苏科版八年级数学上册 全等三角形易错题Word版 含答案Word格式文档下载.docx
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∵△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,
∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°
,
又BD=DC,且∠BDC=120°
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°
+30°
=90°
∴∠MBD=∠ECD=90°
在△MBD与△ECD中,
∵,
∴△MBD≌△ECD(SAS),
∴MD=DE,∠BDM=∠CDE
∵∠MDN=60°
∴∠CDE+∠NDC=∠BDM+∠NDC=120°
-60°
=60°
即:
∠MDN=∠NDE=60°
在△DMN与△DEN中,
∴△DMN≌△DEN(SAS),
∴MN=NE=CE+NC=BM+NC.
(2)如图②中,结论:
MN=NC﹣BM.
理由:
在CA上截取CE=BM.
∵△ABC是正三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°
又∵BD=CD,∠BDC=120°
∴∠BCD=∠CBD=30°
∴∠MBD=∠DCE=90°
在△BMD和△CED中
∴△BMD≌△CED(SAS),
∴DM=DE,∠BDM=∠CDE
∴∠NDE=∠BDC-(∠BDN+∠CDE)=∠BDC-(∠BDN+∠BDM)=∠BDC-∠MDN=120°
在△MDN和△EDN中
∴△MDN≌△EDN(SAS),
∴MN=NE=NC﹣CE=NC﹣BM.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
2.如图,∠BAD=∠CAE=90°
,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)求证:
△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAE的度数;
(3)求证:
CD=2BF+DE.
(1)证明见解析;
(2)∠FAE=135°
;
(3)证明见解析.
(1)根据已知条件易证∠BAC=∠DAE,再由AB=AD,AE=AC,根据SAS即可证得△ABC≌△ADE;
(2)已知∠CAE=90°
,AC=AE,根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°
,由
(1)知△BAC≌△DAE,根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°
,再求得∠CAF=45°
,由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数;
(3)延长BF到G,使得FG=FB,易证△AFB≌△AFG,根据全等三角形的性质可得AB=AG,∠ABF=∠G,再由△BAC≌△DAE,可得AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,所以AG=AD,∠ABF=∠CDA,即可得∠G=∠CDA,利用AAS证得△CGA≌△CDA,由全等三角形的性质可得CG=CD,所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF.
(1)∵∠BAD=∠CAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=90°
,∠CAD+∠DAE=90°
∴∠BAC=∠DAE,
在△BAC和△DAE中,
∴△BAC≌△DAE(SAS);
(2)∵∠CAE=90°
,AC=AE,
∴∠E=45°
由
(1)知△BAC≌△DAE,
∴∠BCA=∠E=45°
∵AF⊥BC,
∴∠CFA=90°
∴∠CAF=45°
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°
+90°
=135°
(3)延长BF到G,使得FG=FB,
∵AF⊥BG,
∴∠AFG=∠AFB=90°
在△AFB和△AFG中,
∴△AFB≌△AFG(SAS),
∴AB=AG,∠ABF=∠G,
∵△BAC≌△DAE,
∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,
∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,
∴∠G=∠CDA,
在△CGA和△CDA中,
∴△CGA≌△CDA,
∴CG=CD,
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,
∴CD=2BF+DE.
本题考查全等三角形的判定与性质,解决第3问需作辅助线,延长BF到G,使得FG=FB,证得△CGA≌△CDA是解题的关键.
3.如图,AB=12cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=9cm,点P在线段AB上以3cm/s的速度,由A向B运动,同时点Q在线段BD上由B向D运动.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当运动时间t=1(s),△ACP与△BPQ是否全等?
说明理由,并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;
(2)将“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,其他条件不变.若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能使△ACP与△BPQ全等.
(3)在图2的基础上延长AC,BD交于点E,使C,D分别是AE,BE中点,若点Q以
(2)中的运动速度从点B出发,点P以原来速度从点A同时出发,都逆时针沿△ABE三边运动,求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇.
(1)△ACP≌△BPQ,理由见解析;
线段PC与线段PQ垂直
(2)1或(3)9s
(1)利用SAS证得△ACP≌△BPQ,得出∠ACP=∠BPQ,进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°
得出结论即可;
(2)由△ACP≌△BPQ,分两种情况:
①AC=BP,AP=BQ,②AC=BQ,AP=BP,建立方程组求得答案即可.
