G=<
a>
是10阶循环群,则G的非平凡子群的个数是。
4.在模12的剩余环R={[0],[1],……,[11]}中,[5]+[10]=,[5]·
[10]=,方程x2=[1]的所有根为。
5.环Z6的全部零因子是。
6.整环Z[√-3]不是唯一分解整环,因为它的元素α=在Z[√-3]中有两种本质不同的分解α==。
得分
评卷人
复查人
三、解答题(共30分)
1.设S3是3次对称群,a=(123)∈S3.
(1)写出H=<
的所有元素.
(2)计算H的所有左陪集和所有右陪集.
(3)判断H是否是S3的不变子群,并说明理由.
2.求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3.在整数环Z中,求由2004,125生成的理想A=(2004,125)。
四、证明题(共30分)
1.设G是一个阶为偶数的有限群,证明
(1)G中阶大于2的元素的个数一定为偶数;
(2)G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。
2.设φ是环(R,+,·
,0,1)到环(,+,·
,0/,1/)的同态满射。
N=Kerφ={x|x∈R且φ(x)=0/},证明:
φ是同构映射当且仅当N={0}。
3.证明:
非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。
《近世代数》试卷2(时间120分钟)
一、填空题(共20分)
1.设G=(a)是6阶循环群,则G的子群有。
2.设A、B是集合,|A|=2,|B|=3,则共可定义个从A到B的映射,其中
有个单射,有个满射,有个双射。
3.在模12的剩余环R={[0],[1],……,[11]}中,[10]+[5]=,[10]·
[5]=,方程x2=[1]的所有根为。
4.在5次对称群S5中,(12)(145)=,(4521)-1=,
(354)的阶为。
5.整环Z中的单位有。
6.在多项式环Z11[x]中,([6]x+[2])11=。
1.()若群G的每一个元满足方程x2=e(其中e是G的单位元),则G是交换群。
2.()一个阶是13的群只有两个子群。
3.()满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
4.()设G是群,H1是G的不变子群,H2是H1的不变子群,则H2是G的不变子群。
5.()主理想整环R上的一元多项式环R[x]是主理想整环。
6.()存在特征是2003的无零因子环。
7.()在一个环中,若左消去律成立,则消去律成立。
8.()模21的剩余类环Z21是域。
9.()整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
10.()除环只有零理想和单位理想。
三、解答题(共30分)
1.设H={
(1),(123),(132)}是对称群S3的子群,写出H的所有左陪集和所有右陪集,问H是否是S3的不变子群?
为什么?
2.设G是一交换群,n是一正整数,H是G中所有阶数是n的因数的元素的集合。
试问:
H是否是G的子群?
3.在整数环Z中,求由2004,19生成的理想A=(2004,19)。
1.设I1={4k|k∈Z},I2={3k|k∈Z},试证明:
(1)I1,I2都是整数环Z的理想。
(2)I1∩I2=(12)是Z的一个主理想。
2.设R、都是环,f是环R到的满同态映射,是的理想,试证明:
A={a|a∈R且f(a)∈}是R的理想。
3.证明,设S是环(R,+,·
,0,1)的子环,N是R的理想,且S∩N={0},则剩余类环R/N有子环与S同构。
《近世代数》试卷3(时间120分钟)
2.设A、B是集合,|A|=|B|=3,则共可定义个从A到B的映射,其中
3.在4次对称群S4中,(24)(231)=,(4321)-1=,
(132)的阶为。
4.整环Z中的单位有。
6.设群G是24阶群,G中元素a的阶是6,则元素a2的阶为,子群H=<
1.()一个阶是11的群只有两个子群。
2.()设G是群,H1是G的不变子群,H2是H1的不变子群,则H2是G的不变子群。
3.()素数阶群都是交换群。
4.()循环群的商群是循环群。
5.()模27的剩余类环Z27是域。
6.()存在特征是2004的无零因子环。
8.()域是主理想整环。
9.()域只有零理想和单位理想。
10.()相伴关系是整环R的元素间的一个等价关系。
1.设H={
(1),(12)}是对称群S3的子群,写出H的所有左陪集和所有右陪集,问H是否是S3的不变子群?
