七年级数学下册《轴对称图形典型例题》Word文件下载.doc
- 文档编号:14508297
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOC
- 页数:14
- 大小:335KB
七年级数学下册《轴对称图形典型例题》Word文件下载.doc
《七年级数学下册《轴对称图形典型例题》Word文件下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《七年级数学下册《轴对称图形典型例题》Word文件下载.doc(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(角平分线是常见的对称轴,因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明.)
∴ Rt△EAD≌Rt△FCD(HL),
∴ ∠C=∠EAD,
∵ ∠EAD+∠BAD=180°
∴ ∠A+∠C=180°
证法二:
如下图
(2),在BC上截取BE=AB,连结DE,证明△ABD≌△EBD可得.
(2)
证法三:
如下图(3),延长BA到E,使BE=BC,连结ED,以下同证法二.
(3)
注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等,关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法.
例3已知,如下图,AD为△ABC的中线,且DE平分∠BDA交AB于E,DF平分∠ADC交AC于F.
BE+CF>EF.
在DA截取DN=DB,连结NE、NF,则DN=DC,在△BDE和△NDE中,
(遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题)
∴ △BDE≌△NDE(SAS),
∴ BE=NE(全等三角形对应边相等),
同理可证:
CF=NF,
在△EFN中,EN+FN>EF(三角形两边之和大于第三边),
∴ BE+CF>
EF.
延长ED至M,使DM=ED,连结CM、MF,
在△BDE和△CDM中,
(从另一个角度作辅助线)
∴ CM=BE(全等三角形对应边相等),
又∵ ∠BDE=∠ADE,∠ADF=∠CDF,
而∠BDE+∠ADE+∠ADF+∠CDF=180°
∴ ∠ADE+∠ADF=90°
即∠EDF=90°
∴ ∠FDM=∠EDF=90°
在△EDF和△MDF中,
∴ △EDF≌△MDF(SAS),
∴ EF=MF(全等三角形对应边相等),
在△CMF中,
CF+CM>
EF,
∴ BE+CF>
注 本题综合考察角平分线、中线的意义,关键是如何使题中的分散的条件集中.
例4已知,如下图,P、Q是△ABC边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ.求:
∠BAC的度数.
解:
∵ AP=PQ=AQ(已知),
∴ ∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°
(等边三角形三个角都是60°
),
∵ AP=BP(已知),(注意观察图形和条件)
∴ ∠PBA=∠PAB(等边对等角),
∴ ∠APQ=∠PBA+∠PAB=60°
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和),
∴ ∠PBA=∠PAB=30°
,同理∠QAC=30°
∴ ∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30°
+60°
+30°
=120°
注 本题考察等腰三角形、等边三角形的性质,关键是掌握求角的步骤:
(1)利用等边对等角得到相等的角;
(2)利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系;
(3)利用三角形内角和定理列方程.
例5已知,如下图,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使DF=DE,连结FC.
∠F=∠A.
∵ AB=AC,
∴ ∠B=∠ACB(等边对等角),
∵ EB=ED,
∴ ∠B=∠EDB,
∴ ∠ACB=∠EDB(等量代换),
∴ ED∥AC(同位角相等,两直线平行),
在△BDE和△AED中,BE=AE=ED,
连结AD可得,∠EAD=∠EDA,∠EBD=∠EDB,
∠EDA+∠EDB=90°
,即AD⊥BC,
∴ ∠EDA+∠EDB=90°
(用什么定理判定三角形全等的?
)
∴ D为BC的中点,
∴ △BDE≌△CDF,
∴ ∠BED=∠F,而∠BED=∠A,
∴ ∠F=∠A.
例6已知,如下图,△ABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,∠AEF=∠AFE.
EF⊥BC.
作BC边上的高AD,D为垂足,
∵ AB=AC,AD⊥BC,
∴ ∠BAD=∠CAD
(等腰三角形三线合一),
又∵ ∠BAC=∠E+∠AFE,∠AEF=∠AFE,
∴ ∠CAD=∠E,∴ AD∥EF,
∵ AD⊥BC,
∴ EF⊥BC.
过A作AG⊥EF于G,
∵ ∠AEF=∠AFE,AG=AG,∠AGE=∠AGF=90°
∴ △AGE≌△AGF (ASA),
∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C,
又∠EAF=∠B+∠C,(请对比多种证法的优劣)
∴ ∠EAG+∠GAF=∠B+∠C,
∴ ∠EAG=∠C,∴ AG∥BC,
∵ AG⊥EF,
过E作EH∥BC交BA的延长线于H,
∴ ∠H=∠B=∠C=∠AEH,
∵ ∠AEF=∠AFE,∠H+∠AFE+∠FEH=180°
∴ ∠H+∠AEH+∠AEF+∠AFE=180°
∴ ∠AEF+∠AEH=90°
,即∠FEH=90°
∴ EF⊥EH,又EH∥BC,
证法四:
延长EF交BC于K,
∴ ∠B=(180°
-∠BAC),
∵ ∠AEF=∠AFE,
∴ ∠AFE=(180°
-∠EAF),
∵ ∠BFK=∠AFE,
∴ ∠BFK=(180°
∴ ∠B+∠BFK=(180°
-∠BAC)+(180°
-∠EAF)
∵=[360°
-(∠EAF+∠BAC)],
∴ ∠EAF+∠BAC=180°
∴ ∠B+∠BFK=90°
,即∠FKB=90°
注 本题考察等腰三角形性质的应用,解题的关键是通过添加辅助线,建立EF与BC的联系,仔细体会以上各种不同的添加辅助线的方法.
