数学山东省淄博市届高三下学期第一次模拟考试试题理Word文档格式.docx
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A.B.C.1D.
10.已知,则使成立的的取值范围是()
11.已知直线过定点,线段是圆:
的直径,则()
A.5B.6C.7D.8
12.已知函数在处取得最大值,则下列结论中正确的序号为:
①;
②;
③;
④;
⑤()
A.①④B.②④C.②⑤D.③⑤
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,满分20分
13.二项式的展开式中,的系数为.
14.设函数,给出下列结论:
①的一个周期为;
②的图象关于直线对称;
③的一个零点为;
④在单调递减,其中正确结论有(填写所有正确结论的编号).
15.已知正四棱锥,其底面边长为2,侧棱长为,则该四棱锥外接球的表面积是.
16.已知双曲线的两条渐近线与抛物线分别交于三点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则.
三、解答题:
本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.已知是公差为3的等差数列,数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
18.直角三角形中,是的中点,是线段上一个动点,且,如图所示,沿将翻折至,使得平面平面.
(1)当时,证明:
平面;
(2)是否存在,使得与平面所成的角的正弦值是?
若存在,求出的值;
若不存在,请说明理由.
19.响应“文化强国建设”号召,某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求,随机抽取市民200人做调查,统计显示,男士喜欢阅读古典文学的有64人,不喜欢的有56人;
女士喜欢阅读古典文学的有36人,不喜欢的有44人.
(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系?
(2)为引导市民积极参与阅读,有关部门牵头举办市读书交流会,从这200人中筛选出5名男代表和4名代表,其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会,记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数,求的分布列及数学期望.
附:
,其中.
参考数据:
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
20.已知椭圆的右焦点为,原点为,椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴,弦的中点为,过且垂直于线段的直线交直线于点.
(1)证明:
三点共线;
(2)求的最大值.
21.设函数(其中).
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,讨论函数的零点个数.
(二)选考题:
共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.【选修4-4:
坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中,直线的方程是,曲线的参数方程是(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线与曲线的极坐标方程;
(2)若射线与曲线交于点,与直线交于点,求的取值范围.
23.【选修4-5:
不等式选讲】
已知函数.
(1)解不等式;
(2)若,不等式对恒成立,求的取值范围.
【参考答案】
一、选择题
1-5:
ABDBC6-10:
ACABD11-12:
CB
二、填空题
13.8014.①②③15.16.
三、解答题
17.解:
(1)由已知且,得,
所以是首项为4,公差为3的等差数列,
通项公式为;
(2)由
(1)知,得:
,,因此是首项为、公比为的等比数列,则.
18.证明:
(1)在中,,即,则,
取的中点,连接交于,当时,是的中点,
而是的中点,所以是的中位线,所以,
在中,是的中点,所以是的中点,
在中,,
所以,则,
又平面平面,平面平面,
所以平面,
又平面,所以.
而,所以平面;
(2)以为原点,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系,则,
由
(1)知是的中点,,又平面平面,
所以平面,则,
假设存在满足题意的,则由,可得,
则,设平面的一个法向量为,
则即,
令,可得,即,
所以与平面所成的角的正弦值,
解得或3(舍去),
综上,存在,使得与平面所成的角的正弦值为.
19.解:
(1)根据所给条件,制作列联表如下:
男
女
总计
喜欢阅读古典文学
64
36
100
不喜欢阅读古典文学
56
44
120
80
200
所以的观测值,
因为的观测值,由所给临界值表可知,在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关;
(2)设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表人,女代表人,则,
根据已知条件可得,;
;
,
所以的分布列是:
1
2
3
4
5
所以.
20.解:
(1)显然椭圆的右焦点的坐标为,
设所在直线为:
,且.
联立方程组:
,得:
其中,
点的坐标为所在直线方程为:
.
所在的直线方程为:
,得点的坐标为,
点的坐标满足直线的方程,故三点共线;
(2)由
(1)得:
由点的坐标为,,
所以,
显然,
故当,即时,取得最大值.
21.解:
(1)函数的定义域为,,
①当时,令,解得,
所以的单调递减区间是,单调递增区间是,
②当时,令,解得或,
所以在和上单调递增,在上单调递减,
③当时,,在上单调递增,
④当时,令,解得或,所以在和上单调递增,在上单调递减;
(2),①当时,由
(1)知,当时,,
此时无零点,
当时,,
又在上单调递增,所以在上有唯一的零点,
故函数在定义域上有唯一的零点,
②当时,由
(1)知,当时,,
此时无零点;
当时,,,
令,则,
因为在上单调递增,,
所以在上单调递增,得,即,所以在上有唯一的零点,故函数在定义域上有唯一的零点.
综全①②知,当时函数在定义域上有且只有一个零点.
22.解:
(1)由,得直线极坐标方程:
曲线的参数方程为(为参数),消去参数得曲线的普通方程为,即,
将代入上式得,
所以曲线的极坐标方程为;
(2)设,则,所以
因为,所以,所以,
所以,故的取值范围是.
23.解:
(1),
原不等式等价于:
或或,
解得:
,或,或,
综上所述,不等式解集是:
(2)恒成立等价于.
因为,所以的最大值为;
时,;
时,,
所以,所以由原不等式恒成立,得:
或.
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