2.求模12的剩余类加群(Z12,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3.在整数环Z中,求由2004,17生成的理想A=(2004,17)。
1.设I1={2k|k∈Z},I2={3k|k∈Z},试证明:
(2)I1∩I2=(6)是Z的一个主理想。
2.设φ是群G到群H的同态满射,H1是H的子群。
证明:
G1={x|x∈G且φ(x)∈H1}是G的子群。
3.设环(R,+,·
,0,1)是整环。
多项式环R[x]能与它的一个真子环同构。
《近世代数》试卷4(时间120分钟)
一、填空题(共20分,每空2分)
1.设A、B是集合,|A|=2,|B|=3,则共可定义个从A到B的映射,其中
2.设G=(a)是6阶循环群,则G的子群的个数是。
3.在剩余类环Z18中,[8]+[12]=,[6]·
[7]=。
4.环Z6的全部零因子是。
5.在多项式环Z17[x]中,([6]x+[7])17=。
6.在模7的剩余类环Z7中,方程x2=1的所有根是。
1.()交换群的子群是不变子群。
2.()一个阶是11的群只有两个子群。
3.()无零因子环的特征不可能是2004。
4.()有单位元且满足消去律的半群是群。
5.()模21的剩余类环Z21是域。
6.()在一个环中,若右消去律成立,则左消去律成立。
7.()若R是主理想整环,则一元多项式环R[x]是主理想整环。
8.()除环只有零理想和单位理想。
9.()欧氏环是唯一分解整环。
10.()无零因子环的同态象无零因子。
三、解答题(第1小题15分,第2、3小题各10分,共35分)
1.设H={
(1),(12)}是对称群S3的子群,求H的所有左陪集和所有右陪集,试问H是否是S3的不变子群?
2.求模12的剩余类环Z12的所有理想。
3.在整数环Z中,求由2005,6生成的理想(2005,6)。
四、证明题(第1、2小题各10分,第3小题5分,共25分)
1.设~是整数集Z上的模7同余关系,试证明~是Z上的等价关系,并求所有等价类。
2.设R、都是环,f是环R到的满同态映射,是的理想,试证明A={a|a∈R且f(a)∈}是R的理想。
3.证明,非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。
《近世代数》试卷5(时间120分钟)
1.在对称群S4中,(134)(12)=,(2143)-1=。
2.在多项式环Z11[x]中,([6]x+[2])11=。
3.设G=(a)是6阶循环群,则G的非平凡子群的个数是。
4.在模6的剩余环Z6中,方程x2=1的所有根为。
5.环Z10的所有零因子是。
6.设A、B是集合,|A|=3,|B|=2,则共可定义个从A到B的映射,其中有个单射,有个满射,有个双射。
1.()循环群的子群是循环群。
2.()若H1、H2都是群G的子群,则H1∪H2也是群G的子群。
3.()交换群的子群是不变子群。
4.()一个阶是11的群只有两个子群。
5.()模15的剩余类环Z15是域。
7.()欧氏环上的一元多项式环是欧氏环。
10.()域是主理想整环。
1.设H={
(1),(13)}是对称群S3的子群,求H的所有左陪集和所有右陪集,试问H是否是S3的不变子群?
2.求模18的剩余类环Z18的所有理想。
3.在整数环Z中,求由2004,125生成的理想(2004,125)。
1.设~是整数集Z上的模6同余关系,试证明~是Z上的等价关系,并求所有等价类。
2.设H1和H2分别是群(G,,e)的子群,并且|H1|=m,|H2|=n,m、n有限,(m,n)=1,试证:
H1∩H2={e}。
《近世代数》试卷6
得分
一、填空题(每空2分,共20分)
1、设有集合A和B,|A|=3,|B|=2,则共可定义____个从A到B的映射,其中有_____个单射,_____个满射,______个双射。
2、设=是10阶循环群,则的非平凡子群的个数为_________.
3、在5次对称群中,的阶是。
4、在模13的剩余类环的多项式环中,。
5、在模6的剩余类环中,方程的所有根是__________.
二、判断题(对打“√”,错打“×
”,不说明理由,每小题2分,共20分)
1、()模99的剩余类环是域。
2、()主理想整环上的一元多项式环是主理想整环。
3、()域
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