例7如下图,AB=AC,DB=DC,P是AD上一点.
∠ABP=∠ACP.
连结BC,
∵ AB=AC(已知),
∴ ∠ABC=∠ACB(等边对等角),
又∵ 点A、D在线段BC的垂直平分线上
(与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上),而两点确定一条直线,
∴ AD就是线段BC的垂直平分线,
∴ PB=PC(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等),
∴ ∠PBC=∠PCB(等边对等角),(线段垂直平分线的性质)
∴ ∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCB(等式性质),
即∠ABP=∠ACP.
注 本题若用三角形全等,至少需要证两次,现用线段垂直平分线的判定和性质,就显得比较简洁.
例8如下图,AB=AC,DE垂直平分AB交AB于D,交AC于E,若△ABC的周长为28,BC=8,求△BCE的周长.
∵ 等腰△ABC的周长=28,BC=8,
∴ 2AC+BC=28,
∴ AC=10, (理由是什么?
∵ DE垂直平分AB,
∴ AE=BE,
∴ △BCE的周长=BE+EC+BC
=AE+EC+BC
=AC+BC=10+8=18.
注 本题考察线段垂直平分线的性质定理的运用,关键是运用线段垂直平分线的性质得到线段的等量关系.
例9已知,如下图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于F,交AB于E,求证:
连结AF,则AF=BF,
∴ ∠B=∠FAB(等边对等角),
∴ ∠B=∠C(等边对等角),
∵ ∠BAC=120°
∴ ∠B=∠C=(三角形内角和定理),
∴ ∠FAB=30°
∴ ∠FAC=∠BAC-∠FAB=120°
-30°
=90°
又∵ ∠C=30°
,(线段的垂直平分线是常见的对称轴之一)
∴ (直角三角形中30°
角所对的直角边等于斜边的一半),
∴ .
连结AF,过A作AG∥EF交FC于G,
∵ EF为AB的垂直平分线,
∴ AF=BF,
又∵ ∠B=30°
∴ ∠AFG=60°
,
∠BAG=90°
∴ ∠AGB=60°
,△AFG为等边三角形,
,∴ ∠GAC=30°
∴ AG=GC,(构造等边三角形是证明线段相等的一种好方法)
∴ BF=FG=GC=.
例10已知,如下图,AB⊥BC,CD⊥BC,∠AMB=75°
,∠DMC=45°
,AM=MD.求证:
AB=BC.
思路分析
从结论分析,要证AB=BC,可连结AC,使BC与AB能落在一个三角形内,再看∠BAC与∠BCA能否相等?
连结AC,交DM于H,
∵ ∠AMB=75°
(已知),
∴∠AMD=60°
(平角定义)
又∵ AM=MD,
∴ △AMD为等边三角形(有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形),
∴ AM=AD(等边三角形三边相等),
∵ CD⊥BC,∴ ∠DCM=90°
∵ ∠DMC=45°
,∴ ∠MDC=45°
(三角形内角和定理),
∴ CD=CM(等角对等边),
∴ AC是DM的垂直平分线
(和线段两端点等距离的点,在线段的垂直平分线上),
∴ ∠MHC=90°
,∴ ∠HCM=45°
∵ ∠B=90°
,∴ ∠BAC=45°
∴ AB=BC(等角对等边).
【典型热点考题】
例1如图7—15,等腰△ABC的对称轴与底边BC相交于点D,请回答下列问题:
(1)AD是哪个角的平分线;
(2)AD是哪条线段的垂直平分线;
(3)有哪几条相等的边;
(4)有哪几对相等的角.
点悟:
本题主要考查等腰三角形的所有特征.所以应该根据等腰三角形是轴对称图形的性质来解答问题.
等腰三角形是轴对称图形,直线AD是它的对称轴.
(1)AD是顶角∠BAC的平分线.
(2)AD是线段BC的垂直平分线.
(3)AB=AC,BD=DC.
(4)∠BAD=∠CAD,∠ABC=∠ACB,∠ADB=∠ADC.
例2如图7—16,已知PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,D是AP上一点.求证:
利用三角形全等证明两个角相等最直观,但因为图形具有明显的轴对称性,可以通过利用轴对称的性质而不用三角形全等同样可以,
∵PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,
∴∠PAB=∠PAC(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上).
∵∠APB+∠PAB=90°
∴∠APB=∠APC.
∴△PDB≌△PDC(SAS)
∴∠BDP=∠CDP.
例3如图7—17,先找出下列各图形中的轴对称图形,再画出它们的对称轴(有几条,画几条).
先确定是否是轴对称图形,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 轴对称图形典型例题 七年 级数 下册 轴对称 图形 典型 例题