(3)因为VQ<VP,只能是点P追上点Q,即点P比点Q多走PB+BQ的路程,据此列出方程,解这个方程即可求得.
(1)当t=1时,AP=BQ=3,BP=AC=9,
又∵∠A=∠B=90°
在△ACP与△BPQ中,,
∴△ACP≌△BPQ(SAS),
∴∠ACP=∠BPQ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°
∠CPQ=90°
则线段PC与线段PQ垂直.
(2)设点Q的运动速度x,
①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,
解得,
②若△ACP≌△BPQ,则AC=BQ,AP=BP,
综上所述,存在或使得△ACP与△BPQ全等.
(3)因为VQ<VP,只能是点P追上点Q,即点P比点Q多走PB+BQ的路程,
设经过x秒后P与Q第一次相遇,
∵AC=BD=9cm,C,D分别是AE,BD的中点;
∴EB=EA=18cm.
当VQ=1时,
依题意得3x=x+2×
9,
解得x=9;
当VQ=时,
解得x=12.
故经过9秒或12秒时P与Q第一次相遇.
本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.
4.已知△ABC中,AB=AC,点P是AB上一动点,点Q是AC的延长线上一动点,且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同,PQ与BC相交于点D,若AB=,BC=16.
(1)如图1,当点P为AB的中点时,求CD的长;
(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当点P、Q在移动的过程中,设BE+CD=λ,λ是否为常数?
若是请求出λ的值,若不是请说明理由.
(1)4;
(2)8
(1)过P点作PF∥AC交BC于F,由点P和点Q同时出发,且速度相同,得出BP=CQ,根据PF∥AQ,可知∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD,则可得出∠B=∠PFB,证出BP=PF,得出PF=CQ,由AAS证明△PFD≌△QCD,得出,再证出F是BC的中点,即可得出结果;
(2)过点P作PF∥AC交BC于F,易知△PBF为等腰三角形,可得BE=BF,由
(1)证明方法可得△PFD≌△QCD则有CD=,即可得出BE+CD=8.
解:
(1)如图①,过P点作PF∥AC交BC于F,
∵点P和点Q同时出发,且速度相同,
∴BP=CQ,
∵PF∥AQ,
∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD,
又∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠PFB,
∴BP=PF,
∴PF=CQ,又∠PDF=∠QDC,
∴△PFD≌△QCD,
∴DF=CD=CF,
又因P是AB的中点,PF∥AQ,
∴F是BC的中点,即FC=BC=8,
∴CD=CF=4;
(2)为定值.
如图②,点P在线段AB上,
过点P作PF∥AC交BC于F,
易知△PBF为等腰三角形,
∵PE⊥BF
∴BE=BF
∵易得△PFD≌△QCD
∴CD=
∴
此题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判断与性质,熟悉相关性质定理是解题的关键.
5.如图
(1),在中,,,点是斜边的中点,点,分别在线段,上,且.
为等腰直角三角形;
(2)若的面积为7,求四边形的面积;
(3)如图
(2),如果点运动到的延长线上时,点在射线上且保持,还是等腰直角三角形吗.请说明理由.
(2)3.5;
(3)是,理由见解析.
(1)由题意连接AD,并利用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA),进而分析证得为等腰直角三角形;
(2)由题意分析可得S四边形AEDF=S∆ADF+S∆ADE=S∆BDE+S∆CDF,以此进行分析计算求出四边形的面积即可;
(3)根据题意连接AD,运用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA),进而分析证得为等腰直角三角形.
(1)证明:
如图①,连接AD.
∵∠BAC=90˚,AB=AC,点D是斜边BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD,
∴∠1=∠B=45°
∵∠EDF=90°
,∠2+∠3=90°
又∵∠3+∠4=90°
∴∠2=∠4,
在△BDE和△ADF中,∠1=∠B,AD=BD,∠2=∠4,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°
∴ΔDEF为等腰直角三角形.
(2)由
(1)可知DE=DF,∠C=∠6=45°
又∵∠2+∠3=90°
,∠2+∠5=90°
∴∠3=∠5,
∴△ADE≌△CDF,
∴S四边形AEDF=S
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