江苏省扬州市届高三上学期期中测试数学试题Word格式文档下载.docx
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15.(本小题满分14分)
已知函数。
(1)求函数的单调递增区间;
(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求的值。
16.(本小题满分14分)
函数的定义域为A,函数。
(1)若时,的解集为B,求;
(2)若存在使得不等式成立,求实数的取值范围。
17.(本小题满分14分)
已知圆。
(1)若,过点作圆M的切线,求该切线方程;
(2)若AB为圆M的任意一条直径,且(其中O为坐标原点),求圆M的半径。
18.(本小题满分16分)
如图,某市在海岛A上建了一水产养殖中心。
在海岸线上有相距70公里的B、C两个小镇,并且AB=30公里,AC=80公里,已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人,C镇在养殖中心工作的员工有5百人。
现欲在BC之间建一个码头D,运送来自两镇的员工到养殖中心工作,又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2.
(1)求的大小;
(2)设,试确定的大小,使得运输总成本最少。
19.(本小题满分16分)
已知椭圆C:
的右焦点为F,过点F的直线交轴于点N,交椭圆C于点A、P(P在第一象限),过点P作轴的垂线交椭圆C于另外一点Q。
若。
(1)设直线PF、QF的斜率分别为、,求证:
为定值;
(2)若且的面积为,求椭圆C的方程。
20.(本小题满分16分)
(1)若函数的图象在处的切线经过点,求的值;
(2)是否存在负整数,使函数的极大值为正值?
若存在,求出所有负整数的值;
若不存在,请说明理由;
(2)设>
0,求证:
函数既有极大值,又有极小值。
数学试题(Ⅱ)
21.(本小题满分10分)已知矩阵的一个特征值为4,求实数的值。
22.(本小题满分10分)某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖,学生来源人数如下表:
班别
高一
(1)班
高一
(2)班
高一(3)班
人数
3
6
1
若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验,设其中来自高一
(1)班的人数为,求随机变量的分布列及数学期望。
23.(本小题满分10分)如图,在四棱锥P–ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PA底面ABCD,AB=1,PA=2,E为PB的中点,点F在棱PC上,且PF=PC。
(1)求直线CE与直线PD所成角的余弦值;
(2)当直线BF与平面CDE所成的角最大时,求此时的值。
24.(本小题满分10分)已知集合。
若集合,则称为集合的一种拆分,所有拆分的个数记为。
(1)求的值;
(2)求关于的表达式。
数学试题(Ⅰ)参考答案
一、填空题
1.2.13.4.5.6.87.或18.9.10.2711.12.13.14.
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.解:
(1)
……4分
由得
所以的单调递增区间是……8分
(2)由
(1)知把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象,再把得到的图象向左平移个单位,得到的图象,……12分
即,所以.……14分
16.解:
(1)由,解得:
或,则,…2分
若,,由,解得:
,则…4分
所以;
…6分
(2)存在使得不等式成立,即存在使得不等式成立,所以…10分
因为,当且仅当,即时取得等号
所以,解得:
.………14分
17.解:
(1)若,圆:
,圆心,半径为3.……2分
若切线斜率不存在,圆心到直线的距离为3,
所以直线为圆的一条切线;
………4分
若切线斜率存在,设切线方程为:
,化简为:
,则圆心到直线的距离,解得:
.
所以切线方程为或;
………7分
(2)圆的方程可化为,圆心,则
设圆的半径…………9分
因为为圆的任意一条直径,所以,且,则…12分
又因为,解得:
,所以圆的半径为.………14分
18.解:
(1)在中,…3分
所以………5分
(2)在中,由得:
所以,………9分
设水路运输的每百人每公里的费用为元,陆路运输的每百人每公里的费用为元,
则运输总费用
……11分
令,则,设,解得:
当时,单调减;
当时,单调增
时,取最小值,同时也取得最小值.……14分
此时,满足,所以点落在之间
所以时,运输总成本最小.
答:
时,运输总成本最小.………16分
19.解:
(1)设且,,则,
所以,,因为,所以,即………3分
∴,∴,即为定值………6分
(2)若,则,所以,解得:
因为点、在椭圆上,则,
得:
,解得:
………10分
则,代入
(1)得:
,
因为且,解得:
,则……14分
所以椭圆方程为:
.………16分
20.解:
(1)∵∴,
∴函数在处的切线方程为:
,又直线过点
∴,解得:
………2分
(2)若,,
当时,恒成立,函数在上无极值;
方法
(一)在上,若在处取得符合条件的极大值,则,5分
则,由(3)得:
,代入
(2)得:
,结合
(1)可解得:
,再由得:
,
设,则,当时,,即是增函数,
所以,
又,故当极大值为正数时,,从而不存在负整数满足条件.………8分
方法
(二)在时,令,则
∵∴∵为负整数∴∴
∴∴∴在上单调减
又,∴,使得…5分
且时,,即;
时,,即;
∴在处取得极大值(*)
又∴代入(*)得:
∴不存在负整数满足条件.………8分
(3)设,则,
因为,所以,当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
故至多两个零点.
又,,所以存在,使
再由在上单调递增知,
当时,,故,单调递减;
当时,,故,单调递增;
所以函数在处取得极小值.………12分
当时,,且,
函数是关于的二次函数,必存在负实数,使,又,
故在上存在,使,
再由在上单调递减知,
所以函数在处取得极大值.
综上,函数既有极大值,又有极小值.………16分
数学试题(Ⅱ)参考答案
21.解:
解:
矩阵M的特征多项式为
矩阵的一个特征值为4………8分
所以4为方程的一个根,则,解得.………10分
22.解:
随机变量的取值可能为0,1,2.
………3分
………6分
………9分
则
2
数学期望为.…………10分
23.解:
(1)如图,以为坐标原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系,则、、、,………2分
从而
∴
即与所成角的余弦值为.………4分
(2)点在棱上,且,所以,于是,,又,.
设为平面的法向量,则
,可得,取,则………6分
设直线与平面所成的角为,则
………8分
令,则,所以
当,即时,有最小值,此时取得最大值为,即与平面所成的角最大,此时,即的值为.……10分
24.解:
(1)设,共有3种,即;
………1分
设,若,则有1种;
若,则有2种;
若,则有4种;
即;
设,若,则,所以有种;
若,则或,
所以有;
若,则有12种;
若,则或或或,
所以有种;
………4分
(2)猜想,用数学归纳法证明.
当时,,结论成立;
………5分
假设时,结论成立,即,
当时,
当时,,所以有种;
当时,,所以有种,
或,所以有种,共有种;
同理当时,共有种;
或,所以有种,或,
所以有种,或,所以有种,共有种;
所以,当时,结论成立;
………9分
所以………………10分
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